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理论概率重点试题及答案分享
一、单选题
1.一个标准的六面骰子，掷出点数为偶数的概率是（）（1分）A.1/6B.1/3C.1/2D.2/3【答案】C【解析】六面骰子中偶数面有3个（
2、
4、6），总面数为6，故概率为3/6=1/
22.设事件A的概率为PA=
0.6，事件B的概率为PB=
0.7，且A和B互斥，则PA∪B等于（）（1分）A.
0.13B.
0.7C.
0.9D.
1.3【答案】C【解析】互斥事件概率加和，PA∪B=PA+PB=
0.6+
0.7=
0.
93.已知随机变量X的分布列为X:-101P:
0.
20.
50.3则EX等于（）（2分）A.
0.1B.
0.2C.
0.3D.
0.5【答案】A【解析】EX=-1×
0.2+0×
0.5+1×
0.3=
0.
14.设事件A的概率为PA=
0.4，事件B的概率为PB=
0.5，且A和B相互独立，则PA|B等于（）（1分）A.
0.4B.
0.5C.
0.8D.1【答案】A【解析】独立事件条件概率等于原概率，PA|B=PA=
0.
45.10件产品中有3件次品，随机抽取2件，则至少抽到1件次品的概率是（）（2分）A.3/5B.2/5C.3/10D.7/15【答案】A【解析】至少1件次品=抽到1件次品+抽到2件次品，概率为C3,1/C10,2+C3,2/C10,2=3/15+3/15=3/
56.设随机变量X服从二项分布Bn,p，且EX=6，方差DX=4，则（）（2分）A.n=10,p=
0.6B.n=12,p=
0.5C.n=9,p=
0.667D.n=15,p=
0.4【答案】B【解析】EX=np=6，DX=np1-p=4，解得n=12，p=
0.
57.抛掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为
0.6，连续抛掷3次，则恰好出现2次正面的概率是（）（2分）A.
0.216B.
0.336C.
0.432D.
0.648【答案】B【解析】PX=2=C3,2×
0.6^2×
0.4=3×
0.36×
0.4=
0.
3368.设事件A的概率为PA=
0.7，事件B的概率为PB=
0.5，且PA∪B=
0.9，则PA|B等于（）（2分）A.
0.4B.
0.5C.
0.6D.
0.8【答案】C【解析】PA|B=[PA∪B-PB]/PB=
0.9-
0.5/
0.5=
0.
89.已知随机变量X的密度函数为fx=\begin{cases}2x,0≤x≤1\\0,其他\end{cases}，则P
0.5X1等于（）（2分）A.
0.25B.
0.375C.
0.5D.
0.75【答案】B【解析】P
0.5X1=∫_{
0.5}^12xdx=x^2|_{
0.5}^1=1-
0.25=
0.75（修正原计算错误，正确为
0.75）
10.设事件A的概率为PA=
0.3，事件B的概率为PB=
0.4，且A和B互不相容，则PAUB等于（）（1分）A.
0.1B.
0.7C.
0.8D.
0.9【答案】B【解析】互不相容事件概率加和，PAUB=PA+PB=
0.3+
0.4=
0.7
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些属于概率论的基本概念？（）A.随机事件B.概率空间C.随机变量D.数学期望E.方差【答案】A、B、C【解析】概率论基本概念包括随机事件、概率空间和随机变量，数学期望和方差是随机变量的重要特征
2.以下哪些情况下，事件A和事件B相互独立？（）A.PA|B=PAB.PB|A=PBC.PA∪B=PA+PBD.PA=PA|BE.PB=PB|A【答案】A、B、D、E【解析】事件A和B相互独立当且仅当PA|B=PA,PB|A=PB,PA=PA|B,PB=PB|A
3.以下哪些分布是离散型随机变量的分布？（）A.正态分布B.二项分布C.泊松分布D.均匀分布E.几何分布【答案】B、C、E【解析】离散型随机变量分布包括二项分布、泊松分布和几何分布，正态分布和均匀分布是连续型分布
4.已知随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ1,σ1^2,Y~Nμ2,σ2^2，则（）A.X+Y~Nμ1+μ2,σ1^2+σ2^2B.X-Y~Nμ1-μ2,σ1^2+σ2^2C.aX+bY~Naμ1+bμ2,aσ1^2+bσ2^2D.X/Y~Nμ1-μ2/σ1,σ2/σ1^2E.XY~Nμ1μ2,σ1σ2【答案】A、B、C【解析】独立正态分布随机变量线性组合仍为正态分布，选项D和E错误
5.以下哪些性质适用于大数定律？（）A.样本均值收敛于总体均值B.样本方差收敛于总体方差C.当n足够大时，事件频率接近概率D.随机变量序列的极限为0E.独立同分布随机变量均值收敛【答案】A、C、E【解析】大数定律表明样本均值收敛于总体均值，事件频率收敛于概率，独立同分布随机变量均值收敛，B、D错误
三、填空题（每题4分，共32分）
1.若事件A的概率为PA=
0.6，事件B的概率为PB=
0.7，且A和B互斥，则PA∪B等于______（4分）【答案】
1.3【解析】互斥事件概率加和，PA∪B=PA+PB=
0.6+
0.7=
1.
32.设随机变量X服从二项分布Bn,p，且EX=6，方差DX=4，则p等于______（4分）【答案】
0.6【解析】EX=np=6，DX=np1-p=4，解得p=
0.
63.抛掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为
0.6，连续抛掷3次，则恰好出现2次正面的概率是______（4分）【答案】
0.336【解析】PX=2=C3,2×
0.6^2×
0.4=
0.
3364.设事件A的概率为PA=
0.4，事件B的概率为PB=
0.5，且PA∪B=
0.8，则PA|B等于______（4分）【答案】
0.6【解析】PA|B=[PA∪B-PB]/PB=
0.8-
0.5/
0.5=
0.
65.已知随机变量X的密度函数为fx=\begin{cases}2x,0≤x≤1\\0,其他\end{cases}，则P
0.5X1等于______（4分）【答案】
0.75【解析】P
0.5X1=∫_{
0.5}^12xdx=x^2|_{
0.5}^1=1-
0.25=
0.
756.设事件A的概率为PA=
0.3，事件B的概率为PB=
0.4，且A和B互不相容，则PAUB等于______（4分）【答案】
0.7【解析】互不相容事件概率加和，PAUB=PA+PB=
0.3+
0.4=
0.
77.设随机变量X服从泊松分布Pλ，且PX=1=PX=2，则λ等于______（4分）【答案】2【解析】PX=1=λe^{-λ},PX=2=λ^2e^{-λ},解得λ=
28.设随机变量X的期望EX=3，方差DX=
0.25，则X^2的期望EX^2等于______（4分）【答案】
9.25【解析】EX^2=DX+[EX]^2=
0.25+3^2=
9.25
四、判断题（每题2分，共20分）
1.若事件A和事件B相互独立，则PA∩B=PAPB（）（2分）【答案】（√）【解析】独立事件概率乘积等于同时发生的概率，PA∩B=PAPB
2.已知随机变量X的分布列为X:-101P:
0.
20.
50.3则X的方差DX等于
0.49（）（2分）【答案】（×）【解析】DX=EX^2-[EX]^2=
0.5-
0.01=
0.49（修正原计算错误，正确为
0.49）
3.设随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ1,σ1^2,Y~Nμ2,σ2^2，则X+Y~Nμ1+μ2,σ1^2+σ2^2（）（2分）【答案】（√）【解析】独立正态分布随机变量线性组合仍为正态分布，EX+Y=μ1+μ2,DX+Y=σ1^2+σ2^
24.设事件A的概率为PA=
0.6，事件B的概率为PB=
0.7，且PA∪B=
0.9，则PA|B等于
0.4（）（2分）【答案】（×）【解析】PA|B=[PA∪B-PB]/PB=
0.9-
0.7/
0.7≈
0.4286≠
0.
45.设随机变量X的密度函数为fx=\begin{cases}2x,0≤x≤1\\0,其他\end{cases}，则PX
0.5等于
0.5（）（2分）【答案】（×）【解析】PX
0.5=∫_{
0.5}^12xdx=x^2|_{
0.5}^1=1-
0.25=
0.75≠
0.5
五、简答题（每题5分，共20分）
1.简述概率的公理化定义及其三个基本公理（5分）【答案】概率的公理化定义由Kolmogorov提出，包含三个基本公理
（1）非负性对任意事件A，0≤PA≤1；
（2）规范性必然事件的概率PΩ=1；
（3）可列可加性对可列个互斥事件A1,A2,...，P∪∞_{i=1}Ai=∑_{i=1}^∞PAi
2.简述二项分布和泊松分布的适用条件及区别（5分）【答案】二项分布适用条件
（1）n次独立重复试验；
（2）每次试验结果为成功或失败；
（3）每次试验成功概率p相同泊松分布适用条件
（1）稀有事件在单位时间或空间内发生的次数；
（2）事件发生相互独立区别
（1）二项分布适用于有限试验次数，泊松分布适用于无限过程；
（2）二项分布参数为n和p，泊松分布参数为λ
3.简述大数定律的意义及其常见类型（5分）【答案】大数定律表明在相同条件下重复试验，事件频率会收敛于概率，是统计推断的理论基础常见类型
（1）伯努利大数定律事件频率收敛于概率；
（2）切比雪夫大数定律方差有界随机变量均值收敛于期望；
（3）辛钦大数定律独立同分布随机变量均值收敛于期望
4.简述中心极限定理的内容及其应用（5分）【答案】中心极限定理表明独立同分布随机变量之和的标准化变量近似服从正态分布应用
（1）样本均值的分布近似正态分布；
（2）大样本统计推断（如Z检验）；
（3）误差分析（如测量误差近似正态分布）
六、分析题（每题10分，共20分）
1.设随机变量X和Y相互独立，且X~N0,1,Y~N0,1，求Z=X+Y的分布密度函数（10分）【答案】由于X和Y相互独立且同分布N0,1，根据正态分布性质Z=X+Y~Nμ1+μ2,σ1^2+σ2^2=N0+0,1+1=N0,2Z的密度函数为f_Zz=\frac{1}{\sqrt{2π×2}}e^{-\frac{z^2}{2×2}}=\frac{1}{\sqrt{4π}}e^{-\frac{z^2}{4}}
2.某射手每次射击命中目标的概率为p=
0.7，独立射击10次，求至少命中6次的概率（10分）【答案】设X为命中次数，X~B10,
0.7，求PX≥6PX≥6=∑_{k=6}^{10}C10,k×
0.7^k×
0.3^{10-k}计算各项PX=6=C10,6×
0.7^6×
0.3^4≈
0.2001；PX=7=C10,7×
0.7^7×
0.3^3≈
0.2668；PX=8=C10,8×
0.7^8×
0.3^2≈
0.2335；PX=9=C10,9×
0.7^9×
0.3≈
0.1211；PX=10=C10,10×
0.7^10×
0.3^0≈
0.0282；PX≥6=
0.2001+
0.2668+
0.2335+
0.1211+
0.0282≈
0.8497
七、综合应用题（每题25分，共25分）设随机变量X和Y相互独立，且X~U0,1,Y~N0,1，求Z=X+Y的期望EZ和方差DZ（25分）【答案】
1.计算EZ EZ=EX+Y=EX+EY=EX+0由于X~U0,1，EX=∫_0^1xdx=1/2故EZ=1/
22.计算DZ DZ=DX+Y=DX+DY（因X和Y独立）X~U0,1，DX=1/12Y~N0,1，DY=1故DZ=1/12+1=13/
123.验证Z=X+Y的分布为混合分布，但EZ和DZ可分解计算EZ=EX+EY=1/2+0=1/2DZ=DX+DY=1/12+1=13/12结论EZ=1/2,DZ=13/12。
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