理科数学：从试题到答案的探究

理科数学从试题到答案的探究

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sinx【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为负，在整个定义域内是减函数；y=x^2是二次函数，在x0时增，在x0时减；y=1/x是反比例函数，在x0时减，在x0时增；y=sinx是周期函数，在每个周期内都有增有减只有A选项在整个定义域内是单调减函数

2.如果集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A∩B等于（）（1分）A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{1,4}【答案】B【解析】集合A和B的交集是两个集合共有的元素，即{2,3}

3.函数y=√x-1的定义域是（）（2分）A.-∞,+∞B.-1,+∞C.[1,+∞D.-∞,1]【答案】C【解析】函数y=√x-1中，根号下的表达式x-1必须大于等于0，即x≥1，所以定义域是[1,+∞

4.直线y=2x+1与y轴的交点坐标是（）（1分）A.0,1B.1,0C.0,-1D.-1,0【答案】A【解析】直线y=2x+1与y轴相交时，x=0，代入得到y=1，所以交点坐标是0,

15.若ab，则下列不等式一定成立的是（）（2分）A.a^2b^2B.a+1b+1C.a-2b-2D.a/2b/2【答案】B【解析】对于不等式ab，两边同时加上相同的数1，不等式仍然成立，即a+1b+

16.已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C等于（）（2分）A.45°B.60°C.75°D.105°【答案】D【解析】三角形内角和为180°，所以∠C=180°-45°-60°=75°

7.若向量a=3,2，向量b=1,-1，则向量a+b等于（）（2分）A.4,1B.2,3C.3,1D.1,4【答案】A【解析】向量a+b是向量a和向量b对应分量相加，即3+1,2-1=4,

18.下列命题中，真命题是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.两个空集相等D.一个集合的子集一定不是它本身【答案】C【解析】空集是任何集合的子集是真命题；任何集合都有补集是假命题；两个空集相等是真命题；一个集合的子集可以等于它本身，例如空集是任何集合的子集，包括它本身

9.函数y=2^x的图像关于（）对称（1分）A.x轴B.y轴C原点D直线y=x【答案】D【解析】函数y=2^x和y=log2x互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称

10.如果sinθ=1/2，且θ在第二象限，则cosθ等于（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】在第二象限，cosθ为负值，sin^2θ+cos^2θ=1，所以cosθ=-√1-sin^2θ=-√1-1/2^2=-√3/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,1上是增函数的有？（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=√xD.y=2-x【答案】A、C【解析】y=x^3在0,1上是增函数；y=1/x在0,1上是减函数；y=√x在0,1上是增函数；y=2-x在0,1上是减函数

2.以下命题正确的有？（）A.若ab，则√a√bB.若a^2b^2，则abC.若a·b0，则a0且b0D.若a^2=b^2，则a=b【答案】A、C【解析】若ab，则√a√b是真命题；若a^2b^2，则ab不一定成立，例如a=-3，b=2；若a·b0，则a0且b0是真命题；若a^2=b^2，则a=±b，不一定成立

3.下列函数中，是奇函数的有？（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=2x+1D.y=sinx【答案】A、B、D【解析】y=x^3是奇函数；y=1/x是奇函数；y=2x+1是偶函数；y=sinx是奇函数

4.三角形ABC中，下列条件能确定一个三角形的有哪些？（）A.∠A=60°，∠B=45°B.边a=3，边b=4，边c=5C.边AB=5，边AC=7，∠A=30°D.边BC=8，∠B=60°，∠C=45°【答案】A、B、C、D【解析】以上条件都能确定一个唯一的三角形

5.下列不等式成立的有？（）A.3^a2^aB.a^2+b^2≥2abC.1/a1/bD.a^3+b^3a^2b+ab^2【答案】A、B【解析】当a1时，3^a2^a成立；a^2+b^2≥2ab是基本不等式；1/a1/b当且仅当ab且a、b同号；a^3+b^3=a^2a+b+b^2a+b≥a^2·2ab+ab^2=2a^2b+ab^2，不一定成立

三、填空题

1.若直线y=kx+3与直线y=2x-1平行，则k=______（2分）【答案】2【解析】两条直线平行，斜率相等，所以k=

22.函数y=2cos3x+π/4的最小正周期是______（2分）【答案】2π/3【解析】函数y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ的周期是2π/ω，所以最小正周期是2π/

33.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，a=3，b=4，则c=______（2分）【答案】5【解析】根据勾股定理，c=√a^2+b^2=√3^2+4^2=

54.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，则A的元素个数是______（2分）【答案】2【解析】解方程x^2-3x+2=0得到x=1或x=2，所以集合A={1,2}，元素个数是

25.若向量u=1,2，向量v=2,k，且u⊥v，则k=______（4分）【答案】-4【解析】向量u和向量v垂直，则u·v=0，即1×2+2×k=0，解得k=-4

四、判断题

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】例如a=2，b=-3，则ab，但a^2=4，b^2=9，所以a^2b^2不成立

2.若sinα=sinβ，则α=β（）（2分）【答案】（×）【解析】例如sinα=1/2，则α可以是30°或150°，所以sinα=sinβ不一定意味着α=β

3.若函数y=fx在区间a,b上是增函数，则fx在a,b上的导数大于0（）（2分）【答案】（√）【解析】根据导数的定义，若函数在区间上单调增，则其导数在该区间上恒大于

04.若三角形ABC中，∠A=∠B=∠C，则三角形ABC是等边三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】三角形内角和为180°，若三个角相等，则每个角都是60°，所以是等边三角形

5.若ab，则1/a1/b（）（2分）【答案】（×）【解析】例如a=2，b=1，则ab，但1/a=1/2，1/b=1，所以1/a1/b不成立

五、简答题

1.求函数y=2x^2-4x+1的顶点坐标和对称轴方程（5分）【答案】顶点坐标为1,-1，对称轴方程为x=1【解析】函数y=ax^2+bx+c的顶点坐标为-b/2a,-Δ/4a，其中Δ=b^2-4ac代入得顶点坐标为1,-1，对称轴方程为x=-b/2a=x=

12.已知集合A={x|1x3}，B={x|x≤1或x≥3}，求A∪B和A∩B（4分）【答案】A∪B=-∞,+∞，A∩B=∅【解析】A∪B是A和B的并集，即所有实数；A∩B是A和B的交集，即没有公共元素

3.证明对任意实数a、b，有|a+b|≤|a|+|b|（5分）【解析】根据三角不等式，|a+b|≤|a|+|b|考虑任意实数a、b，可以分为以下几种情况

（1）当a≥0，b≥0时，|a+b|=a+b=|a|+|b|；

（2）当a≥0，b0时，|a+b|=a-b≤a+|b|=|a|+|b|；

（3）当a0，b≥0时，|a+b|=b-a≤b+|a|=|a|+|b|；

（4）当a0，b0时，|a+b|=-a+b=|a|+|b|综上所述，|a+b|≤|a|+|b|恒成立

六、分析题

1.已知函数fx=ax^2+bx+c，且f1=3，f-1=-1，f0=1，求a、b、c的值（10分）【答案】a=1，b=0，c=1【解析】根据已知条件，可以列出以下方程组f1=a1^2+b1+c=3f-1=a-1^2+b-1+c=-1f0=a0^2+b0+c=1解方程组得到a=1，b=0，c=

12.已知向量u=1,2，向量v=3,k，且向量u和向量v的夹角为60°，求k的值（10分）【答案】k=√7或k=-√7【解析】向量u和向量v的夹角为60°，则cos60°=u·v/|u||v|，即1/2=1×3+2×k/√1^2+2^2√3^2+k^2，解得k=√7或k=-√7

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为1000元，每生产一件产品，可变成本为5元，售价为10元求

（1）生产x件产品的总成本Cx和总收入Rx

（2）生产多少件产品时，工厂开始盈利？

（3）当生产量为多少时，工厂的利润最大？（20分）【答案】

（1）Cx=1000+5x，Rx=10x

（2）当RxCx时，工厂开始盈利，即10x1000+5x，解得x200，所以生产201件产品时开始盈利

（3）利润函数Px=Rx-Cx=10x-1000+5x=5x-1000，当x=200时，Px开始盈利，随着x增加，Px增加，所以生产量越大，利润越大，理论上生产量无限大时利润最大，但实际生产中受限于市场等因素

八、标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.B

6.D

7.A

8.C

9.D

10.B

二、多选题

1.A、C

2.A、C

3.A、B、D

4.A、B、C、D

5.A、B

三、填空题

1.

22.2π/

33.

54.

25.-4

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.顶点坐标为1,-1，对称轴方程为x=

12.A∪B=-∞,+∞，A∩B=∅

3.根据三角不等式，|a+b|≤|a|+|b|恒成立

六、分析题

1.a=1，b=0，c=

12.k=√7或k=-√7

七、综合应用题

1.

（1）Cx=1000+5x，Rx=10x

（2）生产201件产品时开始盈利

（3）理论上生产量无限大时利润最大，实际生产中受限于市场等因素。