竞赛题目与答案解析

佚名 · 0743

解析，答案

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竞赛题目与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+1，则fx在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.10B.3C.8D.5【答案】A【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1f-2=-8-6+1=-13，f-1=-1+3+1=3，f1=-1-3+1=-3，f2=8-6+1=3故最大值为

102.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosB等于（）（2分）A.1/2B.3/4C.5/6D.7/8【答案】B【解析】由余弦定理b²=a²+c²-2ac·cosB，得3²=2²+4²-2×2×4·cosB，解得cosB=3/

43.某校组织篮球比赛，共有8支球队参加，比赛采用单循环赛制（每队均与其他各队比赛一场），则总共需要进行（）场比赛（2分）A.15B.28C.56D.64【答案】A【解析】由组合数C8,2=8×7/2=28，故共需28场

4.函数y=2^x+1的反函数是（）（2分）A.y=log₂x-1B.y=2^x-1C.y=log₂x+1D.y=2^-x+1【答案】C【解析】令y=2^x+1，则x=log₂y-1，反函数为y=log₂x+

15.将一个棱长为2的正方体表面涂上红色，然后切成32个体积为1的小正方体，则三面涂红色的小正方体有（）个（2分）A.8B.12C.16D.24【答案】A【解析】正方体8个顶点处的小正方体三面涂色

6.若复数z满足|z|=1且z²≠-1，则z的取值有（）个（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】单位圆上除±i外有2个解

7.执行以下程序段后，变量s的值是（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（2分）A.9B.15C.10D.20【答案】C【解析】i=1,s=1;i=3,s=4;i=5,s=9;i=7退出

8.已知集合A={x|x²-3x+20}，B={x|0x4}，则A∩B等于（）（2分）A.{x|0x1}B.{x|1x2}C.{x|2x4}D.{x|1x4}【答案】C【解析】A={x|x1或x2}，A∩B={x|2x4}

9.在等差数列{a_n}中，若a₁+a₅=10，a₂+a₄=12，则a₁+a₈等于（）（2分）A.14B.16C.18D.20【答案】B【解析】a₃=11，a₁+a₈=2a₄=

1610.抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】p=2，焦点到准线距离为2p=4，但题目问的是p值

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a²b²C.等腰三角形的底角相等D.函数y=sinx是周期函数E.对任意实数x，x²≥0【答案】A、C、D、E【解析】B错误，如a=1b=-2时a²b²

2.关于双曲线x²/a²-y²/b²=1，下列说法正确的有（）（4分）A.焦点在x轴上B.渐近线方程为y=±b/axC.离心率e1D.实轴长等于aE.虚轴长等于b【答案】A、B、C、D【解析】E错误，虚轴长为b

3.执行以下程序段后，变量x的值是（）（4分）x=0;n=5;repeatx=x+1;n=n-1;untiln=0（4分）A.0B.1C.2D.4E.5【答案】D、E【解析】循环4次，x=4；再执行一次x=

54.函数y=fx在区间[a,b]上连续，则以下结论正确的有（）（4分）A.函数在该区间必有最大值和最小值B.函数在该区间必有零点C.若fafb0，则存在c∈a,b使fc=0D.函数在该区间必单调E.函数在该区间必有界【答案】A、C、E【解析】B、D不一定成立

5.以下不等式成立的有（）（4分）A.1/2√2/3B.log₂3log₃4C.

0.7³

0.8²D.2³3²E.2⁻¹3⁻¹【答案】A、B、C【解析】D错误，89；E错误，1/21/3

三、填空题（每题4分，共16分）

1.已知圆心在1,2，半径为3的圆与直线x-y+1=0相交，则两交点间的距离是__________（4分）【答案】2√2【解析】圆心到直线距离d=|1-2+1|/√2=√2，两交点间距离为2×√3²-√2²=2√

22.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是__________（4分）【答案】3【解析】分段函数fx={-2x-1,x-2;3,-2≤x≤1;2x+1,x1}，最小值为

33.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，a=√3，则边b的值是__________（4分）【答案】1+√2【解析】由正弦定理b=a·sinB/sinA=√3×√2/2/√3/2=√2，又由余弦定理b²=a²+c²-2ac·cosB，得√2²=3+c²-√6c，解得c=1+√

24.数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，则通项公式a_n=__________（4分）【答案】2^n-1【解析】a_n-1=2a_n-1+1，{a_n-1}是首项为0，公比为2的等比数列，a_n-1=2^n-1，故a_n=2^n-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x+y=1，则x²+y²≥1/2（）（2分）【答案】（×）【解析】x²+y²=x+y²-2xy=1-2xy≥1/2，当xy=0时取等号

2.函数y=cosx+π/3的最小正周期是2π（）（2分）【答案】（√）【解析】余弦函数周期为2π

3.抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是4（）（2分）【答案】（√）【解析】p=4，焦点到准线距离为2p=

44.若复数z满足|z|=1，则z²一定是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，|z|=1即a²+b²=1，z²=a+bi²=a²-b²+2abi，若b=0则z²是实数；若b≠0，则z²=cos2θ+isin2θ是单位圆上的点，其实部a²-b²可能为0，但一定是实数

5.对于任意实数x，x³-x总是小于x²-x（）（2分）【答案】（×）【解析】x=1时x³-x=x²-x=0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=2sin2x+1在[0,π]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值3，最小值-1【解析】y_max=2×1+1=3，y_min=2×-1+1=-

12.已知向量a=1,2，b=3,-4，求向量a+b和a·b的值（5分）【答案】a+b=4,-2，a·b=-5【解析】a+b=1+3,2-4=4,-2，a·b=1×3+2×-4=-

53.证明对于任意实数x，x²+2x+3总是大于0（5分）【答案】【证明】x²+2x+3=x+1²+2≥2，故总是大于0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+2，求fx在[-2,2]上的最大值和最小值，并说明理由（10分）【答案】最大值5，最小值-13【解析】fx=3x²-3，令fx=0，得x=±1f-2=-8-6+1=-13，f-1=-1+3+1=3，f1=-1-3+1=-3，f2=8-6+1=3故最大值为max{3,3,5}即5，最小值为min{-13,3,-3}即-

132.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，证明{a_n}是等比数列（10分）【答案】【证明】a_n+1=2a_n+1，a_n=2a_n-1+1，故a_n+1-2a_n=2a_n-1+1-2a_n-1-1=1，即a_n+1+1=2a_n+1，故{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元若销售量x件时，工厂的利润为Lx万元，求（25分）

（1）Lx的表达式；

（2）当销售量为多少件时，工厂开始盈利；

（3）若要实现利润最大化，工厂应生产多少件产品？（设生产量不超过1000件）（25分）【答案】

（1）Lx=80-50x-10=30x-10（万元）

（2）令Lx0，得x10/30=1/3，即x

333.33，故至少销售334件；

（3）Lx是关于x的一次函数，在x=1000时取得最大值，L1000=30×1000-10=299000（元）

2.已知函数fx=x³-3x²+2x，求（25分）

（1）fx的导数fx；

（2）fx的极值点；