数学理综合试题及答案汇总

数学理综合试题及答案汇总

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=2}，则集合A与B的关系是（）（2分）A.A⊂BB.A⊃BC.A=BD.A∩B=∅【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}，B={1,2}，故A=B

2.函数fx=|x-1|在区间[0,3]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】当x=1时，fx=|1-1|=0，而在[0,3]区间内，fx的最小值为

03.若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ的值为（）（2分）A.√3/2B.1/2C.√2/2D.-√3/2【答案】A【解析】由sinθ=1/2且θ为锐角，得θ=π/6，cosπ/6=√3/

24.等差数列{a_n}中，a_1=2，a_4=6，则a_7的值为（）（2分）A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】由等差数列性质，a_4=a_1+3d，得3d=4，所以d=4/3，a_7=a_1+6d=2+8=

105.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinA的值为（）（2分）A.√3/2B.1/2C.√2/2D.-√3/2【答案】A【解析】由cosA=1/2，得A=π/3，sinπ/3=√3/

26.函数gx=lnx+1在区间-1,0上的单调性为（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.不单调D.不确定【答案】A【解析】gx=1/x+1，在-1,0上，gx0，故gx单调递增

7.若复数z=1+i，则z^2的值为（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i

8.圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（2分）A.2,-3B.-2,3C.2,3D.-2,-3【答案】C【解析】圆方程可化为x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-

39.抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）（2分）A.2,0B.0,2C.-2,0D.0,-2【答案】A【解析】抛物线y^2=8x的焦点为2,

010.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，随机抽取3名学生，抽到至少1名女生的概率为（）（2分）A.2/5B.3/5C.1/5D.4/5【答案】B【解析】抽到至少1名女生的概率为1-抽到全是男生的概率=1-C30,3/C50,3=3/5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内连续的有（）（4分）A.fx=√xB.gx=1/xC.hx=tanxD.kx=lnx【答案】A、D【解析】fx=√x和kx=lnx在其定义域内连续

2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，则下列说法正确的有（）（4分）A.b_3=27B.q=3C.b_5=243D.S_6=363【答案】A、B、C【解析】由b_4=b_1q^3，得q=3，b_3=b_1q^2=27，b_5=b_1q^4=

2433.下列不等式成立的有（）（4分）A.2^1010^2B.10^33^10C.log_28log_327D.2sin60°cos45°【答案】A、D【解析】2^10=1024100=10^2，2sin60°=√3√2=cos45°

4.在直角坐标系中，点Pa,b关于y轴对称的点的坐标为（）（4分）A.a,-bB.-a,bC.b,aD.-b,a【答案】B【解析】点Pa,b关于y轴对称的点的坐标为-a,b

5.关于函数fx=x^3-ax^2+bx+c，下列说法正确的有（）（4分）A.若a0，则fx在x→+∞时，fx→+∞B.若b0，则fx在x→-∞时，fx→+∞C.fx的图像必过点1,1D.若fx=0有两个不相等的实根，则fx有两个极值点【答案】A、D【解析】fx=3x^2-2ax+b，若有两个不相等的实根，则fx有两个极值点

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若直线y=2x+1与圆x^2+y^2-4x+6y-3=0相切，则切点坐标为______（4分）【答案】1,3【解析】将y=2x+1代入圆方程，得x^2+4x+4=0，解得x=1，y=

32.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/2×4×5=4/

53.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均变化率为______（4分）【答案】e-1【解析】平均变化率=e^1-e^0/1=e-

14.在复平面内，表示复数z=-2+3i的点的坐标为______（4分）【答案】-2,3【解析】复数z=-2+3i对应的点的坐标为-2,3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则fx在该区间上必有最大值（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增函数在闭区间[a,b]上必有最大值fb

2.等差数列的前n项和S_n与项a_n的关系为S_n=na_n（）（2分）【答案】（×）【解析】应为S_n=na_1+a_n/

23.若三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则该三角形为直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】3^2+4^2=5^2，满足勾股定理

4.函数fx=sinx在区间[0,π]上是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】sinx在[0,π/2]上增，在[π/2,π]上减

5.若复数z满足|z|=1，则z可以表示为z=cosθ+isinθ（）（2分）【答案】（√）【解析】根据欧拉公式，|z|=1时，z=cosθ+isinθ

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^2-4x+3的单调区间（4分）【答案】解fx=2x-4，令fx=0，得x=2当x2时，fx0，fx单调递减；当x2时，fx0，fx单调递增故单调递减区间为-∞,2，单调递增区间为2,+∞

2.已知向量a=1,2，b=3,-1，求向量a+b的坐标及|a+b|的值（4分）【答案】a+b=1+3,2-1=4,1，|a+b|=√4^2+1^2=√

173.证明在等差数列{a_n}中，若S_n=na_1+a_n/2，则该数列为等差数列（4分）【答案】证明由S_n=na_1+a_n/2，得a_n=2a_1+n-1d，所以a_{n+1}=2a_1+nd，a_{n+1}-a_n=2d，为常数，故{a_n}为等差数列

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点及对应的极值（10分）【答案】解fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-60，fx在x=0处取极大值f0=2；f2=60，fx在x=2处取极小值f2=-

22.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca，求角C的大小（10分）【答案】解由a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca，得2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca，即a-b^2+b-c^2+c-a^2=0，所以a=b=c，故△ABC为等边三角形，角C=60°

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每生产一件产品的可变成本为20元，售价为30元若生产x件产品的利润为Lx万元，求

（1）Lx的表达式；

（2）生产多少件产品时，工厂开始盈利？

（3）当生产量为500件时，工厂的利润是多少？（25分）【答案】

（1）Lx=30x-20x-10-10=10x-20，

（2）令Lx0，得10x-200，x2，生产超过200件产品时，工厂开始盈利

（3）L500=10×500-20=4800（元）=

4.8（万元）

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求

（1）fx的极值点及对应的极值；

（2）fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】

（1）fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3，fx=6x-6，f1-√3/3=2√30，fx在x=1-√3/3处取极小值f1-√3/3=-2√3/9+5/9；f1+√3/3=-2√30，fx在x=1+√3/3处取极大值f1+√3/3=2√3/9+5/9

（2）f-1=-1，f3=10，f-1=-1，f1-√3/3=-2√3/9+5/9，f1+√3/3=2√3/9+5/9，f3=10，故最大值为f3=10，最小值为f-1=-1---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.C

5.A

6.A

7.A

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、D

2.A、B、C

3.A、D

4.B

5.A、D

三、填空题

1.1,

32.4/

53.e-

14.-2,3

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.答单调递减区间-∞,2，单调递增区间2,+∞

2.答a+b=4,1，|a+b|=√

173.答证明见解析

六、分析题

1.答极大值点x=0，极大值2；极小值点x=2，极小值-

22.答角C=60°

七、综合应用题

1.答

（1）Lx=10x-20；

（2）x200；

（3）

4.8万元

2.答

（1）极小值点x=1-√3/3，极小值-2√3/9+5/9；极大值点x=1+√3/3，极大值2√3/9+5/9

（2）最大值10，最小值-1。