物理微积分历年试题及完整答案

物理微积分历年试题及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=e^xD.fx=lnx+1【答案】A【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等

2.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.f\xi=fb-fa/b-aB.f\xi=0C.f\xi=fb/bD.f\xi=fa/a【答案】A【解析】这是拉格朗日中值定理的表述

3.下列积分中，值等于0的是（）A.\int_0^1x^2dxB.\int_0^1sinxdxC.\int_0^1e^xdxD.\int_0^1cosxdx【答案】B【解析】\int_0^1sinxdx=-cosx\big|_0^1=-cos1+cos0=1-cos1=

04.下列级数中，收敛的是（）A.\sum_{n=1}^\inftynB.\sum_{n=1}^\infty1/nC.\sum_{n=1}^\infty-1^n/nD.\sum_{n=1}^\infty-1^n【答案】C【解析】交错级数\sum_{n=1}^\infty-1^n/n收敛，满足莱布尼茨判别法

5.函数fx=x^3-3x在x=1处的局部极值是（）A.局部极大值B.局部极小值C.拐点D.非极值点【答案】B【解析】fx=3x^2-3，f1=0，fx=6x，f1=60，故x=1处为局部极小值

6.下列方程中，是微分方程的是（）A.x^2+y^2=1B.y-2y=0C.y=2x+1D.sinx+cosy=1【答案】B【解析】y-2y=0是关于y和y的方程，是微分方程

7.下列极限中，值等于1的是（）A.\lim_{x\to0}e^x-1/xB.\lim_{x\to\infty}x^2-1/xC.\lim_{x\to0}sinx/xD.\lim_{x\to0}1-cosx/x^2【答案】C【解析】\lim_{x\to0}sinx/x=1是基本极限之一

8.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A.fx=x^2B.fx=x^3C.fx=1/xD.fx=log_x2【答案】B【解析】fx=x^3的导数fx=3x^20，故单调递增

9.下列向量中，与向量1,1,1平行的向量是（）A.1,0,0B.1,1,0C.1,1,1D.0,1,1【答案】C【解析】向量1,1,1与自身平行

10.下列矩阵中，是可逆矩阵的是（）A.\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}01\\10\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}10\\00\end{pmatrix}【答案】B【解析】矩阵B的行列式=14-23=-2≠0，故可逆

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）A.fx=x^3B.fx=e^xC.fx=lnx+1D.fx=|x|【答案】A、B【解析】fx=x^3和fx=e^x在x=0处都可导

2.下列级数中，条件收敛的有（）A.\sum_{n=1}^\infty1/n^2B.\sum_{n=1}^\infty-1^n/nC.\sum_{n=1}^\infty1/nD.\sum_{n=1}^\infty-1^n/n^2【答案】B、D【解析】交错级数\sum_{n=1}^\infty-1^n/n和\sum_{n=1}^\infty-1^n/n^2条件收敛

3.下列方程中，是线性微分方程的有（）A.y+y=0B.y-2y=3xC.y-y^2=0D.y=y^2+x【答案】A、B【解析】y+y=0和y-2y=3x是线性微分方程

4.下列极限中，值等于0的有（）A.\lim_{x\to0}x/sinxB.\lim_{x\to\infty}1/xC.\lim_{x\to0}sinx/xD.\lim_{x\to0}e^x-1/x【答案】B、C、D【解析】\lim_{x\to\infty}1/x=0，\lim_{x\to0}sinx/x=1，\lim_{x\to0}e^x-1/x=

15.下列矩阵中，是正定矩阵的有（）A.\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}B.\begin{pmatrix}21\\12\end{pmatrix}C.\begin{pmatrix}1-1\\-11\end{pmatrix}D.\begin{pmatrix}-10\\0-1\end{pmatrix}【答案】A、B【解析】A和B的特征值均为正，故为正定矩阵

三、填空题（每题4分，共16分）

1.\int_0^1x^2dx=______【答案】1/3【解析】\int_0^1x^2dx=x^3/3\big|_0^1=1/

32.\sum_{n=1}^\infty-1^n/n=______【答案】ln2【解析】这是交错调和级数，收敛于ln

23.\lim_{x\to0}sin2x/sin3x=______【答案】2/3【解析】利用基本极限\lim_{x\to0}sinx/x=

14.\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}的逆矩阵为______【答案】\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}【解析】逆矩阵公式计算得到

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得f\xi=fb-fa/b-a（）【答案】（√）【解析】这是拉格朗日中值定理的表述

2.若级数\sum_{n=1}^\inftya_n收敛，则\sum_{n=1}^\inftya_n^2也收敛（）【答案】（×）【解析】如a_n=-1^n/n，\sum_{n=1}^\inftya_n收敛，但\sum_{n=1}^\inftya_n^2发散

3.若函数fx在x=0处可导，则fx在x=0处连续（）【答案】（√）【解析】可导必连续

4.若函数fx在[a,b]上单调递增，则fx在a,b内可导（）【答案】（×）【解析】单调递增不一定可导，如fx=|x|在x=0处

5.若矩阵A和B都是可逆矩阵，则矩阵AB也是可逆矩阵（）【答案】（√）【解析】AB的逆矩阵为B^-1A^-1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述拉格朗日中值定理的条件和结论【答案】条件函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导结论存在ξ∈a,b，使得f\xi=fb-fa/b-a

2.简述交错级数收敛的莱布尼茨判别法【答案】若交错级数\sum_{n=1}^\infty-1^na_n满足

①a_n≥0，

②a_n单调递减，

③\lim_{n\to\infty}a_n=0，则级数收敛

3.简述矩阵可逆的条件【答案】n阶矩阵A可逆的条件是

①A的行列式|A|≠0；

②A的秩为n；

③A的特征值均不为0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在[-2,2]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1f-2=-10，f-1=2，f1=-2，f2=2f-20，f-10，f10，f20故在-2,-1单调递减，-1,1单调递增，1,2单调递减极小值f-1=-2，极大值f1=-

22.分析矩阵\begin{pmatrix}12\\24\end{pmatrix}的逆矩阵是否存在，并说明理由【答案】|A|=14-22=0，故矩阵A不可逆因为行列式为0，根据行列式与可逆性的关系，矩阵不可逆

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数在[0,3]上的最大值和最小值【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0,2f0=2，f2=-4，f3=2比较得最大值2，最小值-

42.已知微分方程y-2y-3y=0，求其通解【答案】特征方程r^2-2r-3=0，解得r=-1,3通解为y=C_1e^{-x}+C_2e^{3x}---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B

2.B、D

3.A、B

4.B、C、D

5.A、B

三、填空题

1.1/

32.ln

23.2/

34.\begin{pmatrix}-21\\

1.5-

0.5\end{pmatrix}

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.见简答题部分

2.见简答题部分

3.见简答题部分

六、分析题

1.见分析题部分

2.见分析题部分

七、综合应用题

1.见综合应用题部分

2.见综合应用题部分。