文科数学导数试题与精准答案

文科数学导数试题与精准答案

一、单选题

1.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最小值是（）（2分）A.-2B.0C.2D.3【答案】A【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f0=2，f2=-2，f3=2，故最小值为-

22.函数y=lnx+1在点0,0处的切线方程为（）（2分）A.y=xB.y=-xC.y=2xD.y=-2x【答案】A【解析】y=x+1^-1，y|_{x=0}=1，故切线方程为y=x

3.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.eB.-eC.e^2D.-e^2【答案】A【解析】fx=e^x-a，f1=e-a=0，得a=e

4.函数fx=x^3-3x^2+2x+1的拐点是（）（2分）A.1,1B.0,1C.2,3D.不存在【答案】A【解析】fx=6x-6，令fx=0得x=1，f1=1，故拐点为1,

15.函数fx=2x^3-3x^2+x在区间-1,1上的最大值是（）（2分）A.3B.1C.0D.-1【答案】B【解析】fx=6x^2-6x+1，Δ=-6^2-4×6×1=-120，fx0，故fx在-1,1上单调递增，最大值为f1=

16.函数fx=x^2lnx的单调递增区间是（）（2分）A.0,1B.1,+∞C.0,+∞D.不存在【答案】B【解析】fx=2xlnx+x，令fx=0得x=e^-1，当xe^-1时fx0，故单调递增区间为1,+∞

7.函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值是（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，f0=0，f1=0，f3=3，故最大值为

38.函数fx=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）（2分）A.1B.-1C.0D.任意实数【答案】A【解析】fx=e^x-a，f0=1-a=0，得a=

19.函数fx=x^3-3x^2+x在区间-1,1上的最小值是（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】B【解析】fx=3x^2-6x+1，Δ=-6^2-4×3×1=-120，fx0，故fx在-1,1上单调递增，最小值为f-1=-

110.函数fx=lnx+1在点1,ln2处的切线斜率是（）（2分）A.1B.1/2C.1/3D.1/4【答案】B【解析】y=x+1^-1，y|_{x=1}=1/2，故切线斜率为1/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处取得极值的有？（）A.fx=x^3B.fx=x^4C.fx=x^5D.fx=x^2【答案】A、D【解析】fx=x^3在x=0处取得极小值，fx=x^2在x=0处取得极小值，fx=x^4和fx=x^5在x=0处不取极值

2.下列函数中，在区间0,1上单调递增的有？（）A.fx=x^3B.fx=e^xC.fx=lnxD.fx=x^2【答案】A、B、D【解析】fx=3x^20，fx=e^x0，fx=1/x0，fx=2x

03.下列函数中，存在拐点的有？（）A.fx=x^3B.fx=x^4C.fx=x^2D.fx=lnx【答案】A、D【解析】fx=x^3的拐点为0,0，fx=lnx的拐点为1/e,-1/e，fx=x^4和fx=x^2无拐点

4.下列函数中，在x=1处取得极值的有？（）A.fx=x^3-3x^2+2xB.fx=x^4-4x^3+3x^2C.fx=x^5-5x^4+4x^3D.fx=x^2-4x+3【答案】A、B、D【解析】fx=3x^2-6x+2，fx=4x^3-12x^2+6x，fx=5x^4-20x^3+12x^2，fx=2x-4，均存在极值

5.下列函数中，在区间-1,1上单调递增的有？（）A.fx=x^3B.fx=x^4C.fx=x^5D.fx=x^2【答案】A、C、D【解析】fx=3x^20，fx=4x^30，fx=5x^40，fx=2x0

三、填空题

1.函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】3；-2【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，f0=0，f1=0，f3=3，f1±√3/3=-2，故最大值为3，最小值为-

22.函数fx=x^3-3x^2+x在区间-1,1上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】1；-1【解析】fx=3x^2-6x+1，Δ=-6^2-4×3×1=-120，fx0，故fx在-1,1上单调递增，最大值为f1=1，最小值为f-1=-

13.函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为______（4分）【答案】e【解析】fx=e^x-a，f1=e-a=0，得a=e

4.函数fx=lnx+1在点1,ln2处的切线方程为______（4分）【答案】y=1/2x+1/2【解析】y=x+1^-1，y|_{x=1}=1/2，切线方程为y-ln2=1/2x-1，即y=1/2x+1/

25.函数fx=x^3-3x^2+x在区间[0,3]上的拐点是______（4分）【答案】1,1【解析】fx=6x-6，令fx=0得x=1，f1=1，故拐点为1,1

四、判断题

1.函数fx=x^3在x=0处取得极值（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=3x^2，f0=0，但fx=6x，f0=0，需进一步判断，x=0处不取极值

2.函数fx=x^4在x=0处取得极值（）（2分）【答案】（×）【解析】fx=4x^3，f0=0，但fx=12x^2，f0=0，需进一步判断，x=0处不取极值

3.函数fx=x^3-3x^2+x在区间-1,1上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2-6x+1，Δ=-6^2-4×3×1=-120，fx0，故fx在-1,1上单调递增

4.函数fx=e^x-ax在x=0处取得极值（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=e^x-a，f0=1-a=0，得a=1，fx=e^x，f0=10，故x=0处取极小值

5.函数fx=lnx+1在点0,0处的切线方程为y=x（）（2分）【答案】（√）【解析】y=x+1^-1，y|_{x=0}=1，切线方程为y=x

五、简答题

1.求函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为3，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，f0=0，f1=0，f3=3，f1±√3/3=-2，故最大值为3，最小值为-

22.求函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值时，a的值（5分）【答案】a=e【解析】fx=e^x-a，f1=e-a=0，得a=e，fx=e^x，f1=e0，故x=1处取极小值

3.求函数fx=lnx+1在点1,ln2处的切线方程（5分）【答案】y=1/2x+1/2【解析】y=x+1^-1，y|_{x=1}=1/2，切线方程为y-ln2=1/2x-1，即y=1/2x+1/2

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的单调性和极值（10分）【答案】

（1）单调性fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，当x∈0,1±√3/3时fx0，当x∈1±√3/3,3时fx0，故fx在0,1±√3/3上单调递减，在1±√3/3,3上单调递增

（2）极值f0=0，f1=0，f3=3，f1±√3/3=-2，故极大值为0，极小值为-

22.分析函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值时，a的值及极值类型（10分）【答案】

（1）极值点fx=e^x-a，f1=e-a=0，得a=e

（2）极值类型fx=e^x，f1=e0，故x=1处取极小值

（3）极小值f1=e-e=0，故极小值为0

七、综合应用题

1.求函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值、最小值和拐点（25分）【答案】

（1）最大值f3=3，f0=0，f1=0，f1±√3/3=-2，故最大值为3

（2）最小值f1±√3/3=-2，故最小值为-2

（3）拐点fx=6x-6，令fx=0得x=1，f1=1，故拐点为1,1【解析】

（1）求导fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3

（2）单调性当x∈0,1±√3/3时fx0，当x∈1±√3/3,3时fx0，故fx在0,1±√3/3上单调递减，在1±√3/3,3上单调递增

（3）极值f0=0，f1=0，f3=3，f1±√3/3=-2，故极大值为0，极小值为-2

（4）拐点fx=6x-6，令fx=0得x=1，f1=1，故拐点为1,

12.求函数fx=e^x-ax在x=1处取得极值时，a的值、极值类型及极值（25分）【答案】

（1）极值点fx=e^x-a，f1=e-a=0，得a=e

（2）极值类型fx=e^x，f1=e0，故x=1处取极小值

（3）极小值f1=e-e=0，故极小值为0【解析】

（1）求导fx=e^x-a，f1=e-a=0，得a=e

（2）二阶导fx=e^x，f1=e0，故x=1处取极小值

（3）极小值f1=e-e=0，故极小值为0。