数学学竞赛试题及答案解析版

数学学竞赛试题及答案解析版

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k，k∈Z}，则集合A与B的关系是（）（2分）A.A⊂BB.A⊃BC.A=BD.A∩B=∅【答案】A【解析】集合A={1，2}，集合B是所有偶数的集合，A是B的子集

2.函数fx=log_a|x|（a0且a≠1）的图象关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C原点D.以上都不对【答案】B【解析】fx是偶函数，图象关于y轴对称

3.若复数z满足|z|=1，则z^2023+1的值可能是（）（2分）A.0B.1C.-1D.±1【答案】D【解析】|z|=1说明z在单位圆上，z^2023在单位圆上，z^2023+1的值可能是±

14.设函数fx=sinωx+φ（ω0，|φ|π/2），若fx的最小正周期为π，则φ的取值范围是（）（2分）A.0，π/2B.π/2，πC.0，π/2∪π/2，πD.0，π【答案】C【解析】周期T=2π/ω=π，ω=2，φ需在0，π/2或π/2，π内

5.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosC的值是（）（2分）A.1/2B.3/4C.5/6D.4/5【答案】D【解析】由余弦定理，cosC=a^2+b^2-c^2/2ab，代入比值计算得cosC=4/

56.执行以下程序段后，x的值是（）（2分）x=5；y=3；x=x+y；y=x-y；x=x-y（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】逐步计算x=8，y=5，x=3，y=3，x=

27.不等式|x-1|+|x+2|4的解集是（）（2分）A.-∞，-3∪1，+∞B.-∞，-3∪3，+∞C.-3，1∪3，+∞D.R【答案】A【解析】分段讨论x-2，-2≤x≤1，x1，解得x-3或x

18.设fx是定义在R上的奇函数，且f1=1，fx+2=fx+f2，则f5的值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】f3=f1+f2=1+f2，f5=f3+f2=1+2f2，由f0=0得f2=1，f5=

39.在直角坐标系中，点Pa，b到直线x+y-1=0的距离是（）（2分）A.|a+b-1|/√2B.√2|a+b-1|C.|a-b+1|/√2D.√2|a-b-1|【答案】A【解析】点到直线距离公式d=|Ax+By+C|/√A^2+B^2，代入得d=|a+b-1|/√

210.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=27，则a_9的值是（）（2分）A.6B.9C.12D.15【答案】C【解析】由S_3=9，S_6=27，得a_4+a_5+a_6=18，a_4+a_5=9，a_6=9，a_9=a_6+3d=12

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CC.若x^2=1，则x=±1D.若fx是偶函数，则fx=f-x对任意x成立【答案】A、B、D【解析】空集是所有集合的子集，传递性成立，平方根有两个值，偶函数定义

2.关于函数fx=x^3-ax+b，下列结论正确的是（）（4分）A.若a^2-b=0，则fx有重根B.若fx在R上单调递增，则a≥0C.若f1=0，则fx必有一根在0，1D.若fx有两个相异实根，则a^24b【答案】A、B【解析】a^2=b时判别式Δ=0有重根，单调递增需导数fx≥0，f1=0不能推0,1有根，Δ0有相异实根

3.在△ABC中，下列条件能确定△ABC的形状的是（）（4分）A.sinA/sinB=c/bB.c^2=a^2+b^2C.a/b=b/c=c/aD.cosA+bcosB=ccosC【答案】A、B、C【解析】正弦定理，勾股定理，等边三角形，余弦定理变形

4.关于数列{a_n}，下列说法正确的是（）（4分）A.若{a_n}是等差数列，则S_n是关于n的一次函数B.若{a_n}是等比数列，则S_n是关于n的一次函数C.若S_n=na_n，则{a_n}是等差数列D.若{a_n}是递增数列，则S_n是关于n的增函数【答案】A、C【解析】等差数列前n项和是n的一次函数，S_n=na_n推导出a_n是常数或等差数列，递增数列前n项和不一定递增

5.关于复数z，下列说法正确的是（）（4分）A.若z是实数，则|z|是实数B.若|z|=1，则z是实数C.若z^2是实数，则z是实数D.若z=a+bi（a，b∈R），则|z|=\sqrt{a^2+b^2}【答案】A、D【解析】实数的模是实数，单位圆上复数不一定是实数，平方为实数不一定在实轴上，模的坐标表示正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=√x^2+2x+3在区间[-3，2]上的最小值是______（4分）【答案】√2【解析】fx=√[x+1^2+2]，当x=-1时取最小值√

22.若tanα=1/2，则sinα+β的值（α+β∈0，π）是______（4分）【答案】5√5/10【解析】由tanα求sinα，cosα，再用和角公式

3.在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，b=√7，c=3，则cosB的值是______（4分）【答案】2/3【解析】余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB，代入计算cosB=2/

34.数列{a_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则a_5的值是______（4分）【答案】28【解析】a_n=S_n-S_{n-1}，逐项计算得a_5=

285.若复数z满足|z-1|=1且argz=π/3，则z的代数形式是______（4分）【答案】1+√3i【解析】单位圆上复数z=1+cosθ+isinθ，θ=π/3得z=1+√3i

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则其反函数f^-1x在对应区间上单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数的反函数单调递增

2.在等比数列{a_n}中，若a_1=a，公比q≠1，则S_n=a-a_nq/1-q（）（2分）【答案】（√）【解析】由S_n=a1-q^n/1-q推导

3.若三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】满足勾股定理，是直角三角形

4.若函数fx是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞上单调递增，则f-2f1（）（2分）【答案】（×）【解析】f-2=f2，由于21，f2f1，所以f-2f

15.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】平方后一般不保持等差性

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2+bx+c，若f1=3且fx在x=2时取得极值，求b，c的值（5分）【答案】b=-4，c=5【解析】f1=1+b+c=3，fx=2x+b，f2=4+b=0，解得b=-4，c=

52.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值和角C的正切值（5分）【答案】sinB=4/5，tanC=4/3【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=3/5，sinB=4/5，由正弦定理sinC/c=sinB/b，tanC=sinC/cosC=4/

33.若数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求a_3和a_5的值（5分）【答案】a_3=8，a_5=16【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=2n，a_3=8，a_5=16

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=2cos^2x+sin2x-1，求fx的最大值和最小值（12分）【答案】最大值=2，最小值=-2【解析】fx=cos2x+sin2x=√2sin2x+π/4，最大值√2，最小值-√2，但cos2x范围是[-1，1]，sin2x范围是[-1，1]，综合得最大值2，最小值-

22.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，求cosA+cosB+cosC的值（12分）【答案】11/10【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=11/16，cosB=10/16，cosC=9/16，cosA+cosB+cosC=11/10

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为a万元，每生产一件产品需可变成本b元，市场需求量与产品价格的关系为p=10-

0.01q（q为需求量，p为价格），工厂要使利润最大，应生产多少件产品？（25分）【答案】生产500件产品【解析】收入R=pq=10-

0.01qq=10q-

0.01q^2，成本C=a+bq，利润L=R-C=10q-

0.01q^2-a+bq，求导L=10-

0.02q-b，令L=0得q=500，检验为极大值

2.在等差数列{a_n}中，若S_10=100，S_20=380，求a_1，d和S_30的值（25分）【答案】a_1=1，d=3，S_30=855【解析】S_10=10a_1+45d=100，S_20=20a_1+190d=380，解得a_1=1，d=3，S_30=30a_1+435d=855---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.D

4.C

5.D

6.A

7.A

8.C

9.A

10.C

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B

3.A、B、C

4.A、C

5.A、D

三、填空题

1.√

22.5√5/

103.2/

34.

285.1+√3i

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.b=-4，c=

52.sinB=4/5，tanC=4/

33.a_3=8，a_5=16

六、分析题

1.最大值=2，最小值=-

22.cosA+cosB+cosC=11/10

七、综合应用题

1.生产500件产品

2.a_1=1，d=3，S_30=855。