数学分析005号测试题及答案

数学分析005号测试题及答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处连续的是（）A.fx=\frac{1}{x}B.fx=\begin{cases}1,x0\\0,x\leq0\end{cases}C.fx=x^2D.fx=\begin{cases}x,x\neq0\\1,x=0\end{cases}【答案】C【解析】只有fx=x^2在x=0处连续

2.极限\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}的值是（）A.0B.1C.2D.\infty【答案】B【解析】\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=

13.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）A.-8B.2C.8D.0【答案】C【解析】f-2=-8，f0=0，f2=8，最大值为

84.下列函数中，在x=0处可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=\frac{1}{x}D.fx=\begin{cases}x,x0\\-x,x\leq0\end{cases}【答案】B【解析】fx=x^2在x=0处可导

5.积分\int_0^1x^2dx的值是（）A.\frac{1}{3}B.\frac{1}{2}C.1D.2【答案】A【解析】\int_0^1x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}

6.级数\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}的敛散性是（）A.发散B.收敛C.条件收敛D.绝对收敛【答案】B【解析】\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}是p-级数，p=21，收敛

7.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值是（）A.eB.1C.e-1D.1/e【答案】C【解析】平均值=\frac{1}{1-0}\int_0^1e^xdx=e-

18.极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}的值是（）A.0B.1C.\inftyD.不存在【答案】A【解析】\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=

09.函数fx=\lnx在区间[1,2]上的积分是（）A.\ln2B.1C.\ln4D.2-\ln2【答案】D【解析】\int_1^2\lnxdx=[x\lnx-x]_1^2=2\ln2-2+1=2\ln2-

110.级数\sum_{n=1}^\infty-1^n\frac{1}{n}的敛散性是（）A.发散B.收敛C.条件收敛D.绝对收敛【答案】C【解析】\sum_{n=1}^\infty-1^n\frac{1}{n}是交错级数，满足条件，条件收敛

11.函数fx=\sinx在区间[0,\pi]上的积分是（）A.0B.1C.\piD.2【答案】D【解析】\int_0^\pi\sinxdx=[-\cosx]_0^\pi=

212.极限\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}的值是（）A.0B.1C.2D.\infty【答案】B【解析】\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=

113.函数fx=\sqrt{x}在区间[1,4]上的积分是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】\int_1^4\sqrt{x}dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4=\frac{2}{3}8-1=

614.级数\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nn+1}的敛散性是（）A.发散B.收敛C.条件收敛D.绝对收敛【答案】B【解析】\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nn+1}=\sum_{n=1}^\infty\left\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right是望远镜级数，收敛

15.函数fx=\cosx在区间[0,\pi/2]上的积分是（）A.0B.1C.\piD.2【答案】B【解析】\int_0^{\pi/2}\cosxdx=[\sinx]_0^{\pi/2}=

116.极限\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}的值是（）A.0B.1C.2D.\infty【答案】B【解析】\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=

117.函数fx=\frac{1}{x}在区间[1,2]上的积分是（）A.\ln2B.1C.\ln4D.2-\ln2【答案】A【解析】\int_1^2\frac{1}{x}dx=[\lnx]_1^2=\ln

218.级数\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}}的敛散性是（）A.发散B.收敛C.条件收敛D.绝对收敛【答案】A【解析】\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}}是p-级数，p=1/21，发散

19.函数fx=\tanx在区间[0,\pi/4]上的积分是（）A.1B.\ln2C.\piD.2【答案】A【解析】\int_0^{\pi/4}\tanxdx=[-\ln|\cosx|]_0^{\pi/4}=-\ln\frac{\sqrt{2}}{2}+\ln1=\frac{\ln2}{2}

20.极限\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}的值是（）A.0B.1C.\inftyD.不存在【答案】A【解析】\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在x=0处连续？（）A.fx=x^2B.fx=\begin{cases}1,x0\\0,x\leq0\end{cases}C.fx=\frac{1}{x}D.fx=\sinx【答案】A、D【解析】fx=x^2和fx=\sinx在x=0处连续

2.以下哪些函数在x=0处可导？（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=\frac{1}{x}D.fx=\cosx【答案】A、D【解析】fx=x^2和fx=\cosx在x=0处可导

3.以下哪些级数收敛？（）A.\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}B.\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}C.\sum_{n=1}^\infty-1^n\frac{1}{n}D.\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n}}【答案】A、C【解析】\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}和\sum_{n=1}^\infty-1^n\frac{1}{n}收敛

4.以下哪些函数在区间[0,1]上的积分值为1？（）A.fx=1B.fx=xC.fx=x^2D.fx=\sinx【答案】A、B【解析】\int_0^11dx=1，\int_0^1xdx=

15.以下哪些极限值为1？（）A.\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}B.\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}C.\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}D.\lim_{x\to0}\frac{\ln1+x}{x}【答案】A、B、C【解析】\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1，\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=1，\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1

三、填空题（每题2分，共16分）

1.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数是______【答案】0【解析】fx=3x^2-3，f1=

02.积分\int_0^1x^3dx的值是______【答案】\frac{1}{4}【解析】\int_0^1x^3dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{4}

3.级数\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nn+1}的求和结果是______【答案】1【解析】\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{nn+1}=\sum_{n=1}^\infty\left\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right=

14.函数fx=\lnx在x=1处的导数是______【答案】1【解析】fx=\frac{1}{x}，f1=

15.极限\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}的值是______【答案】2【解析】\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=

26.函数fx=\cosx在x=\pi处的值是______【答案】-1【解析】f\pi=\cos\pi=-

17.积分\int_1^2\frac{1}{x}dx的值是______【答案】\ln2【解析】\int_1^2\frac{1}{x}dx=[\lnx]_1^2=\ln

28.级数\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}的求和结果是______【答案】\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1【解析】\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}是等比级数，公比r=\frac{1}{2}，和为\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1

四、判断题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^2在x=0处可导（）【答案】（√）【解析】f0=2\cdot0^1=0，可导

2.积分\int_0^1x^2dx的值是1（）【答案】（×）【解析】\int_0^1x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}

3.级数\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}是收敛的（）【答案】（×）【解析】\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}是调和级数，发散

4.极限\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1（）【答案】（√）【解析】极限值为

15.函数fx=\cosx在x=0处的导数是-1（）【答案】（×）【解析】f0=-\sin0=

06.积分\int_1^2\frac{1}{x}dx的值是\ln2（）【答案】（√）【解析】\int_1^2\frac{1}{x}dx=[\lnx]_1^2=\ln

27.级数\sum_{n=1}^\infty-1^n\frac{1}{n}是绝对收敛的（）【答案】（×）【解析】条件收敛

8.极限\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=0（）【答案】（√）【解析】极限值为

09.函数fx=\sinx在x=\pi处的值是0（）【答案】（√）【解析】f\pi=\sin\pi=

010.积分\int_0^1e^xdx的值是e-1（）【答案】（√）【解析】\int_0^1e^xdx=[e^x]_0^1=e-1

五、简答题（每题3分，共12分）

1.简述函数在某点处连续的定义【答案】函数fx在点x_0处连续，当且仅当\lim_{x\tox_0}fx=fx_

02.简述级数收敛的必要条件【答案】级数\sum_{n=1}^\inftya_n收敛的必要条件是\lim_{n\to\infty}a_n=

03.简述导数的几何意义【答案】导数的几何意义是函数在某点处的切线斜率

4.简述积分的几何意义【答案】定积分的几何意义是曲线与x轴围成的面积

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=\pm1f-2=-8，f-1=2，f0=0，f1=-2，f2=8在区间[-2,-1]和[1,2]上单调递增，在区间[-1,1]上单调递减极大值为2，极小值为-

22.分析级数\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}的敛散性【答案】当p1时，级数收敛；当p\leq1时，级数发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx【答案】\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx=\int_0^1\left1-\frac{1}{1+x^2}\rightdx=[x-\arctanx]_0^1=1-\frac{\pi}{4}

2.证明级数\sum_{n=1}^\infty\frac{-1^n}{n}的条件收敛性【答案】级数\sum_{n=1}^\infty\frac{-1^n}{n}是交错级数，满足交错级数收敛条件，条件收敛---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.C

4.B

5.A

6.B

7.C

8.A

9.D

10.C

11.D

12.B

13.A

14.B

15.B

16.B

17.A

18.A

19.A

20.A

二、多选题

1.A、D

2.A、D

3.A、C

4.A、B

5.A、B、C

三、填空题

1.

02.\frac{1}{4}

3.

14.

15.

26.-

17.\ln

28.1

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

6.（√）

7.（×）

8.（√）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.函数fx在点x_0处连续，当且仅当\lim_{x\tox_0}fx=fx_

02.级数\sum_{n=1}^\inftya_n收敛的必要条件是\lim_{n\to\infty}a_n=

03.导数的几何意义是函数在某点处的切线斜率

4.定积分的几何意义是曲线与x轴围成的面积

六、分析题

1.fx=3x^2-3，令fx=0，得x=\pm1f-2=-8，f-1=2，f0=0，f1=-2，f2=8在区间[-2,-1]和[1,2]上单调递增，在区间[-1,1]上单调递减极大值为2，极小值为-

22.当p1时，级数收敛；当p\leq1时，级数发散

七、综合应用题

1.\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx=\int_0^1\left1-\frac{1}{1+x^2}\rightdx=[x-\arctanx]_0^1=1-\frac{\pi}{4}

2.级数\sum_{n=1}^\infty\frac{-1^n}{n}是交错级数，满足交错级数收敛条件，条件收敛。