数学城市竞赛真题与答案解析

数学城市竞赛真题与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1时取得极小值，且f1=2，则（）（2分）A.a0,b=-2aB.a0,b=2aC.a0,b=2aD.a0,b=-2a【答案】A【解析】函数在x=1处取得极小值，则f1=0且f10由fx=2ax+b得2a+b=0，即b=-2a又f1=a+b+c=2，代入b=-2a得a-2a+c=2，即c=a+2因为极小值，a

02.在△ABC中，若∠A=60°，AB=4，AC=3，则BC的长度为（）（2分）A.√7B.5C.√19D.7【答案】B【解析】使用余弦定理，BC^2=AB^2+AC^2-2AB·AC·cosA=4^2+3^2-2×4×3×cos60°=16+9-12=13，故BC=√13，但选项中无正确答案，重新检查题设，发现∠A=60°时，BC=√AB^2+AC^2-2AB·AC·cosA=√16+9-12=√13，选项有误

3.已知集合A={x|-1x3}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）（2分）A.{x|2≤x3}B.{x|-1x≤2}C.{x|-1x2}D.∅【答案】A【解析】A与B的交集是同时满足-1x3和x≥2的x值，即2≤x

34.若复数z=1+i，则|z|=（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】复数z的模|z|=√1^2+1^2=√

25.方程x^3-3x^2+2x=0的实数根个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.0【答案】C【解析】因式分解得xx^2-3x+2=0，即xx-1x-2=0，有3个实数根

6.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=14，则a_10=（）（2分）A.29B.30C.31D.32【答案】A【解析】等差数列中a_4=a_1+3d，得14=5+3d，解得d=3则a_10=a_1+9d=5+27=32，但选项有误，重新检查计算，发现a_10=5+9×3=32，选项有误

7.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2=（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】相切条件为圆心到直线的距离等于半径，即|b|/√k^2+1=1，两边平方得b^2=k^2+1，故k^2+b^2=

28.在直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点的坐标是（）（2分）A.a,-bB.-a,bC.-a,-bD.b,a【答案】C【解析】点关于原点对称，横纵坐标均取相反数

9.函数fx=log_ax在0,+∞上单调递减，则a的取值范围是（）（2分）A.0a1B.a1C.a0D.a=1【答案】A【解析】对数函数fx=log_ax在底数a1时单调递增，在0a1时单调递减

10.在△ABC中，若AB=AC，且∠B=45°，则sin∠A=（）（2分）A.1/√2B.1/2C.√2/2D.√3/2【答案】C【解析】等腰三角形中，底角相等，∠A=∠C，又∠B=45°，则∠A=180°-2×45°=90°，故sin∠A=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内单调递增的有？（）（4分）A.y=2x+1B.y=x^2C.y=e^xD.y=log_2xE.y=sinx【答案】A、C、D【解析】一次函数y=2x+1，指数函数y=e^x，对数函数y=log_2x在定义域内单调递增二次函数y=x^2在x≥0时单调递增，在x0时单调递减正弦函数y=sinx非单调

2.下列命题中，正确的有？（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则√a√bE.若ab，则a^3b^3【答案】C、D、E【解析】若ab，则1/a1/b（a,b同号）若ab0，则√a√b若ab，则a^3b^3反例若a=1,b=-2，则ab但a^2b^

23.下列不等式成立的有？（）（4分）A.|x|+|y|≥|x+y|B.a^2+b^2≥2abC.1+x^n≥1+nx（n为正整数）D.1+cos2θ≥2E.a+b+c≥3√abc（a,b,c0）【答案】A、B、D、E【解析】三角不等式|a|+|b|≥|a+b|平方和不等式a^2+b^2≥2ab二项式定理1+x^n≥1+nx（n为正整数，x≥-1）余弦定理1+cos2θ=2cos^2θ≥2均值不等式a+b+c≥3√abc

4.下列函数中，是奇函数的有？（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=x^2+1E.y=tanx【答案】A、B、C、E【解析】奇函数满足f-x=-fxy=x^3，y=1/x，y=sinx，y=tanx均为奇函数y=x^2+1为偶函数

5.下列命题中，正确的有？（）（4分）A.若fx是偶函数，则fx是奇函数B.若fx是奇函数，则fx是偶函数C.若fx是周期函数，则fx也是周期函数D.若fx是单调函数，则fx也是单调函数E.若fx是连续函数，则fx也是连续函数【答案】A、B、C【解析】偶函数fx满足f-x=fx，则f-x=-fx，fx为奇函数奇函数fx满足f-x=-fx，则f-x=fx，fx为偶函数周期函数fx满足fx+T=fx，则fx+T=fx，fx也是周期函数单调函数不一定导数单调，连续函数不一定可导，导函数不一定连续

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在直角坐标系中，点P3,-4到原点的距离是______（4分）【答案】5【解析】|OP|=√3^2+-4^2=√25=

52.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则公比q=______（4分）【答案】2【解析】a_3=a_1q^2，即8=2q^2，解得q^2=4，故q=±2，但a_3a_1，故q=

23.函数fx=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】被开方数非负，即x-1≥0，解得x≥

14.在△ABC中，若sinA=3/5，cosA=4/5，则tanA=______（4分）【答案】3/4【解析】tanA=sinA/cosA=3/5/4/5=3/

45.若复数z=2+3i，则z^=______（4分）【答案】2-3i【解析】共轭复数，虚部取相反数

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例若a=1,b=-2，则ab但a^2b^

22.若fx是偶函数，则fx也是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】偶函数fx满足f-x=fx，则f-x=-fx，fx为奇函数

3.若fx是奇函数，则fx也是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】奇函数fx满足f-x=-fx，则f-x=fx，fx为偶函数

4.若fx是周期函数，则fx也是周期函数（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=sinx^2是周期函数，但fx=2xcosx^2不是周期函数

5.若fx是单调函数，则fx也是单调函数（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=x^3在-∞,+∞上单调递增，但fx=3x^2在-∞,0上递减，在0,+∞上递增，非单调

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2x的极值点（5分）【答案】求导fx=3x^2-6x+2，令fx=0得3x^2-6x+2=0，解得x=3±√9-24/6=3±√-15/6，无实数根，故fx无极值点

2.求过点P1,2且与直线L:3x-4y+5=0平行的直线方程（5分）【答案】直线L的斜率为3/4，所求直线斜率也为3/4，方程为y-2=3/4x-1，即3x-4y+5=

03.求极限limx→0sinx/x（5分）【答案】利用极限定义，limx→0sinx/x=1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1和x=2时取得极值，求a和b的值（10分）【答案】求导fx=3x^2-2ax+b，由极值条件f1=0,f2=0得3-2a+b=0,12-4a+b=0，解得a=3,b=-

32.已知函数fx=log_ax在0,+∞上单调递减，且满足f2=1/2，求a的值（10分）【答案】由f2=1/2得log_a2=1/2，即a^1/2=2，解得a=4，且0a1，故a=1/4

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.在△ABC中，若AB=AC，且∠BAC=120°，BC=6，求△ABC的面积（25分）【答案】作高AD垂直BC于D，则AD平分∠BAC，∠BAD=60°，在Rt△ABD中，cos60°=AD/AB，得AD=AB/2由余弦定理AB^2=AC^2=AD^2+BD^2-2AD·BD·cos60°，又BD=BC/2=3，代入解得AB=√21，AD=√21/2面积S=1/2×BC×AD=1/2×6×√21/2=3√21/2。