混合积试题及其详细答案集

混合积经典试题及其详细答案集

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若向量a=1,2，向量b=3,-4，则向量a与向量b的混合积为（）（2分）A.11B.-11C.14D.-14【答案】B【解析】向量a与向量b的混合积为a·b×c，由于题目中未给出向量c，这里假设向量c为任意向量，因此混合积实际上为标量三重积，即a·b×c由于a=1,2，b=3,-4，a·b=1×3+2×-4=-5混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积，由于向量b的y分量与向量a的x分量异号，因此混合积为负，答案为-

112.已知四面体ABCD的顶点坐标分别为A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，D0,0,0，则向量AB、AC、AD的混合积为（）（2分）A.1B.-1C.0D.2【答案】A【解析】向量AB=0-1,1-0,0-0=-1,1,0，向量AC=0-1,0-0,1-0=-1,0,1，向量AD=0-1,0-0,0-0=-1,0,0向量AB、AC、AD的混合积为AB·AC×AD首先计算向量AC×AD，得到-1,0,1×-1,0,0=0,1,0然后计算AB·AC×AD，即-1,1,0·0,1,0=-1×0+1×1+0×0=

13.若空间向量a=1,1,1，b=1,2,3，c=2,3,1，则a×b·c的值为（）（2分）A.1B.-1C.3D.0【答案】D【解析】首先计算向量a×b，得到1,1,1×1,2,3=-1,1,-1然后计算a×b·c，即-1,1,-1·2,3,1=-1×2+1×3-1×1=

04.已知空间四点A1,2,3，B2,3,4，C3,4,5，D4,5,6，则向量AB、AC、AD的混合积为（）（2分）A.1B.-1C.0D.2【答案】C【解析】向量AB=2-1,3-2,4-3=1,1,1，向量AC=3-1,4-2,5-3=2,2,2，向量AD=4-1,5-2,6-3=3,3,3向量AB、AC、AD的混合积为AB·AC×AD首先计算向量AC×AD，得到2,2,2×3,3,3=0,0,0然后计算AB·AC×AD，即1,1,1·0,0,0=

05.若空间向量a=1,0,0，b=0,1,0，c=0,0,1，则a×b·c的值为（）（2分）A.1B.-1C.3D.0【答案】A【解析】首先计算向量a×b，得到1,0,0×0,1,0=0,0,1然后计算a×b·c，即0,0,1·0,0,1=1×1=

16.已知空间向量a=1,2,3，b=2,3,1，c=3,1,2，则a×b·c的值为（）（2分）A.1B.-1C.3D.0【答案】D【解析】首先计算向量a×b，得到1,2,3×2,3,1=-3,5,-1然后计算a×b·c，即-3,5,-1·3,1,2=-3×3+5×1-1×2=-9+5-2=-

67.若空间向量a=1,1,1，b=1,1,0，c=1,0,1，则a×b·c的值为（）（2分）A.1B.-1C.3D.0【答案】A【解析】首先计算向量a×b，得到1,1,1×1,1,0=-1,1,0然后计算a×b·c，即-1,1,0·1,0,1=-1×1+1×0+0×1=-

18.已知空间向量a=2,3,4，b=3,4,5，c=4,5,6，则a×b·c的值为（）（2分）A.1B.-1C.3D.0【答案】D【解析】首先计算向量a×b，得到2,3,4×3,4,5=-1,2,-1然后计算a×b·c，即-1,2,-1·4,5,6=-1×4+2×5-1×6=-4+10-6=

09.若空间向量a=1,2,3，b=2,3,1，c=3,1,2，则a×b·c的值为（）（2分）A.1B.-1C.3D.0【答案】D【解析】首先计算向量a×b，得到1,2,3×2,3,1=-3,5,-1然后计算a×b·c，即-3,5,-1·3,1,2=-3×3+5×1-1×2=-9+5-2=-

610.若空间向量a=1,0,0，b=0,1,0，c=0,0,1，则a×b·c的值为（）（2分）【答案】A【解析】首先计算向量a×b，得到1,0,0×0,1,0=0,0,1然后计算a×b·c，即0,0,1·0,0,1=1×1=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些情况下，空间向量a、b、c的混合积可能为0？（）A.a、b、c共面B.a、b、c两两垂直C.a、b、c中任意两个向量平行D.a、b、c两两平行【答案】A、C、D【解析】当空间向量a、b、c共面时，它们的混合积为0，因为混合积表示以这三个向量为棱的平行六面体的体积，如果向量共面，则体积为0当a、b、c中任意两个向量平行时，它们的混合积也为0，因为平行向量的叉积为0，所以混合积为0当a、b、c两两平行时，它们的混合积也为0，因为平行向量的叉积为0，所以混合积为0只有当a、b、c两两垂直时，混合积才可能不为

02.以下关于空间向量混合积的性质，哪些是正确的？（）A.混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积B.混合积的符号由向量c的方向决定C.混合积的值与向量的顺序无关D.混合积的值与向量的起点无关【答案】A、B、D【解析】混合积的绝对值确实等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积混合积的符号由向量c的方向决定，因为混合积实际上是向量a、b、c的标量三重积，其符号由向量c的方向相对于向量a和b的叉积的方向决定混合积的值与向量的顺序有关，因为混合积是向量a、b、c的标量三重积，其值与向量的顺序有关混合积的值与向量的起点无关，因为混合积是向量之间的关系，与向量的起点无关

3.以下哪些情况下，空间向量a、b、c的混合积不为0？（）A.a、b、c两两垂直B.a、b、c不共面C.a、b、c中任意两个向量平行D.a、b、c两两平行【答案】A、B【解析】当空间向量a、b、c两两垂直时，它们的混合积不为0，因为混合积表示以这三个向量为棱的平行六面体的体积，如果向量两两垂直，则体积不为0当a、b、c不共面时，它们的混合积也不为0，因为混合积表示以这三个向量为棱的平行六面体的体积，如果不共面，则体积不为0当a、b、c中任意两个向量平行时，它们的混合积为0，因为平行向量的叉积为0，所以混合积为0当a、b、c两两平行时，它们的混合积也为0，因为平行向量的叉积为0，所以混合积为

04.以下关于空间向量混合积的性质，哪些是正确的？（）A.混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积B.混合积的符号由向量c的方向决定C.混合积的值与向量的顺序有关D.混合积的值与向量的起点无关【答案】A、C、D【解析】混合积的绝对值确实等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积混合积的值与向量的顺序有关，因为混合积是向量a、b、c的标量三重积，其值与向量的顺序有关混合积的值与向量的起点无关，因为混合积是向量之间的关系，与向量的起点无关混合积的符号由向量a、b、c的叉积的方向决定，而不是由向量c的方向决定

5.以下哪些情况下，空间向量a、b、c的混合积可能为0？（）A.a、b、c共面B.a、b、c两两垂直C.a、b、c中任意两个向量平行D.a、b、c两两平行【答案】A、C、D【解析】当空间向量a、b、c共面时，它们的混合积为0，因为混合积表示以这三个向量为棱的平行六面体的体积，如果向量共面，则体积为0当a、b、c中任意两个向量平行时，它们的混合积也为0，因为平行向量的叉积为0，所以混合积为0当a、b、c两两平行时，它们的混合积也为0，因为平行向量的叉积为0，所以混合积为0只有当a、b、c两两垂直时，混合积才可能不为0

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若空间向量a=1,2,3，b=2,3,1，c=3,1,2，则a×b·c=______（4分）【答案】6【解析】首先计算向量a×b，得到1,2,3×2,3,1=-3,5,-1然后计算a×b·c，即-3,5,-1·3,1,2=-3×3+5×1-1×2=-9+5-2=-

62.若空间向量a=1,0,0，b=0,1,0，c=0,0,1，则a×b·c=______（4分）【答案】1【解析】首先计算向量a×b，得到1,0,0×0,1,0=0,0,1然后计算a×b·c，即0,0,1·0,0,1=1×1=

13.若空间向量a=2,3,4，b=3,4,5，c=4,5,6，则a×b·c=______（4分）【答案】0【解析】首先计算向量a×b，得到2,3,4×3,4,5=-1,2,-1然后计算a×b·c，即-1,2,-1·4,5,6=-1×4+2×5-1×6=-4+10-6=

04.若空间向量a=1,2,3，b=2,3,1，c=3,1,2，则a×b·c=______（4分）【答案】6【解析】首先计算向量a×b，得到1,2,3×2,3,1=-3,5,-1然后计算a×b·c，即-3,5,-1·3,1,2=-3×3+5×1-1×2=-9+5-2=-

65.若空间向量a=1,0,0，b=0,1,0，c=0,0,1，则a×b·c=______（4分）【答案】1【解析】首先计算向量a×b，得到1,0,0×0,1,0=0,0,1然后计算a×b·c，即0,0,1·0,0,1=1×1=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若空间向量a、b、c的混合积为0，则a、b、c共面（）（2分）【答案】（√）【解析】混合积为0表示以a、b、c为棱的平行六面体的体积为0，即a、b、c共面

2.若空间向量a、b、c两两垂直，则a×b·c不为0（）（2分）【答案】（√）【解析】两两垂直的向量a、b、c的混合积表示以这三个向量为棱的平行六面体的体积，如果向量两两垂直，则体积不为

03.若空间向量a、b、c中任意两个向量平行，则a×b·c为0（）（2分）【答案】（√）【解析】平行向量的叉积为0，所以混合积为

04.若空间向量a、b、c两两平行，则a×b·c为0（）（2分）【答案】（√）【解析】平行向量的叉积为0，所以混合积为

05.混合积的值与向量的起点无关（）（2分）【答案】（√）【解析】混合积是向量之间的关系，与向量的起点无关

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述空间向量混合积的定义及其物理意义（5分）【答案】空间向量混合积的定义为a×b·c，其中a、b、c为空间向量物理意义表示以a、b、c为棱的平行六面体的体积，如果混合积为负，则表示体积的符号与c的方向相反

2.简述空间向量混合积的性质（5分）【答案】空间向量混合积的性质包括混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积；混合积的符号由向量c的方向决定；混合积的值与向量的顺序有关；混合积的值与向量的起点无关

3.简述空间向量混合积的计算步骤（5分）【答案】计算空间向量混合积的步骤如下首先计算向量a×b的叉积，得到一个新的向量；然后计算这个新向量与向量c的点积，得到混合积的值

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析空间向量混合积在几何中的应用（10分）【答案】空间向量混合积在几何中的应用主要体现在计算以三个向量为棱的平行六面体的体积通过计算混合积的绝对值，可以得到这个体积的大小此外，混合积还可以用来判断三个向量是否共面，如果混合积为0，则三个向量共面；如果混合积不为0，则三个向量不共面

2.分析空间向量混合积在物理中的应用（10分）【答案】空间向量混合积在物理中的应用主要体现在计算力矩力矩是力对物体的作用效果，可以通过力向量与位置向量的叉积来计算而混合积可以用来计算力矩的大小和方向此外，混合积还可以用来计算流体力学中的涡量，以及电磁学中的磁通量等

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.已知空间四点A1,0,0，B0,1,0，C0,0,1，D2,2,2，计算向量AB、AC、AD的混合积，并分析其几何意义（25分）【答案】首先计算向量AB、AC、AD，得到AB=0-1,1-0,0-0=-1,1,0，AC=0-1,0-0,1-0=-1,0,1，AD=2-1,2-0,2-0=1,2,2然后计算向量AB、AC、AD的混合积，即-1,1,0×-1,0,1·1,2,2首先计算-1,1,0×-1,0,1=-1,1,1然后计算-1,1,1·1,2,2=-1×1+1×2+1×2=-1+2+2=3所以向量AB、AC、AD的混合积为3几何意义表示以AB、AC、AD为棱的平行六面体的体积为3

八、完整标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.D

4.C

5.A

6.D

7.A

8.D

9.D

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、D

3.A、B

4.A、C、D

5.A、C、D

三、填空题

1.

62.

13.

04.

65.1

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.空间向量混合积的定义为a×b·c，其中a、b、c为空间向量物理意义表示以a、b、c为棱的平行六面体的体积，如果混合积为负，则表示体积的符号与c的方向相反

2.空间向量混合积的性质包括混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积；混合积的符号由向量c的方向决定；混合积的值与向量的顺序有关；混合积的值与向量的起点无关

3.计算空间向量混合积的步骤如下首先计算向量a×b的叉积，得到一个新的向量；然后计算这个新向量与向量c的点积，得到混合积的值

六、分析题

1.空间向量混合积在几何中的应用主要体现在计算以三个向量为棱的平行六面体的体积通过计算混合积的绝对值，可以得到这个体积的大小此外，混合积还可以用来判断三个向量是否共面，如果混合积为0，则三个向量共面；如果混合积不为0，则三个向量不共面

2.空间向量混合积在物理中的应用主要体现在计算力矩力矩是力对物体的作用效果，可以通过力向量与位置向量的叉积来计算而混合积可以用来计算力矩的大小和方向此外，混合积还可以用来计算流体力学中的涡量，以及电磁学中的磁通量等

七、综合应用题

1.向量AB、AC、AD的混合积为3，几何意义表示以AB、AC、AD为棱的平行六面体的体积为3。