欧拉图相关试题及参考答案

欧拉图相关试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列图中，哪个是欧拉图？（）A.一个顶点度为奇数的五边形B.一个顶点度为偶数的五边形C.一个顶点度为奇数的六边形D.一个顶点度为偶数的六边形【答案】D【解析】欧拉图是指所有顶点度都为偶数的连通图

2.一个连通图中，如果有2个奇数度顶点，则该图（）A.是欧拉图B.不是欧拉图C.可能是欧拉图D.不能确定【答案】B【解析】欧拉图的所有顶点度都为偶数，如果有奇数度顶点则不是欧拉图

3.一个图至少要有几个顶点才能是欧拉图？（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】至少需要两个顶点，且所有顶点度都为偶数

4.一个欧拉图至少包含多少条边？（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】一个顶点度为偶数的连通图至少包含2条边

5.一个连通图是欧拉图的条件是（）A.所有顶点度都为奇数B.至少有一个顶点度为奇数C.所有顶点度都为偶数D.至少有两个顶点度为奇数【答案】C【解析】欧拉图的定义是所有顶点度都为偶数的连通图

6.一个图是欧拉图，则该图（）A.一定可以一笔画出B.一定不可以一笔画出C.可能可以一笔画出D.不能确定【答案】A【解析】欧拉图可以一笔画出，因为所有顶点度都为偶数

7.一个连通图的所有顶点度数之和为20，则该图（）A.是欧拉图B.不是欧拉图C.可能是欧拉图D.不能确定【答案】A【解析】如果所有顶点度数之和为偶数，且图是连通的，则该图是欧拉图

8.一个图的所有顶点度数之和为奇数，则该图（）A.是欧拉图B.不是欧拉图C.可能是欧拉图D.不能确定【答案】B【解析】欧拉图的所有顶点度数之和必须为偶数

9.一个欧拉图的所有顶点度数之和为12，则该图至少有多少条边？（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】欧拉图的所有顶点度数之和为偶数，且每条边连接两个顶点，所以边数为12/2=

610.一个图的所有顶点度数之和为偶数，且图是连通的，则该图（）A.是欧拉图B.不是欧拉图C.可能是欧拉图D.不能确定【答案】A【解析】连通且所有顶点度数之和为偶数的图是欧拉图

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些条件可以判断一个连通图是欧拉图？（）A.所有顶点度都为偶数B.至少有一个顶点度为奇数C.所有顶点度都为奇数D.至少有两个顶点度为奇数E.图可以一笔画出【答案】A、E【解析】欧拉图的定义是所有顶点度都为偶数的连通图，且可以一笔画出

2.以下哪些图一定是欧拉图？（）A.完全图B.环图C.树D.完全二部图E.连通图【答案】B【解析】环图的所有顶点度都为2，是欧拉图

3.一个图是欧拉图，则该图（）A.可以一笔画出B.所有顶点度都为偶数C.至少有一个顶点度为奇数D.连通E.至少有两条边【答案】A、B、D【解析】欧拉图可以一笔画出，所有顶点度都为偶数，且连通

4.以下哪些条件可以判断一个图不是欧拉图？（）A.至少有一个顶点度为奇数B.所有顶点度都为偶数C.不连通D.至少有两个顶点度为奇数E.可以一笔画出【答案】A、C、D【解析】欧拉图的所有顶点度都为偶数，且连通，如果有奇数度顶点则不是欧拉图

5.一个图的所有顶点度数之和为偶数，则该图（）A.可能是欧拉图B.一定是欧拉图C.不可能是欧拉图D.可能是连通图E.可能是树【答案】A、D【解析】所有顶点度数之和为偶数的图可能是欧拉图，也可能是连通图

三、填空题（每题4分，共20分）

1.一个欧拉图的所有顶点度数之和为______【答案】偶数（4分）

2.一个连通图是欧拉图的条件是______【答案】所有顶点度都为偶数（4分）

3.一个图至少要有______个奇数度顶点才能是欧拉图【答案】0（4分）

4.一个欧拉图的所有顶点度数之和为______【答案】偶数（4分）

5.一个连通图的所有顶点度数之和为______，且图是连通的，则该图是欧拉图【答案】偶数（4分）

四、判断题（每题2分，共10分）

1.一个欧拉图的所有顶点度数之和为偶数（）【答案】（√）

2.一个连通图的所有顶点度数之和为奇数，则该图是欧拉图（）【答案】（×）【解析】欧拉图的所有顶点度数之和必须为偶数

3.一个图的所有顶点度数之和为偶数，则该图是欧拉图（）【答案】（×）【解析】连通且所有顶点度数之和为偶数的图是欧拉图

4.一个欧拉图的所有顶点度数之和为偶数（）【答案】（√）

5.一个连通图的所有顶点度数之和为奇数，则该图不是欧拉图（）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述欧拉图的定义及其性质【答案】欧拉图是指所有顶点度都为偶数的连通图性质包括

（1）欧拉图可以一笔画出；

（2）欧拉图的所有顶点度数之和为偶数；

（3）欧拉图是连通的

2.简述如何判断一个连通图是否是欧拉图【答案】判断一个连通图是否是欧拉图的方法如下

（1）检查所有顶点度数是否都为偶数；

（2）如果所有顶点度数都为偶数，则该图是欧拉图；

（3）如果有奇数度顶点，则该图不是欧拉图

3.简述欧拉图的应用【答案】欧拉图在现实生活中的应用包括

（1）旅行商问题；

（2）电路设计；

（3）城市规划；

（4）网络路由优化

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析一个连通图是否是欧拉图，并说明理由【答案】考虑一个连通图G，其顶点度数分别为2,2,2,2,2因为所有顶点度数都为偶数，且图是连通的，所以该图是欧拉图

2.分析一个连通图是否是欧拉图，并说明理由【答案】考虑一个连通图G，其顶点度数分别为3,3,3,2,2因为存在奇数度顶点，所以该图不是欧拉图

七、综合应用题（每题25分，共25分）设计一个欧拉图，使其满足以下条件

（1）图中有6个顶点；

（2）所有顶点度数都为偶数；

（3）图可以一笔画出【答案】设计一个欧拉图如下顶点A,B,C,D,E,F边A-B,B-C,C-D,D-E,E-F,F-A,A-C,C-E解析

（1）顶点数6个顶点；

（2）顶点度数每个顶点度数为4，均为偶数；

（3）图可以一笔画出，因为所有顶点度数都为偶数完整标准答案

一、单选题

1.D

2.B

3.B

4.B

5.C

6.A

7.A

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、E

2.B

3.A、B、D

4.A、C、D

5.A、D

三、填空题

1.偶数

2.所有顶点度都为偶数

3.

04.偶数

5.偶数

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.欧拉图是指所有顶点度都为偶数的连通图性质包括

（1）欧拉图可以一笔画出；

（2）欧拉图的所有顶点度数之和为偶数；

（3）欧拉图是连通的

2.判断一个连通图是否是欧拉图的方法如下

（1）检查所有顶点度数是否都为偶数；

（2）如果所有顶点度数都为偶数，则该图是欧拉图；

（3）如果有奇数度顶点，则该图不是欧拉图

3.欧拉图在现实生活中的应用包括

（1）旅行商问题；

（2）电路设计；

（3）城市规划；

（4）网络路由优化

六、分析题

1.考虑一个连通图G，其顶点度数分别为2,2,2,2,2因为所有顶点度数都为偶数，且图是连通的，所以该图是欧拉图

2.考虑一个连通图G，其顶点度数分别为3,3,3,2,2因为存在奇数度顶点，所以该图不是欧拉图

七、综合应用题设计一个欧拉图如下顶点A,B,C,D,E,F边A-B,B-C,C-D,D-E,E-F,F-A,A-C,C-E解析

（1）顶点数6个顶点；

（2）顶点度数每个顶点度数为4，均为偶数；

（3）图可以一笔画出，因为所有顶点度数都为偶数。