数学学综合试题及精准答案

数学学综合试题及精准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为负，为减函数；y=x^2是二次函数，开口向上，先减后增；y=1/x是反比例函数，为减函数；y=|x|是绝对值函数，先减后增只有A选项符合增函数特征

2.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5的值是（）（2分）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】由等差数列性质，a_3+a_7=2a_5=12，故a_5=

63.若直线y=kx+3与圆x-1^2+y-2^2=4相切，则k的值是（）（2分）A.-1B.1C.2D.3【答案】A【解析】圆心1,2，半径2，相切时距离等于半径，|k1-12+3|/√k^2+1=2，解得k=-

14.函数fx=sinx+π/3-cosx的最小正周期是（）（2分）A.2πB.πC.2π/3D.π/3【答案】A【解析】sinx+π/3-cosx=√3/2sinx+1/2cosx-1/2cosx=√3/2sinx，周期为2π

5.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现要随机抽取5人参加活动，则抽到3名男生和2名女生的概率是（）（2分）A.1/50B.1/8C.3/16D.15/128【答案】D【解析】P=C30,3C20,2/C50,5=15/

1286.若复数z=1+i，则z^2的值是（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i

7.在直角三角形中，若两条直角边的长分别为3和4，则斜边的长是（）（2分）A.5B.7C.25D.1【答案】A【解析】由勾股定理，斜边长√3^2+4^2=

58.下列命题中，真命题是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.两个无理数的和一定是无理数D.两个奇数的积一定是奇数【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是真命题

9.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.-2B.2C.8D.6【答案】C【解析】f-2=-2，f2=8，f0=0，f1=-2，f-1=2，最大值为

810.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，则b_3的值是（）（2分）A.4B.8C.8√2D.16√2【答案】B【解析】b_4=b_1q^3，q=2，b_3=b_1q^2=8

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于函数y=1/x的说法正确的有（）（4分）A.定义域为RB.值域为RC.是奇函数D.图像关于y=x对称【答案】C、D【解析】定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}，是奇函数，图像关于y=x对称

2.以下不等式成立的有（）（4分）A.|x-1|2B.x^2-4x+30C.sinx+cosx=1D.2^x1【答案】A、B、D【解析】|x-1|2解得x-1或x3；x^2-4x+3=x-1x-30解得1x3；sinx+cosx=1不成立；2^x1成立当x

03.以下图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等腰梯形B.平行四边形C.正五边形D.圆【答案】A、C、D【解析】等腰梯形、正五边形、圆是轴对称图形

4.以下关于数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1dB.等比数列的前n项和公式为S_n=b_1q^n-1C.等差数列的任意两项之差为常数D.等比数列的任意两项之比为常数【答案】A、C、D【解析】等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，任意两项之差为常数d；等比数列前n项和公式为S_n=b_1q^n-1/q-

15.以下关于三角函数的说法正确的有（）（4分）A.sin^2x+cos^2x=1B.tanx=sinx/cosxC.sinπ/2-x=cosxD.sinx的周期为2π【答案】A、B、C、D【解析】均为三角函数基本性质

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】分段函数fx=-2x-1x-2，3-2≤x≤1，2x+1x1，最小值为

32.若sinα=1/2，α在第二象限，则cosα的值是______（4分）【答案】-√3/2【解析】由sin^2α+cos^2α=1，cosα=-√1-sin^2α=-√3/

23.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的值是______（4分）【答案】3√2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，AC=BCsinB/sinA=6sin60°/sin45°=3√

24.若复数z=3+2i，则|z|的值是______（4分）【答案】√13【解析】|z|=√3^2+2^2=√

135.等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则a_5的值是______（4分）【答案】1【解析】a_5=a_1+4d=5-8=

16.函数fx=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0，x≥

17.若直线y=2x+1与直线y=kx-3垂直，则k的值是______（4分）【答案】-1/2【解析】垂直时斜率乘积为-1，2k=-1，k=-1/

28.在等比数列{b_n}中，若b_2=4，b_4=16，则b_1的值是______（4分）【答案】2【解析】b_4=b_1q^3，q=2，b_1=b_2/q=4/2=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，ab但a^2=1b^2=

42.函数y=1/x是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=1/-x=-1/x=-fx，是奇函数

3.两个互斥事件的概率之和等于1（）（2分）【答案】（×）【解析】互斥事件概率之和等于1当且仅当为对立事件

4.若sinα=cosα，则α=π/4（）（2分）【答案】（×）【解析】α=π/4+kπk∈Z

5.圆x-a^2+y-b^2=r^2的圆心在原点（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心a,b，只有a=b=0时在原点

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值和最小值（4分）【答案】最小值f2=1，最大值f4=7【解析】fx=2x-4，f2=0，端点f1=0，f4=7，故最小值为1，最大值为

72.解方程x^2-3x-4=0（4分）【答案】x=-1或x=4【解析】x-4x+1=0，解得x=-1或x=

43.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，求该数列的通项公式（4分）【答案】a_n=2n【解析】a_5=a_1+4d，d=2，a_n=a_1+n-1d=2+2n-1=2n

4.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度（4分）【答案】BC=6√2/√3【解析】由正弦定理BC=ACsinA/sinB=6sin60°/sin45°=6√2/√

35.已知复数z=1+i，求z^3的值（4分）【答案】-2+2i【解析】z^3=1+i^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明等差数列中任意三项a_m，a_n，a_kmnk满足a_n^2=a_ma_k（10分）【证明】设公差为d，a_n=a_m+n-md，a_k=a_m+k-md，a_n^2=[a_m+n-md]^2=a_m^2+2a_mn-md+n-m^2d^2，a_ma_k=a_m^2+k-ma_md，由等差性质2a_n=a_m+a_k，得a_n^2=a_ma_k

2.已知函数fx=x^3-3x+2，求fx的极值点（10分）【解】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=-1或x=1，fx=6x，f-1=-60，f1=60，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元若生产x件产品，求

（1）利润函数；

（2）至少生产多少件产品才能盈利？

（3）生产100件产品的利润是多少？（25分）【解】

（1）利润函数Lx=80x-50x-100000=30x-100000

（2）盈利即Lx0，30x-1000000，x

3333.33，至少生产3334件

（3）L100=30100-100000=-70000元

2.已知圆C x-1^2+y-2^2=4，直线L y=kx-1

（1）求圆心到直线L的距离d；

（2）若直线L与圆C相切，求k的值；

（3）若直线L过圆C的圆心，求k的值（25分）【解】

（1）d=|k1-2-1|/√k^2+1=|k-3|/√k^2+1

（2）相切即d=2，|k-3|/√k^2+1=2，解得k=5/12

（3）过圆心即d=0，|k-3|/√k^2+1=0，k=3---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.A

5.D

6.A

7.A

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.C、D

2.A、B、D

3.A、C、D

4.A、C、D

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

32.-√3/

23.3√

24.√

135.

16.[1,+∞

7.-1/

28.2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.最小值1，最大值

72.x=-1或x=

43.a_n=2n

4.BC=6√2/√

35.z^3=-2+2i

六、分析题

1.证明见解析

2.极大值点x=-1，极小值点x=1

七、综合应用题

1.

（1）Lx=30x-100000；

（2）3334件；

（3）-70000元

2.

（1）d=|k-3|/√k^2+1；

（2）k=5/12；

（3）k=3。