江苏竞赛特色试题及权威答案

江苏竞赛特色试题及权威答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{0,1}C.{1,2,0}D.{3}【答案】C【解析】A={1,2}，若B⊆A，则方程x²-ax+1=0的解必须属于{1,2}，考虑以下情况

（1）若B=∅，则Δ=a²-40，解得-2a2，满足条件；

（2）若B={1}，则1-a+1=0，a=2，满足条件；

（3）若B={2}，则4-2a+1=0，a=5/2，不满足B⊆A；

（4）若B={1,2}，则Δ=a²-4=0且1-a+1=0，解得a=2，满足条件综上，a的取值集合为{0,1,2}

2.函数fx=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为（）（2分）A.8，-8B.8，-4C.8，-8D.4，-4【答案】A【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1f-2=-8，f-1=3，f1=-1，f2=8最大值为8，最小值为-

83.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则cosC的值为（）（2分）A.5/6B.-5/6C.1/6D.-1/6【答案】B【解析】cosC=-cosA+B=-cosAcosB+sinAsinB=-1/2×1/3+√1-cos²A×√1-cos²B=-1/6+√3/4×√8/9=-1/6+√1/3=-5/

64.执行以下程序段后，变量x的值为（）（2分）x=0foriinrange1,6:x=x+ii+1A.55B.56C.120D.130【答案】C【解析】x=0+1×2+2×3+3×4+4×5=

1205.将函数y=2sin2x+π/3的图像向右平移φ0φπ个单位，得到函数y=2sin2x的图像，则φ的最小值为（）（2分）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3【答案】D【解析】y=2sin2x+π/3-2φ=2sin2x，得π/3-2φ=kπ，k∈Zφ=π/6-kπ/2，k∈Z，当k=0时，φ=π/6，不满足0φπ；当k=-1时，φ=2π/3，满足条件φ的最小值为2π/

36.已知实数x满足x²+2x-15≤0，则函数y=√x²+2x-5的定义域为（）（2分）A.[-5,3]B.[-5,5]C.-∞,-5]∪[3,+∞D.-∞,-5∪3,+∞【答案】A【解析】x²+2x-15≤0⇒-5≤x≤3x²+2x-5≥0⇒x+1²≥6⇒x≥√6-1或x≤-√6-1结合不等式组，得√6-1≤x≤3或-5≤x≤-√6-1即定义域为[-5,3]

7.在等差数列{aₙ}中，若a₃+a₈=18，则a₅+a₁₀的值为（）（2分）A.18B.24C.30D.36【答案】C【解析】a₃+a₈=2a₅+6d=18⇒a₅+3d=9a₅+a₁₀=a₅+5d=9+2da₅+a₁₀=2a₅+3d=2×9=18+6d=

308.已知圆O的半径为2，圆心O到直线l的距离为1，则直线l与圆O相交的弦长为（）（2分）A.2√2B.2√3C.√6D.2【答案】B【解析】设弦AB与OC垂直于O，弦长为2ABOC=1，OB=2，AB=√OB²-OC²=√3弦长为2√

39.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=1foriinrange1,6:s=siA.120B.720C.60D.5040【答案】B【解析】s=1×1×2×3×4×5=

72010.已知函数fx在区间[1,2]上单调递减，且f1=3，f2=1，则不等式fx+1f2x在区间[0,1]上的解集为（）（2分）A.0,1/2B.1/2,1C.0,1D.1/4,1/2【答案】A【解析】x+1∈[1,3]，2x∈[0,2]fx+1f2x⇒1x+1≤2x⇒0x≤1/2解集为0,1/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）（4分）

①若ab，则√a²√b²；

②若fx是奇函数，则fx²是偶函数；

③若直线l₁//l₂，则l₁的斜率与l₂的斜率相等；

④若数列{aₙ}是等比数列，则{aₙ+1}也是等比数列（4分）【答案】

②④【解析】

①反例a=1，b=-2，√1²=1，√-2²=2，不成立；

②f-x=-fx，f-x²=fx²，是偶函数，正确；

③l₁//l₂⇒k₁=k₂，若l₁垂直x轴，l₂平行x轴，斜率不存在，不成立；

④{aₙ}是等比数列，公比为q，则{aₙ+1}的公比也为q，正确

2.以下关于圆锥的说法中，正确的有（）（4分）

①圆锥的轴截面是等腰三角形；

②圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长的一半；

③圆锥的体积等于底面积乘以高的1/3；

④圆锥的侧面展开图是扇形（4分）【答案】

①②③④【解析】

①轴截面过圆锥顶点和底面圆心，是等腰三角形，正确；

②侧面积=1/2×底面周长×母线长，正确；

③体积=1/3×底面积×高，正确；

④侧面展开图是以母线为半径的扇形，正确

3.已知函数fx=x³-3x+1，则以下说法中正确的有（）（4分）

①fx在区间-∞,1上单调递减；

②fx在区间1,+∞上单调递增；

③fx在x=1处取得极小值；

④fx在x=-1处取得极大值（4分）【答案】

①②③【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1fx在-∞,-1和1,+∞上单调递增，在-1,1上单调递减f-1=3是极大值，f1=-1是极小值

①③正确，

②④错误

4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下条件中能判定△ABC为直角三角形的有（）（4分）

①a²=b²+c²；

②∠A=90°；

③b²=c²-a²；

④sinA=√2/2（4分）【答案】

①②③④【解析】

①勾股定理，正确；

②∠A=90°⇒a²=b²+c²，正确；

③b²=c²-a²⇒a²+b²=c²⇒∠C=90°，正确；

④sinA=√2/2⇒∠A=45°或∠A=135°，不能判定为直角三角形，错误实际上，能判定直角三角形的条件是

①②③

5.已知函数y=fx在区间[0,1]上是增函数，且fx的图像关于直线x=1对称，则以下说法中正确的有（）（4分）

①fx在区间[1,2]上是减函数；

②f0=f2；

③fx在区间[0,1]上的最大值与在区间[1,2]上的最小值相等；

④fx在区间[2,3]上是增函数（4分）【答案】

①②③【解析】fx关于x=1对称⇒f1-x=f1+x

①x∈[1,2]⇒1-x∈[-1,0]，f1-x递增⇒f1+x递减，正确；

②f0=f2，正确；

③fx在[0,1]上最大值为f1，在[1,2]上最小值为f1，正确；

④x∈[2,3]⇒1-x∈[-1,-2]，f1-x递增⇒f1+x递增，正确实际上，

④也是正确的修正答案为

①②③④

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知等差数列{aₙ}中，a₁=3，a₅=9，则该数列的通项公式为aₙ=______（4分）【答案】aₙ=3n【解析】d=a₅-a₁/4=6/4=3/2aₙ=a₁+n-1d=3+3/2n-1=3n

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为______（4分）【答案】3【解析】fx=⎧-2x-1,x-2⎨3,-2≤x≤1⎩2x+1,x1最小值为

33.已知圆O的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，则圆心O的坐标为______，半径为______（4分）【答案】2,-3，√10【解析】x-2²+y+3²=

104.执行以下程序段后，变量t的值为______（4分）t=0foriinrange1,6:t=t+i%2【答案】9【解析】t=0+1+2+1+4=

85.已知函数fx=sin2x+φ在x=π/4处取得最大值，则φ的值为______（4分）【答案】π/4+2kπ，k∈Z【解析】2x+φ=π/2+2kπ⇒φ=π/4+2kπ

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=1，b=-2，ab但a²=1，b²=4，a²b²

2.若函数fx在区间I上单调递增，则对任意x₁x₂∈I，都有fx₁fx₂（）（2分）【答案】（√）【解析】单调递增的定义就是fx₁fx₂

3.等比数列{aₙ}中，若aₙ0，则该数列的任意项都可以用首项和公比表示为aₙ=a₁qⁿ⁻¹（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列的定义

4.若直线l₁与直线l₂垂直，则l₁的斜率与l₂的斜率的乘积为-1（）（2分）【答案】（×）【解析】l₁垂直x轴，l₂平行x轴，斜率不存在，乘积无意义

5.若函数fx是定义在R上的奇函数，且fx在区间[0,+∞上单调递增，则fx在区间-∞,0上也单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-fx，fx在[0,+∞上递增⇒f-x在-∞,0]上递减⇒fx在-∞,0上递增

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，求函数fx在区间[1,4]上的最大值和最小值（5分）【答案】fx=x-2²-1在[1,4]上，x=2时，fx取得最小值-1；x=4时，fx取得最大值

32.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，求该数列的通项公式aₙ（5分）【答案】当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=6n-5aₙ=6n-

53.已知圆O₁的方程为x-1²+y+2²=4，圆O₂的方程为x+2²+y-1²=9，求两圆的公共弦所在直线的方程（5分）【答案】两圆方程相减，得2x+3y-3=0公共弦所在直线方程为2x+3y-3=0

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x³-3x+2，求函数fx的极值点，并画出函数在区间[-3,3]上的大致图像（12分）【答案】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1f-3=-20，f-1=4，f1=-1，f3=2在-3,-1和1,3上单调递增，在-1,1上单调递减x=-1处取得极大值4，x=1处取得极小值-1图像大致如下```4|3|2|1|0|-1|-2|-3|--------------------------3-2-10123```

2.已知数列{aₙ}是等差数列，且a₃+a₈=18，a₅+a₁₀=30，求该数列的首项a₁和公差d（12分）【答案】a₃+a₈=2a₅+6d=18⇒a₅+3d=9a₅+a₁₀=2a₅+5d=30⇒a₅+5d=15解得d=6/2=3，a₅=9-3×3=0a₁=a₅-4d=0-12=-12

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数fx在区间[-3,3]上的最大值、最小值，并画出函数的大致图像（25分）【答案】fx=⎧-2x-1,x-2⎨3,-2≤x≤1⎩2x+1,x1在[-3,-2]上，fx=-2x-1，递增；在[-2,1]上，fx=3，恒成立；在[1,3]上，fx=2x+1，递增f-3=-5，f-2=3，f1=3，f3=7最大值为7，最小值为-5图像大致如下```8|7|6|5|4|3|2|1|0|-1|-2|-3|--------------------------3-2-10123```

2.已知ABC是直角三角形，∠C=90°，斜边AB=10，直角边AC=6，求

（1）另一直角边BC的长度；

（2）∠A的正弦值；

（3）以A为圆心，AC为半径的圆与BC边的位置关系（25分）【答案】

（1）BC=√AB²-AC²=√100-36=√64=8

（2）sinA=AC/AB=6/10=3/5

（3）以A为圆心，AC为半径的圆与BC边相切理由圆心A到BC的距离=AC×sinB=6×8/10=

4.8=AC，相切。