极限方法综合试题及答案揭秘

极限方法综合试题及答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列关于极限的描述中，正确的是（）A.极限值就是函数在某一点的函数值B.极限值是函数在无穷远处的变化趋势C.极限值只存在于连续函数中D.极限值与函数的定义域无关【答案】B【解析】极限值描述的是函数在自变量趋近于某一值或无穷大时，函数值的变化趋势

2.若limx→2x²-4/x-2存在，则其值等于（）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】limx→2x²-4/x-2=limx→2x+2x-2/x-2=limx→2x+2=

43.函数fx=|x|在x=0处的极限是（）A.0B.1C.-1D.不存在【答案】A【解析】limx→0|x|=

04.若limx→afnx=L且limx→agnx=MM≠0，则下列极限正确的是（）A.limx→afnx/gnx=L/MB.limx→afnx×gnx=L×MC.limx→afnx+gnx=L+MD.以上都正确【答案】D【解析】根据极限的四则运算法则，以上都正确

5.函数fx=sinx/x在x=0处的极限是（）A.0B.1C.sin1D.不存在【答案】B【解析】limx→0sinx/x=

16.若limx→0e^x-1/x=A，则A等于（）A.1B.eC.0D.无穷大【答案】A【解析】limx→0e^x-1/x=1（重要极限）

7.下列函数中，在x=0处极限不存在的是（）A.fx=x²B.gx=x³C.hx=|x|D.ix=1/x【答案】D【解析】limx→01/x不存在

8.若limx→∞1/x²+1=0，则该极限属于（）A.无穷大B.无穷小C.常数D.不确定【答案】B【解析】1/x²+1在x→∞时趋近于0，属于无穷小

9.若函数fx在x=c处连续，则下列说法正确的是（）A.limx→cfx不存在B.limx→cfx=fcC.limx→cfx≠fcD.limx→cfx可能不存在【答案】B【解析】函数在x=c处连续的定义是limx→cfx=fc

10.若limx→afnx=∞，则下列说法正确的是（）A.limx→a1/fnx=0B.limx→a1/fnx=∞C.limx→afnx=0D.limx→afnx不存在【答案】B【解析】若fnx→∞，则1/fnx→0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于极限的描述中，正确的有（）A.极限值是函数在自变量趋近于某一值或无穷大时，函数值的变化趋势B.极限值只存在于连续函数中C.极限值与函数的定义域无关D.极限值可以通过多种方法计算，如代入法、因式分解法、洛必达法则等【答案】A、D【解析】极限值描述的是函数在自变量趋近于某一值或无穷大时，函数值的变化趋势，可以通过多种方法计算极限值不一定只存在于连续函数中，且与函数的定义域有关

2.下列极限中，正确的有（）A.limx→0sinx/x=1B.limx→0e^x-1/x=1C.limx→∞1/x²+1=0D.limx→2x²-4/x-2=4【答案】A、B、C、D【解析】以上四个极限均正确

3.关于极限的运算法则，下列说法正确的有（）A.limx→afnx±gnx=limx→afnx±limx→agnxB.limx→afnx×gnx=limx→afnx×limx→agnxC.limx→afnx/gnx=limx→afnx/limx→agnx（gnx≠0）D.limx→afnx^n=[limx→afnx]^n【答案】A、B、C、D【解析】以上四个关于极限的运算法则均正确

4.下列函数中，在x=0处极限存在且等于1的有（）A.fx=sinx/xB.gx=e^xC.hx=cosxD.ix=1【答案】A、B、C、D【解析】以上四个函数在x=0处的极限均存在且等于

15.关于无穷小和无穷大的描述，下列说法正确的有（）A.无穷小是绝对值无限趋近于0的变量B.无穷大是绝对值无限增大的变量C.无穷小与无穷大的比值是有限非零常数D.无穷小与无穷大的乘积可能是无穷小【答案】A、B、D【解析】无穷小是绝对值无限趋近于0的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量，无穷小与无穷大的比值是有限非零常数，无穷小与无穷大的乘积可能是无穷小

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若limx→0sin3x/x=A，则A等于________【答案】3【解析】limx→0sin3x/x=limx→0sin3x/3x×3=1×3=

32.若limx→∞x²+1/2x²-3x+1=A，则A等于________【答案】1/2【解析】limx→∞x²+1/2x²-3x+1=limx→∞1+1/x²/2-3/x+1/x²=1/

23.若函数fx在x=2处连续，且f2=3，则limx→2fx=________【答案】3【解析】函数在x=2处连续，则limx→2fx=f2=

34.若limx→0e^x-1/x=A，则A等于________【答案】1【解析】这是重要极限之一，limx→0e^x-1/x=

15.若limx→∞1/x²+1=0，则该极限属于________【答案】无穷小【解析】1/x²+1在x→∞时趋近于0，属于无穷小

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个无穷小的和仍然是无穷小（）【答案】（√）【解析】两个无穷小的和仍然是无穷小

2.若limx→afnx=∞，则limx→a1/fnx=0（）【答案】（√）【解析】若fnx→∞，则1/fnx→

03.若函数fx在x=c处有定义，则limx→cfx存在（）【答案】（×）【解析】函数在x=c处有定义，不一定意味着limx→cfx存在

4.若limx→afnx=limx→agnx=∞，则limx→afnx-gnx=0（）【答案】（×）【解析】若limx→afnx=limx→agnx=∞，则limx→afnx-gnx不一定为

05.若函数fx在x=c处连续，则limx→cfx=fc（）【答案】（√）【解析】函数在x=c处连续的定义是limx→cfx=fc

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述极限的定义【答案】极限描述的是函数在自变量趋近于某一值或无穷大时，函数值的变化趋势具体来说，若当自变量x无限接近于某一值a（或无限增大）时，函数fx无限接近于某一确定的常数A，则称A是fx当x趋近于a（或x趋于无穷大）时的极限

2.简述无穷小的性质【答案】无穷小具有以下性质

（1）有限个无穷小的和仍然是无穷小；

（2）无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小；

（3）常数与无穷小的乘积仍然是无穷小；

（4）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小

3.简述洛必达法则的适用条件【答案】洛必达法则适用于以下条件

（1）极限形式为0/0或∞/∞；

（2）分子和分母的导数存在；

（3）导数的极限存在或趋于无穷大

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析并计算limx→0sin2x/x【答案】limx→0sin2x/x=limx→0sin2x/2x×2=1×2=

22.分析并计算limx→∞x²+1/2x²-3x+1【答案】limx→∞x²+1/2x²-3x+1=limx→∞1+1/x²/2-3/x+1/x²=1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x²-1/x-1，求limx→1fx【答案】limx→1fx=limx→1x²-1/x-1=limx→1x+1x-1/x-1=limx→1x+1=

22.已知函数gx=e^x-1/x，求limx→0gx【答案】limx→0gx=limx→0e^x-1/x=1（重要极限）---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.D

5.B

6.A

7.D

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、D

2.A、B、C、D

3.A、B、C、D

4.A、B、C、D

5.A、B、D

三、填空题

1.

32.1/

23.

34.

15.无穷小

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.极限描述的是函数在自变量趋近于某一值或无穷大时，函数值的变化趋势具体来说，若当自变量x无限接近于某一值a（或无限增大）时，函数fx无限接近于某一确定的常数A，则称A是fx当x趋近于a（或x趋于无穷大）时的极限

2.无穷小具有以下性质

（1）有限个无穷小的和仍然是无穷小；

（2）无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小；

（3）常数与无穷小的乘积仍然是无穷小；

（4）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小

3.洛必达法则适用于以下条件

（1）极限形式为0/0或∞/∞；

（2）分子和分母的导数存在；

（3）导数的极限存在或趋于无穷大

六、分析题

1.limx→0sin2x/x=

22.limx→∞x²+1/2x²-3x+1=1/2

七、综合应用题

1.limx→1fx=

22.limx→0gx=1。