数学理竞赛试题及答案揭秘

数学理竞赛试题及答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.-1【答案】A【解析】fx=3x²-a，f1=3-a=0，解得a=

32.抛掷两个质地均匀的骰子，点数之和为7的概率是（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18【答案】A【解析】点数和为7的组合有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1，共6种，概率为6/36=1/

63.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²=c²，则△ABC是（）（2分）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.钝角三角形【答案】A【解析】根据勾股定理，a²+b²=c²说明△ABC是直角三角形

4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则该数列是（）（2分）A.等差数列B.等比数列C.摆动数列D.递增数列【答案】A【解析】a_n=S_n-S_{n-1}即a_n=a_{n-1}，说明数列是常数列，属于等差数列的特殊情况

5.不等式|2x-1|3的解集是（）（2分）A.-1,2B.-2,1C.-4,4D.-1,4【答案】D【解析】-32x-13，解得-12x4，即-1/2x

26.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.2πB.πC.π/2D.π/4【答案】B【解析】周期T=2π/|ω|=2π/2=π

7.已知直线l ax+by+c=0与圆O x²+y²=1相切，则|a|+|b|+|c|的最大值是（）（2分）A.√2B.2C.√3D.3【答案】B【解析】圆心到直线的距离d=|c|/√a²+b²=1，得a²+b²=c²，最大值时a=±1，b=±1，c=±1，|a|+|b|+|c|=

38.若复数z满足|z|=2且argz=π/4，则z的代数形式是（）（2分）A.√2+√2iB.2+2iC.2√2+2√2iD.1+i【答案】C【解析】z=|z|cosθ+isinθ=2√2cosπ/4+isinπ/4=2√2√2/2+i√2/2=2√2+2√2i

9.已知直线y=kx+b与抛物线y²=4x交于Ax₁,y₁、Bx₂,y₂，若x₁+x₂=3，则k的值为（）（2分）A.1/2B.1C.2D.3【答案】B【解析】将直线方程代入抛物线方程得k²x²+2kb-4x+b²=0，x₁+x₂=-B/A=-2kb+4/k=3，解得k=

110.在等差数列{a_n}中，若a₁+a₅=10，a₂+a₄=12，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值是（）（2分）A.20B.25C.30D.35【答案】C【解析】a₁+a₅=2a₃=10，a₂+a₄=2a₃=12，则a₃=5，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=5+12=17

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a²b²B.若fx是奇函数，则f0=0C.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，有a_na_{n+1}D.若|z|=1，则z²=1【答案】C【解析】A错，如a=1，b=-2；B错，如fx=x³，f0=0；C对；D错，如z=-1，z²=

12.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（4分）A.1B.2C.3D.-3【答案】B【解析】分段函数fx={x+3x-2,-x+1-2≤x≤1,x-1x1}，最小值在x=1处取得为

23.在△ABC中，若cosAcosB+sinAsinB=1/2，则角C的大小可能是（）（4分）A.π/3B.π/4C.π/6D.2π/3【答案】A、C【解析】cosA-B=1/2，得A-B=π/3或5π/3，C=π-A+B，若A-B=π/3，则C=π-2A=π/3，若A-B=5π/3，则C=π/

34.抛掷三个均匀的硬币，恰好出现两个正面的概率是（）（4分）A.1/8B.3/8C.1/4D.1/2【答案】B【解析】总情况8种，出现两个正面有正正反、正反正、反正正，共3种，概率3/

85.已知fx=x²-ax+1在区间[1,2]上的最小值是-1，则a的取值范围是（）（4分）A.-∞,2]B.[2,+∞C.-∞,0D.[4,+∞【答案】A、D【解析】fx=2x-a，在x=1或x=2处取得最值，f1=-a≥-1，f2=4-2a≥-1，解得a≤2或a≤4

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在等比数列{a_n}中，若a₁=2，a₅=16，则公比q=______（4分）【答案】2【解析】a₅=a₁q⁴，16=2q⁴，得q=

22.不等式x²-3x+20的解集是______（4分）【答案】-∞,1∪2,+∞【解析】x-1x-20，解得x1或x

23.函数y=tanx-π/4的图像关于______对称（4分）【答案】y=x【解析】tan函数图像关于原点对称，平移π/4后对称轴变为y=x

4.已知圆心在原点O，半径为r的圆与直线x+y=1相切，则r=______（4分）【答案】√2/2【解析】圆心到直线距离d=|0+0-1|/√2=r，解得r=√2/

25.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则sinC=______（4分）【答案】√6/4【解析】C=180°-60°-45°=75°，sinC=sin45°+30°=sin75°=√3+1/2√2=√6/4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则logₐclog_bc对任意正数c成立（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=2b=1，c=1/4，log₂1/4=-2log₁1/4=

02.函数y=cos2x+π/3的图像可以通过将函数y=cos2x的图像向左平移π/6得到（）（2分）【答案】（×）【解析】y=cos2x+π/3是向左平移π/6，但周期变化，平移量应为π/6/2=π/

123.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则{a_n}一定为等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如常数列a_n=0，虽然满足条件但不是等差数列

4.已知点Px,y在圆x²+y²=1上，则|y|的最大值是1（）（2分）【答案】（√）【解析】y²=1-x²，|y|≤√1-x²≤1，当x=0时取等号

5.若fx是定义在R上的奇函数，且fx单调递增，则对任意x₁x₂，有fx₁fx₂（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数f-x=-fx，若x₁x₂，则-x₂-x₁，f-x₂f-x₁，即-fx₂-fx₁，得fx₁fx₂

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数y=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值1，最小值-2【解析】y=3x²-6x=3xx-2，驻点x=0,2，f0=2，f2=-2，端点f-1=-2，f3=2，最大值1，最小值-

22.解不等式|3x-2|x+4（4分）【答案】x-1或x3【解析】3x-2x+4或3x-2-x-4，解得x3或x-

13.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，求a₁和a_n的表达式（4分）【答案】a₁=2，a_n=2n【解析】a₁=S₁=2，a_n=S_n-S_{n-1}=n²+n-n-1²-n-1=2n

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-px+1在x=1处取得极值，求p的值，并判断该极值是极大值还是极小值（10分）【答案】p=3，极小值【解析】fx=3x²-p，f1=3-p=0，得p=3，fx=6x，f1=60，是极小值点，极小值为f1=1-3+1=-

12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，求cosA的值（10分）【答案】cosA=3/4【解析】cosA=b²+c²-a²/2bc=7+9-4/2×√7×3=12/6√7=√7/7，cosA=3/4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n，求通项公式a_n，并证明数列{a_n}是等差数列（25分）【答案】a_n=2n【解析】a₁=S₁=2，a_n=S_n-S_{n-1}=n²+n-[n-1²+n-1]=2n，故a_n=2n，a_{n+1}-a_n=2n+1-2n=2，是等差数列

2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数的最小值，并画出函数的图像（25分）【答案】最小值3，图像见下图【解析】fx={x+3x-2,-x+1-2≤x≤1,x-1x1}，最小值在x=1处取得为f1=3，图像由三段折线组成。