数学计算比赛试题与答案

数学计算比赛精选试题与答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若方程x^2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）（2分）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】根据判别式△=b^2-4ac=0，得到4-4k=0，解得k=1但题目要求两个相等的实数根，正确答案为k=

22.函数y=√x-1的定义域是（）（2分）A.1,+∞B.-∞,1C.[1,+∞D.-∞,1]【答案】C【解析】根号下的表达式必须非负，所以x-1≥0，解得x≥

13.等差数列{a_n}中，a_1=5，a_3=11，则a_5的值为（）（2分）A.17B.19C.21D.23【答案】C【解析】设公差为d，则a_3=a_1+2d，11=5+2d，解得d=3，所以a_5=a_3+2d=11+6=

174.在直角坐标系中，点Pa,b到原点的距离是（）（2分）A.|a|B.|b|C.√a^2+b^2D.a+b【答案】C【解析】根据两点间距离公式，点P到原点的距离为√a^2+b^

25.若cosθ=1/2，则θ的可能值是（）（2分）A.π/3B.2π/3C.π/3或5π/3D.2π/3或4π/3【答案】C【解析】在单位圆中，cosθ=1/2对应的角度是π/3和5π/

36.函数fx=x^3-3x的极值点是（）（2分）A.x=0B.x=1C.x=-1D.x=0和x=1【答案】D【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，解得x=±1，通过二阶导数检验，x=0和x=1是极值点

7.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值是（）（2分）A.3/4B.4/5C.12/13D.1/2【答案】B【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=4^2+5^2-3^2/245=4/

58.若复数z=1+i，则|z|的值是（）（2分）A.1B.2C.√2D.√3【答案】C【解析】复数z的模长|z|=√1^2+1^2=√

29.直线y=2x+1与x轴的交点坐标是（）（2分）A.0,1B.1,0C.0,-1D.-1,0【答案】A【解析】令y=0，解得x=-1/2，所以交点坐标为-1/2,0，但题目要求的是与x轴的交点，故为0,

110.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积是（）（2分）A.15πB.30πC.45πD.60π【答案】A【解析】圆锥侧面积公式为πrl，其中r=3，l=5，所以侧面积为15π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）（4分）A.y=x^2B.y=2^xC.y=√xD.y=lnx【答案】B、C、D【解析】y=x^2在x≥0时单调递增；y=2^x单调递增；y=√x单调递增；y=lnx单调递增

2.在等比数列{b_n}中，若b_1=2，b_4=32，则数列的公比q可能是（）（4分）A.2B.4C.1/2D.-4【答案】A、B、D【解析】b_4=b_1q^3，32=2q^3，解得q=±2或q=±

43.下列不等式正确的有（）（4分）A.x^2≥0B.|x|≥0C.x^2+x+10D.√x≥0x≥0【答案】A、B、C、D【解析】以上四个不等式均正确

4.关于函数fx=sinx和gx=cosx，下列说法正确的有（）（4分）A.它们都是周期函数B.它们的周期都是2πC.它们都是奇函数D.它们的图像都关于原点对称【答案】A、B【解析】sinx和cosx都是周期函数，周期为2π，但cosx是偶函数，sinx是奇函数，它们的图像不都关于原点对称

5.在空间几何中，下列说法正确的有（）（4分）A.三个平面可以把空间分成四部分B.三个平面可以把空间分成六部分C.三个平面可以把空间分成七部分D.三个平面可以把空间分成八部分【答案】B、C、D【解析】三个平面可以最多把空间分成八部分，最少可以分成四个部分

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若直线l过点1,2且与直线y=3x-1垂直，则直线l的方程是______（4分）【答案】x+y-3=0【解析】垂直直线的斜率是原斜率的负倒数，所以斜率为-1/3，方程为y-2=-1/3x-1，化简得x+y-3=

02.函数y=tanx的定义域是______（4分）【答案】x≠kπ+π/2k∈Z【解析】tanx在x=kπ+π/2k∈Z处无定义

3.若向量a=3,4，向量b=1,-2，则向量a+b的坐标是______（4分）【答案】4,2【解析】向量加法分量对应相加，3+1,4-2=4,

24.圆x^2+y^2-6x+8y-11=0的圆心坐标是______，半径是______（4分）【答案】3,-4；4【解析】圆的标准方程为x-a^2+y-b^2=r^2，将方程配方得x-3^2+y+4^2=4^2，所以圆心为3,-4，半径为4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a^2b^

22.所有等腰三角形都是相似形（）（2分）【答案】（×）【解析】等腰三角形的腰和底边不一定成比例，所以不一定相似

3.对任意实数x，都有e^x0（）（2分）【答案】（√）【解析】指数函数e^x的值域为0,+∞，所以对任意实数x，都有e^x

04.若四边形ABCD的对角线互相平分，则它是平行四边形（）（2分）【答案】（√）【解析】这是平行四边形的一个判定定理

5.样本平均数一定等于总体平均数（）（2分）【答案】（×）【解析】样本平均数是总体平均数的估计值，两者不一定相等

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式（5分）【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，通项公式为a_n=a_1+n-1d等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，通项公式为a_n=a_1q^n-

12.解释什么是函数的奇偶性，并举例说明（5分）【答案】函数fx是奇函数，如果对定义域内的任意x，都有f-x=-fx；函数fx是偶函数，如果对定义域内的任意x，都有f-x=fx例如，fx=x^3是奇函数，fx=x^2是偶函数

3.简述直线与圆的位置关系的判断方法（5分）【答案】设直线方程为Ax+By+C=0，圆方程为x-a^2+y-b^2=r^2，则判别式△=A^2+B^2-4C与r^2的比较关系决定了位置关系△r^2，相离；△=r^2，相切；△r^2，相交

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[-2,3]上的单调性和极值（10分）【答案】首先求导fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0和x=2通过二阶导数检验，x=0是极大值点，x=2是极小值点在区间[-2,3]上，fx在[-2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增极大值为f0=2，极小值为f2=-

22.分析抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点情况（10分）【答案】抛物线与x轴的交点情况由判别式△=b^2-4ac决定若△0，则有两个交点；若△=0，则有一个交点（顶点在x轴上）；若△0，则没有交点（抛物线在x轴上方或下方）

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元求

（1）生产多少件产品才能保本？

（2）若要实现利润10000元，需要生产多少件产品？（25分）【答案】

（1）设生产x件产品，则总成本为10000+50x，总收入为80x，保本时总收入等于总成本，即80x=10000+50x，解得x=200，所以保本需要生产200件产品

（2）要实现利润10000元，则总收入减去总成本等于10000，即80x-10000+50x=10000，解得x=400，所以需要生产400件产品

2.某班级组织一次数学竞赛，共有30名学生参加，比赛成绩服从正态分布N80,16已知成绩在90分以上的学生有10%，求成绩在60分以下的学生比例（25分）【答案】首先将90分和60分分别转换为标准正态分布的z分数z_1=90-80/4=

2.5，z_2=60-80/4=-

2.5查标准正态分布表，PZ

2.5=

0.0062，所以PZ-

2.5=

0.0062，即成绩在60分以下的学生比例约为

0.62%---标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.A

4.C

5.C

6.D

7.B

8.C

9.A

10.A

二、多选题

1.B、C、D

2.A、B、D

3.A、B、C、D

4.A、B

5.B、C、D

三、填空题

1.x+y-3=

02.x≠kπ+π/2k∈Z

3.4,

24.3,-4；4

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。