矩阵典型试题和详细答案揭秘

矩阵典型试题和详细答案揭秘

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个不是矩阵的基本运算？（）A.加法B.乘法C.除法D.转置【答案】C【解析】矩阵的基本运算包括加法、乘法、数乘和转置，除法不是矩阵的基本运算

2.若矩阵A是3×2矩阵，矩阵B是2×3矩阵，则矩阵AB的维度是（）A.3×2B.2×3C.3×3D.2×2【答案】C【解析】矩阵乘法AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数，所以AB是3×3矩阵

3.单位矩阵I_3的特征值是（）A.1,2,3B.1,1,1C.0,1,2D.1,-1,1【答案】B【解析】单位矩阵的特征值都是1，I_3是3阶单位矩阵，所以其特征值是1,1,

14.矩阵A可逆的充分必要条件是（）A.A是方阵B.A的行列式不为0C.A的秩为nD.以上都是【答案】D【解析】矩阵A可逆的充分必要条件是A是方阵且行列式不为0，同时秩等于阶数

5.矩阵A的秩为r，则A的非零子式的最高阶数是（）A.r-1B.rC.r+1D.1【答案】B【解析】矩阵的秩r是其非零子式的最高阶数

6.下列哪个矩阵是正交矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}01\\-10\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}11\\1-1\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}10\\0-1\end{pmatrix}\【答案】B【解析】正交矩阵的列向量是单位正交向量组，B选项的列向量是单位向量且互相正交

7.矩阵A的转置矩阵记为A^T，则A^T^T等于（）A.AB.A^TC.-AD.A的行列式【答案】A【解析】矩阵的转置的转置等于原矩阵

8.两个矩阵乘积的行列式等于（）A.行列式A+行列式BB.行列式A-行列式BC.行列式A×行列式BD.行列式A+B【答案】C【解析】两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积

9.矩阵A的特征值是λ，则A^2的特征值是（）A.λ^2B.2λC.λ/2D.λ+2【答案】A【解析】若A的特征值是λ，则A^2的特征值是λ^

210.矩阵A可对角化的充分必要条件是（）A.A是实对称矩阵B.A有n个线性无关的特征向量C.A的行列式不为0D.A的特征值都是实数【答案】B【解析】矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是矩阵运算的性质？（）A.AB+C=AB+ACB.ABC=ABCC.A+B=B+AD.AB≠BAE.AB^T=B^TA^T【答案】A、B、C、E【解析】矩阵运算满足分配律、结合律、交换律（加法），以及转置的性质，但矩阵乘法不满足交换律

2.矩阵A的特征向量满足（）A.与特征值λ相关B.满足方程A-λIx=0C.非零向量D.可以是任意向量E.与特征向量对应的特征值唯一【答案】A、B、C、E【解析】特征向量是与特征值相关且满足特定方程的非零向量，每个特征向量对应的特征值唯一

3.以下哪些矩阵是可逆矩阵？（）A.\\begin{pmatrix}10\\01\end{pmatrix}\B.\\begin{pmatrix}23\\46\end{pmatrix}\C.\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\D.\\begin{pmatrix}50\\05\end{pmatrix}\【答案】A、C、D【解析】矩阵可逆的充分必要条件是行列式不为0，A、C、D的行列式都不为

04.矩阵的秩的性质包括（）A.矩阵的秩等于其行秩B.矩阵的秩等于其列秩C.矩阵的秩是其非零子式的最高阶数D.矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等E.秩为r的矩阵有r个线性无关的行向量【答案】A、B、C、D、E【解析】矩阵的秩具有上述所有性质

5.矩阵的特征值与特征向量的性质包括（）A.特征值可以是复数B.特征向量可以是复向量C.特征值对应的特征向量唯一D.零向量是特征向量E.特征值的几何重数等于其对应的线性无关特征向量的个数【答案】A、B、E【解析】特征值可以是复数，特征向量可以是复向量，特征值的几何重数等于其对应的线性无关特征向量的个数

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，则A的行列式detA=______【答案】-2【解析】detA=1×4-2×3=-

22.若矩阵A=\\begin{pmatrix}ab\\cd\end{pmatrix}\可逆，则其逆矩阵A^-1=______【答案】\\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}\【解析】A^-1=\\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}\

3.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值是λ，则λ满足的方程是______【答案】λ^2-5λ-2=0【解析】特征方程是detA-λI=0，即λ^2-5λ-2=

04.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的秩rankA=______【答案】2【解析】矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，这里detA=-2≠0，所以秩为

25.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的转置矩阵A^T=______【答案】\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\【解析】转置矩阵是将原矩阵的行变成列，列变成行

6.若矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，则2A=______【答案】\\begin{pmatrix}24\\68\end{pmatrix}\【解析】数乘矩阵是将矩阵的每个元素乘以该数

7.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\乘以矩阵B=\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\的结果是______【答案】\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\【解析】矩阵乘法AB的元素是相应行与列的乘积之和

8.单位矩阵I_3的逆矩阵是______【答案】I_3【解析】单位矩阵的逆矩阵是其本身

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个可逆矩阵的乘积仍然可逆（）【答案】（√）【解析】两个可逆矩阵的乘积仍然可逆

2.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数（）【答案】（√）【解析】矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数

3.若矩阵A的特征值是λ，则λ^2也是A的特征值（）【答案】（√）【解析】若A的特征值是λ，则λ^2也是A的特征值

4.矩阵的转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式（）【答案】（×）【解析】矩阵的转置矩阵的行列式等于原矩阵行列式的绝对值

5.矩阵乘法满足交换律（）【答案】（×）【解析】矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA

6.若矩阵A的特征值都是实数，则A可以对角化（）【答案】（×）【解析】矩阵A可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量，特征值都是实数只是必要条件

7.矩阵的逆矩阵唯一（）【答案】（√）【解析】矩阵的逆矩阵唯一

8.矩阵的秩是其行向量组的秩（）【答案】（√）【解析】矩阵的秩是其行向量组的秩

9.矩阵的行列式为零时，矩阵不可逆（）【答案】（√）【解析】矩阵的行列式为零时，矩阵不可逆

10.矩阵的特征向量可以是零向量（）【答案】（×）【解析】特征向量不可以是零向量

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述矩阵乘法的性质【答案】矩阵乘法满足以下性质

1.分配律AB+C=AB+AC

2.结合律ABC=ABC

3.与数乘结合kAB=AkB=kAB

4.交换律不成立AB≠BA

2.解释什么是矩阵的特征值和特征向量【答案】矩阵A的特征值λ和特征向量x满足方程Ax=λx，其中x是非零向量特征值λ表示矩阵A在方向x上的伸缩因子，特征向量x表示在变换下方向不变的向量

3.简述矩阵可逆的条件【答案】矩阵A可逆的条件是

1.A是方阵

2.A的行列式不为

03.A的秩等于其阶数

4.A有n个线性无关的特征向量

4.解释什么是矩阵的秩【答案】矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，也可以定义为矩阵的行向量组或列向量组的极大线性无关组的个数秩反映了矩阵的线性独立性和满秩性

5.简述矩阵对角化的条件【答案】矩阵A可对角化的条件是

1.A有n个线性无关的特征向量

2.A是方阵当这些条件满足时，A可以表示为PDP^-1，其中D是对角矩阵，P是特征向量矩阵

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值和特征向量【答案】

1.计算特征值特征方程为detA-λI=0，即det\\begin{pmatrix}1-λ2\\34-λ\end{pmatrix}\=01-λ4-λ-6=λ^2-5λ-2=0解得λ=\\frac{5±\sqrt{25+8}}{2}\=\\frac{5±\sqrt{33}}{2}\

2.计算特征向量对于λ1=\\frac{5+\sqrt{33}}{2}\，解方程A-λ1Ix=0\\begin{pmatrix}1-\frac{5+\sqrt{33}}{2}2\\34-\frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x1\\x2\end{pmatrix}\=0解得特征向量x1=\\begin{pmatrix}2\\3-\frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\对于λ2=\\frac{5-\sqrt{33}}{2}\，解方程A-λ2Ix=0\\begin{pmatrix}1-\frac{5-\sqrt{33}}{2}2\\34-\frac{5-\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x1\\x2\end{pmatrix}\=0解得特征向量x2=\\begin{pmatrix}2\\3-\frac{5-\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\

2.分析矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵【答案】

1.计算行列式detA=1×4-2×3=-2≠0，所以A可逆

2.计算伴随矩阵伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置，A的代数余子式矩阵为\\begin{pmatrix}4-2\\-31\end{pmatrix}\伴随矩阵为\\begin{pmatrix}4-3\\-21\end{pmatrix}\

3.计算逆矩阵A^-1=\\frac{1}{detA}\adjA=\\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4-3\\-21\end{pmatrix}\=\\begin{pmatrix}-2\frac{3}{2}\\1-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，矩阵B=\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\，计算矩阵C=AB，并求C的逆矩阵【答案】

1.计算矩阵C=AB C=AB=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\=\\begin{pmatrix}1×5+2×71×6+2×8\\3×5+4×73×6+4×8\end{pmatrix}\=\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\

2.计算矩阵C的逆矩阵detC=19×50-22×43=950-946=4≠0，所以C可逆伴随矩阵adjC=\\begin{pmatrix}50-22\\-4319\end{pmatrix}\C^-1=\\frac{1}{detC}\adjC=\\frac{1}{4}\begin{pmatrix}50-22\\-4319\end{pmatrix}\=\\begin{pmatrix}\frac{50}{4}-\frac{22}{4}\\-\frac{43}{4}\frac{19}{4}\end{pmatrix}\=\\begin{pmatrix}

12.5-

5.5\\-

10.

754.75\end{pmatrix}\

2.已知矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\，矩阵B=\\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\，计算矩阵C=AB，并求C的特征值和特征向量【答案】

1.计算矩阵C=AB C=AB=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\begin{pmatrix}56\\78\end{pmatrix}\=\\begin{pmatrix}1×5+2×71×6+2×8\\3×5+4×73×6+4×8\end{pmatrix}\=\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\

2.计算矩阵C的特征值特征方程为detC-λI=0，即det\\begin{pmatrix}19-λ22\\4350-λ\end{pmatrix}\=019-λ50-λ-946=λ^2-69λ-24=0解得λ=\\frac{69±\sqrt{69^2+96}}{2}\=\\frac{69±\sqrt{4801}}{2}\

3.计算矩阵C的特征向量对于λ1=\\frac{69+\sqrt{4801}}{2}\，解方程C-λ1Ix=0\\begin{pmatrix}19-\frac{69+\sqrt{4801}}{2}22\\4350-\frac{69+\sqrt{4801}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x1\\x2\end{pmatrix}\=0解得特征向量x1=\\begin{pmatrix}22\\43-\frac{69+\sqrt{4801}}{2}\end{pmatrix}\对于λ2=\\frac{69-\sqrt{4801}}{2}\，解方程C-λ2Ix=0\\begin{pmatrix}19-\frac{69-\sqrt{4801}}{2}22\\4350-\frac{69-\sqrt{4801}}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x1\\x2\end{pmatrix}\=0解得特征向量x2=\\begin{pmatrix}22\\43-\frac{69-\sqrt{4801}}{2}\end{pmatrix}\---标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.B

4.D

5.B

6.B

7.A

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、E

2.A、B、C、E

3.A、C、D

4.A、B、C、D、E

5.A、B、E

三、填空题

1.-

22.\\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d-b\\-ca\end{pmatrix}\

3.λ^2-5λ-2=

04.

25.\\begin{pmatrix}13\\24\end{pmatrix}\

6.\\begin{pmatrix}24\\68\end{pmatrix}\

7.\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\

8.I_3

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.×

6.×

7.√

8.√

9.√

10.×

五、简答题

1.矩阵乘法满足分配律、结合律、与数乘结合律，但不满足交换律

2.矩阵A的特征值λ和特征向量x满足方程Ax=λx，其中x是非零向量特征值λ表示矩阵A在方向x上的伸缩因子，特征向量x表示在变换下方向不变的向量

3.矩阵A可逆的条件是A是方阵，A的行列式不为0，A的秩等于其阶数，A有n个线性无关的特征向量

4.矩阵的秩是其非零子式的最高阶数，也可以定义为矩阵的行向量组或列向量组的极大线性无关组的个数秩反映了矩阵的线性独立性和满秩性

5.矩阵A可对角化的条件是A有n个线性无关的特征向量，A是方阵当这些条件满足时，A可以表示为PDP^-1，其中D是对角矩阵，P是特征向量矩阵

六、分析题

1.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的特征值和特征向量特征值λ=\\frac{5±\sqrt{33}}{2}\，特征向量分别为\\begin{pmatrix}2\\3-\frac{5+\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\和\\begin{pmatrix}2\\3-\frac{5-\sqrt{33}}{2}\end{pmatrix}\

2.矩阵A=\\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\的逆矩阵逆矩阵为\\begin{pmatrix}-2\frac{3}{2}\\1-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\

七、综合应用题

1.矩阵C=AB=\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\，逆矩阵为\\begin{pmatrix}

12.5-

5.5\\-

10.

754.75\end{pmatrix}\

2.矩阵C=AB=\\begin{pmatrix}1922\\4350\end{pmatrix}\，特征值分别为\\frac{69±\sqrt{4801}}{2}\，特征向量分别为\\begin{pmatrix}22\\43-\frac{69+\sqrt{4801}}{2}\end{pmatrix}\和\\begin{pmatrix}22\\43-\frac{69-\sqrt{4801}}{2}\end{pmatrix}\。