直击复旦考研试题及答案真相

直击复旦考研试题及答案真相

一、单选题（每题1分，共20分）

1.设函数fx在区间I上连续，则在I上（）（1分）A.fx必有界B.fx必有最大值和最小值C.fx必可导D.fx必可积【答案】D【解析】连续函数在闭区间上可积，故选D

2.下列级数中，收敛的是（）（1分）A.∑_{n=1}^∞n/2^nB.∑_{n=1}^∞1/nC.∑_{n=1}^∞1/n^2D.∑_{n=1}^∞n^2/2^n【答案】C【解析】p-级数当p1时收敛，故选C

3.设A为n阶方阵，若rA=n-1，则（）（1分）A.|A|=0B.|A|≠0C.A有n-1个零特征值D.A有1个非零特征值【答案】C【解析】矩阵的秩等于其非零特征值的个数，故选C

4.设函数fx在点x=0处可导，且f0=1，若极限lim_{x→0}e^fx-1/x=2，则f0等于（）（2分）A.1B.2C.0D.-1【答案】B【解析】根据导数定义，f0=lim_{x→0}[fx-f0/x]=lim_{x→0}[e^fx-1/x]=2，故选B

5.下列向量组中，线性无关的是（）（1分）A.1,2,3,2,4,6,3,6,9B.1,0,0,0,1,0,0,0,1C.1,1,1,1,2,3,1,3,5D.1,1,1,1,2,2,1,3,3【答案】B【解析】B选项为标准单位向量组，线性无关，故选B

6.设函数fx在区间[0,1]上连续，且f0=0，f1=1，则对任意ε0，存在δ0，使得当x∈[0,δ]时，有（）（1分）A.|fx|εB.fxεC.fx1-εD.|fx|ε【答案】A【解析】根据介值定理，连续函数必取到介于端点值之间的任意值，故选A

7.设z=fx,y在点x0,y0处可微，且fx,y的偏导数在该点处连续，若fx0,y0=0，f_xx0,y0=1，f_yx0,y0=-1，则当x,y沿直线x+y=1变化时，函数在该点处的方向导数为（）（2分）A.0B.1C.-1D.√2【答案】D【解析】方向导数=∇f·方向向量=1,-1·1/√2,1/√2=√2/2，故选D

8.下列积分中，收敛的是（）（1分）A.∫_{1}^∞1/x^2dxB.∫_{1}^∞1/sqrtxdxC.∫_{0}^11/xdxD.∫_{0}^11/sqrtx^3dx【答案】A【解析】A选项为p-积分，p=21，收敛；其他选项均发散，故选A

9.设A为n阶可逆矩阵，则（）（1分）A.A的伴随矩阵A是可逆的B.A的伴随矩阵A不是可逆的C.A的伴随矩阵A的秩为1D.A的伴随矩阵A的秩为n-1【答案】A【解析】|A|≠0时，A是可逆的，故选A

10.下列方程中，可化为极坐标方程的是（）（1分）A.x^2+y^2-2x=0B.x+y=1C.xy=1D.x^2-y^2=1【答案】A【解析】A选项可化为r=2cosθ，故选A

11.若函数fx在区间I上单调递增，则（）（1分）A.fx在I上必可导B.fx在I上必连续C.fx在I上必可积D.fx在I上必存在原函数【答案】B【解析】单调函数必连续，故选B

12.设函数fx在区间[0,1]上连续，且f0=f1，则（）（1分）A.存在x0∈0,1，使得fx0=0B.存在x0∈0,1，使得fx0=0C.fx在[0,1]上必单调D.fx在[0,1]上必存在极值【答案】B【解析】根据罗尔定理，连续函数在区间端点值相等时，必存在导数为0的点，故选B

13.设向量组{1,0,0,0,1,0,0,0,1}与{1,1,0,0,1,1,1,0,1}的秩分别为（）（1分）A.1,2B.2,3C.3,2D.3,3【答案】D【解析】前者为标准单位向量组，秩为3；后者为三个2阶子式非零，秩为3，故选D

14.设A为n阶矩阵，若rA=rA^T，则（）（1分）A.A必可逆B.A必不可逆C.A的秩等于其列数D.A的秩小于其列数【答案】C【解析】矩阵与其转置矩阵有相同秩，故选C

15.下列方程中，是微分方程的是（）（1分）A.x^2+y^2=1B.y=2x+1C.y-3y+2y=0D.2x+3y=5【答案】C【解析】C选项为二阶常系数线性微分方程，故选C

16.设函数fx在区间[0,1]上连续，且∫_{0}^1fxdx=1，则（）（1分）A.fx在[0,1]上必大于0B.fx在[0,1]上必小于0C.fx在[0,1]上必存在零点D.fx在[0,1]上必为常数函数【答案】C【解析】连续函数的积分为1，必存在正负值，故存在零点，故选C

17.设函数fx在区间I上可导，且fx0，则（）（1分）A.fx在I上必单调递增B.fx在I上必单调递减C.fx在I上必存在极值D.fx在I上必可积【答案】A【解析】导数大于0意味着函数单调递增，故选A

18.设向量组{1,0,0,1,1,1}的秩为（）（1分）A.1B.2C.3D.不确定【答案】B【解析】三个向量中只有两个线性无关，故秩为2，故选B

19.设A为n阶矩阵，若A的秩为n-1，则（）（1分）A.|A|=0B.|A|≠0C.A有n-1个零特征值D.A有1个非零特征值【答案】A【解析】矩阵的秩等于其非零特征值的个数，故选A

20.设函数fx在点x=0处可导，且f0=0，f0=1，则当x→0时，fx~（）（1分）A.xB.x^2C.e^xD.sinx【答案】A【解析】根据泰勒展开，fx~f0+f0x=x，故选A

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列级数中，条件收敛的有（）（4分）A.∑_{n=1}^∞-1^n/nB.∑_{n=1}^∞-1^n/n^2C.∑_{n=1}^∞-1^n/n^pp1D.∑_{n=1}^∞-1^n/n^p0p≤1【答案】A、D【解析】A选项为交错调和级数，条件收敛；D选项为交错p-级数，当0p≤1时条件收敛，故选A、D

2.下列向量组中，线性相关的有（）（4分）A.1,0,0,0,1,0,0,0,1B.1,2,3,2,4,6,3,6,9C.1,1,1,1,2,3,1,3,5D.1,0,0,0,1,1,0,1,0【答案】B、D【解析】B选项中第二个向量是第一个向量的倍数，D选项向量组秩小于3，故线性相关，故选B、D

3.设函数fx在区间I上连续，且fx满足fx+y=fx+fy，则（）（4分）A.f0=0B.fx在I上必单调C.fx在I上必为线性函数D.fx在I上必可积【答案】A、C【解析】令x=y=0，得f0=0；又fx=fx/2+x/2=fx/2+fx/2=2fx/2，由数学归纳法可得fx=kx，故fx为线性函数，故选A、C

4.设A为n阶矩阵，若A^2=A，则（）（4分）A.A必可逆B.A必不可逆C.A的秩为1D.A必为幂等矩阵【答案】D【解析】A^2=A是幂等矩阵的定义，故选D

5.下列方程中，可化为常微分方程的有（）（4分）A.x^2+y^2-2x=0B.y=2x+1C.xy=1D.x^2-y^2=1【答案】C、D【解析】C选项可化为ydx+xdy=0，D选项可化为ydx-xdy=0，均为常微分方程，故选C、D

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设函数fx在区间I上连续，且fx满足fx+y=fx+fy，若f1=2，则f5=______（4分）【答案】10【解析】f5=f1+1+1+1+1=5f1=

102.设A为2阶矩阵，且A^2=I，则|A|______（4分）【答案】±1【解析】|A^2|=|I|=1，故|A|^2=1，|A|=±

13.设函数fx在点x=0处可导，且f0=0，f0=3，则当x→0时，fx~______（4分）【答案】3x【解析】根据泰勒展开，fx~f0+f0x=3x

4.设向量组{1,0,0,1,1,1}的秩为______（4分）【答案】2【解析】三个向量中只有两个线性无关，故秩为2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上连续，则fx在I上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在0,1上连续但无界

2.若向量组{a1,b1,a2,b2}线性无关，则a1a2+b1b2≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】若a1a2+b1b2=0，则两个向量线性相关

3.若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A也可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】|A|≠0时，|A|=|A|^n-1≠0，故A可逆

4.若函数fx在区间I上可导，且fx≥0，则fx在I上必单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】导数大于等于0意味着函数单调不减

5.若向量组{1,0,0,1,1,1}的秩为3，则这三个向量线性无关（）（2分）【答案】（×）【解析】三个向量中只有两个线性无关，故秩为2

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若函数fx在区间I上连续，且对任意x1,x2∈I，有|fx1-fx2|≤|x1-x2|，则fx在I上必为单调函数（5分）【答案】证明设x1,x2∈I，且x1x2，则|fx1-fx2|≤|x1-x2|，即fx2-fx1≤x2-x1，故fx2≤fx1+x2-x1同理，若x2x1，则fx1≤fx2+x1-x2故fx在I上单调

2.设A为n阶矩阵，且A^2=I，证明A的特征值只能是1或-1（5分）【答案】证明设λ是A的特征值，则存在非零向量x，使得Ax=λx由A^2=I，得A^2x=Ix=λ^2x，即λ^2-1x=0由于x非零，故λ^2-1=0，即λ=±1故A的特征值只能是1或-

13.设函数fx在区间I上连续，且fx满足fx+y=fx+fy，证明fx必为线性函数（5分）【答案】证明令x=y=0，得f0=0又fx=fx/2+x/2=fx/2+fx/2=2fx/2，由数学归纳法可得fx=kx，故fx为线性函数

六、分析题（每题12分，共24分）

1.设函数fx在区间[0,1]上连续，且f0=0，f1=1，证明存在x0∈0,1，使得fx0=x0（12分）【答案】证明令Fx=fx-x，则F0=f0-0=0，F1=f1-1=0又Fx在[0,1]上连续，根据介值定理，存在x0∈0,1，使得Fx0=0，即fx0=x

02.设向量组{1,0,0,0,1,0,0,0,1}与{1,1,0,0,1,1,1,0,1}的秩分别为r1和r2，证明r1+r2=3（12分）【答案】证明前者为标准单位向量组，秩为3；后者为三个2阶子式非零，秩为3故r1+r2=3+3=6但题目要求证明r1+r2=3，可能是题目设置有误

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在区间[0,1]上连续，且f0=0，f1=1，证明存在x0∈0,1，使得fx0=0（25分）【答案】证明令Fx=fx-x，则F0=f0-0=0，F1=f1-1=0又Fx在[0,1]上连续，根据罗尔定理，存在x1∈0,1，使得Fx1=0，即fx1-1=0，故fx1=1再令Gx=fx-1，则Gx1=0由于Gx在[0,1]上连续，根据罗尔定理，存在x0∈0,1，使得Gx0=0，即fx0=0故存在x0∈0,1，使得fx0=

02.设A为n阶矩阵，且A^2=I，证明A的秩为n或0（25分）【答案】证明若|A|≠0，则A可逆，故A^2=I，即A=I，故秩为n若|A|=0，则A不可逆，考虑A的秩r，若0rn，则存在非零向量x，使得Ax=0，即A^2x=0，与A^2=I矛盾故A的秩为n或0

八、标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.C

4.B

5.B

6.A

7.D

8.A

9.A

10.A

11.B

12.B

13.D

14.C

15.C

16.C

17.A

18.B

19.A

20.A

二、多选题

1.A、D

2.B、D

3.A、C

4.D

5.C、D

三、填空题

1.

102.±

13.3x

4.2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。