精准教学函数专项试题及完整答案

精准教学函数专项试题及完整答案

一、单选题

1.函数fx=x²-4x+3在区间[1,3]上的最大值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】函数fx=x²-4x+3的顶点为x=2，对称轴左侧函数单调递减，右侧单调递增区间[1,3]包含顶点，需比较端点和顶点函数值f1=0,f2=-1,f3=0，最大值为

42.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】绝对值函数表示数轴上两点距离，y=|x-1|+|x+2|表示x到1和-2的距离和最小值出现在x介于-2和1之间时，此时y=3-1=

23.函数fx=sinx+cosx的最大值是（）（2分）A.√2B.1C.2D.π【答案】A【解析】fx=√2sinx+π/4，振幅为√2，最大值为√

24.函数y=x³-3x在x=1处的导数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】fx=3x²-3，f1=3-3=

05.函数fx=e^x在x=0处的切线方程是（）（2分）A.y=xB.y=x+1C.y=e^xD.y=x-1【答案】A【解析】f0=1,f0=1，切线方程y-1=1x-0，即y=x

6.函数fx=log₂x+1的定义域是（）（1分）A.-1,+∞B.[-1,+∞C.-∞,+∞D.-∞,-1【答案】B【解析】x+10，x-1，定义域[-1,+∞

7.函数y=tanx的周期是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】tanx+π=tanx，周期π

8.函数fx=arctanx的值域是（）（2分）A.-π/2,π/2B.[0,π]C.-π,πD.-∞,+∞【答案】A【解析】反正切函数值域为-π/2,π/

29.函数fx=|x|在x=0处的导数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.不存在【答案】D【解析】左右导数不相等，导数不存在

10.函数y=sin²x的导数是（）（2分）A.cosxB.2cosxC.sin2xD.2sinxcosx【答案】D【解析】y=1/2-1/2cos2x，y=sin2x

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间-∞,+∞上单调递增的是？（）A.y=x²B.y=e^xC.y=log₁₀xD.y=sinx【答案】B、C【解析】指数函数和对数函数在其定义域内单调递增y=x²开口向上，对称轴左侧递减；sinx周期性变化

2.函数fx=ax²+bx+c的图像开口向上的条件是？（）A.a0B.b0C.c0D.Δ0【答案】A【解析】抛物线开口方向由a决定，a0开口向上Δ判别式与开口无关

3.函数y=2^x与y=log₂x的关系是？（）A.关于y=x对称B.关于原点对称C.互为反函数D.关于x=y对称【答案】A、C【解析】指数函数与对数函数互为反函数，图像关于y=x对称

4.函数fx=|x-1|+|x+2|的零点个数是？（）A.1B.2C.3D.0【答案】B【解析】|x-1|和|x+2|分别在x=1和x=-2处为零，两函数相加必有两个交点

5.函数y=fx在x=c处可导的必要条件是？（）A.fx在c处连续B.fx在c处可导C.fx在c处左导数存在D.fx在c处右导数存在【答案】A、C、D【解析】可导必连续，且左右导数存在且相等左导数存在不一定右导数存在

三、填空题

1.函数fx=x³-3x+2的极值点是______、______（4分）【答案】

1、-1【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，经二阶导数检验x=1为极大值点，x=-1为极小值点

2.函数y=√x-1的定义域是______，值域是______（4分）【答案】[1,+∞；[0,+∞【解析】x-1≥0，定义域[1,+∞，值域[0,+∞

3.函数fx=2sin2x-π/4+1的振幅是______，周期是______（4分）【答案】2；π【解析】振幅为2，周期T=2π/2=π

4.函数fx=arcsinx的导数是______（4分）【答案】1/√1-x²【解析】反三角函数标准导数公式

5.函数y=x²在区间[0,2]上的平均值是______（4分）【答案】2【解析】f2-f0/2-0=4-0/2=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x²在x=0处取得极小值（）（2分）【答案】（√）【解析】f0=0，f0=20，极小值点

2.函数y=cosx是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】cos-x=cosx，偶函数定义

3.函数fx=1/x在x=0处可导（）（2分）【答案】（×）【解析】fx在x=0处无定义，不可导

4.函数y=e^x在x→-∞时趋近于0（）（2分）【答案】（×）【解析】e^x在x→-∞时趋近于0，但不是严格等于

05.函数fx=sinx+cosx的最小正周期是2π（）（2分）【答案】（√）【解析】sinx和cosx周期均为2π，最小正周期为2π

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x³-3x²+2x的极值点及极值【解析】fx=3x²-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3fx=6x-6，x=1+√1/3时fx0为极小值点，x=1-√1/3时fx0为极大值点极小值f1+√1/3=-2√1/3+2/3，极大值f1-√1/3=2√1/3+2/

32.求函数y=x-lnx在区间0,+∞上的单调区间【解析】y=1-1/x，令y=0得x=1当x∈0,1时y0单调递减，x∈1,+∞时y0单调递增

3.证明函数fx=x³在区间[0,+∞上单调递增【解析】fx=3x²≥0，fx在[0,+∞上恒大于等于0，故fx单调递增

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值的x的取值范围【解析】fx分段表示x-2时fx=-2x-1；-2≤x≤1时fx=3；x1时fx=2x+1函数在x=-2处取得最小值-3，x∈[-2,1]时取得最小值3综上fx的最小值为-3，取得最小值的x的取值范围是-∞,-2]

2.已知函数fx=x²-4x+3，求fx在区间[1,3]上的最大值和最小值【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2f1=0,f2=-1,f3=0区间端点函数值为0，最小值为-1，最大值为0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=ax³+bx²+cx+d在x=1处取得极大值5，在x=-1处取得极小值-1，且f0=1求函数fx的解析式【解析】由f0=1得d=1fx=3ax²+2bx+c，f1=0,f1=3a+2b+c=0；f-1=0,f-1=3a-2b+c=0联立方程组3a+2b+c=0,3a-2b+c=0解得b=0,c=-3af1=a+b+c+d=5即a-3a+1=5解得a=-2fx=-2x³-6x+

12.已知函数fx=2sinx+cos2x，求fx的周期、最大值和最小值【解析】fx=2sinx-2sin²x+1=2sinx1-sinx+1fx周期为sinx和cos2x的最小公倍数πfx=2cosx-4cos2xsinx=2cosx-4cosx1-2sin²x=8sin²xcosx-2cosx=2cosx4sin²x-1=2cosx2sinx-12sinx+1令fx=0得x=0,π,±π/3f0=1,fπ=-1,fπ/3=√3+1,f-π/3=√3-1最大值√3+1，最小值-1。