群论综合考试题及答案参考

群论综合考试题及答案参考

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个集合关于所定义的运算构成群？（）（2分）A.整数集Z关于除法运算B.非零实数集R关于乘法运算C.二维实数空间R²关于加法运算D.矩阵集合M₂R关于乘法运算【答案】B【解析】非零实数集R关于乘法构成群，满足封闭性、结合律、存在单位元

（1）、每个元素存在逆元（非零实数的倒数）

2.群G中，若元素a的阶为3，则a²的阶为（）（2分）A.1B.2C.3D.6【答案】B【解析】若a³=e（单位元），则a²³=a⁶=e，故a²的阶为

23.交换群称为（）（2分）A.阿贝尔群B.循环群C.置换群D.单群【答案】A【解析】运算满足a·b=b·a的群称为交换群，即阿贝尔群

4.阶为n的群G中，任意元素a的阶必是n的因子，这是由（）（2分）A.拉格朗日定理保证B.辛群定理保证C.凯莱定理保证D.诺特定理保证【答案】A【解析】根据拉格朗日定理，子群的阶整除群的阶，元素阶为对应子群的阶

5.循环群Z₅的生成元是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】Z₅={0,1,2,3,4}，生成元为1，1的幂生成所有元素

6.四元数群Q₈的子群数量为（）（2分）A.1B.5C.7D.15【答案】C【解析】Q₈={1,i,-1,-i,j,-j,k,-k}，子群有{1},{1,-1},{i,-i},{j,-j},{k,-k},{1,i,-1,-i},Q₈共7个

7.有限群G的阶为p²（p为素数），则G的同构于（）（2分）A.ZₚB.Zₚ²C.循环群D.交换群【答案】B【解析】根据有限群结构定理，Zₚ²是唯一满足条件的群

8.对称群S₃的元素个数为（）（2分）A.3B.6C.8D.12【答案】B【解析】S₃包含所有3个元素的排列，共6个元素

9.若群G中每个元素的阶均为2，则G是（）（2分）A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.循环群D.无单位元群【答案】A【解析】a²=e⇒ab=ba（取a=b），故G为阿贝尔群

10.中心群ZG是群G的（）（2分）A.所有元素的集合B.所有中心化元的集合C.所有生成元的集合D.所有子群的集合【答案】B【解析】ZG={g∈G|gx=xg,∀x∈G}

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是群的基本性质？（）A.封闭性B.结合律C.存在单位元D.存在逆元E.元素可交换【答案】A、B、C、D【解析】群定义包含封闭性、结合律、单位元、逆元，交换性为阿贝尔群的特例

2.循环群的特征包括（）A.可由唯一元素生成B.是阿贝尔群C.有限循环群同构于ZₙD.无限循环群同构于ZE.每个子群都是正规子群【答案】A、B、C、D【解析】循环群满足这些性质，无限循环群生成元可表为1或-

13.置换群Sₙ的子群包括（）A.对称群SₙB.交错群AₙC.点群D.循环群E.平凡子群【答案】A、B、C、D、E【解析】Sₙ包含自身、Aₙ、所有阶为n的循环子群、点群及平凡子群

4.正规子群N的判别条件包括（）A.N是G的子群B.N的共轭等于自身C.N包含单位元D.N对G的运算封闭E.N的商群G/N存在【答案】A、B、C【解析】正规子群需满足子群条件、共轭不变性及包含单位元，封闭性隐含

5.以下说法正确的有（）A.循环群的商群仍是循环群B.阿贝尔群的商群仍是阿贝尔群C.所有群的商群都存在D.有限群的子群商群仍为有限群E.正规子群商群仍为正规子群【答案】A、B、D、E【解析】C错误，因需满足正规子群条件

三、填空题（每题4分，共20分）

1.群G中，若aⁿ=e，则a的最小正整数阶为______【答案】n的最大公约数（4分）【解析】元素阶为生成循环群的阶，即n与|G|的最大公约数

2.四元数群Q₈的生成元有______个【答案】6（4分）【解析】Q₈={1,i,-1,-i,j,-j,k,-k}，生成元为i,j,k,-i,-j,-k

3.群G的同态像H满足______【答案】H是G的子群（4分）【解析】同态像包含同态映射的像集，构成G的子群

4.循环群Zₙ的子群数量为______【答案】φn（欧拉函数）（4分）【解析】子群阶必为n的因子，数量等于因子个数，即φn

5.有限单群的最小阶为______【答案】60（4分）【解析】最小单群为alternatinggroupA₅，阶为60

四、判断题（每题2分，共10分）

1.阿贝尔群的每个子群都是正规子群（）（2分）【答案】（√）【解析】阿贝尔群中ab=ba⇒gag⁻¹=b（g为子群元素），故正规

2.所有群的同态像都构成群（）（2分）【答案】（√）【解析】同态像满足封闭性、结合律、单位元像及逆元像，构成群

3.有限群中，每个元素阶的乘积等于群阶的阶乘（）（2分）【答案】（×）【解析】仅对交换群成立，一般有限群不满足

4.正规子群商群的阶等于群阶除以子群阶（）（2分）【答案】（√）【解析】根据群阶公式|G/N|=|G|/|N|

5.所有群都可表示为置换群（）（2分）【答案】（√）【解析】凯莱定理证明任何群同构于其对称群某个子群

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述拉格朗日定理及其推论【答案】拉格朗日定理有限群G的子群H阶必整除群阶|G|/|H|推论

（1）元素阶整除群阶

（2）有限群无阶数为群阶的子群

（3）素数阶群为循环群且无真子群【解析】该定理是群论基础，推论直接由定理导出

2.简述群同态的定义及性质【答案】定义映射f:G→H，满足fab=fafb对所有a,b∈G性质

（1）像H是G的子群

（2）kerf是G的正规子群

（3）G/kerf≌H【解析】同态是群间结构保持映射，kerf即核，决定商群结构

3.简述正规子群的定义及判别条件【答案】定义子群N，对g∈G有gNg⁻¹=N，即共轭不变判别条件

（1）N是G的子群

（2）gNg⁻¹⊆N对所有g∈G

（3）gNg⁻¹=N⇔N是正规【解析】正规子群是群论核心概念，与共轭运算密切相关

4.简述循环群的分类及特征【答案】分类

（1）无限循环群同构于Z，生成元±1

（2）有限循环群同构于Zₙ，生成元a≡1modn特征

（1）阿贝尔群

（2）所有子群均为循环群

（3）生成元唯一（有限时）【解析】循环群是最简单群类，完全分类且结构清晰

六、分析题（每题10分，共30分）

1.证明Zₙ的子群均为循环群【答案】证明设H⊆Zₙ，H非空，取最小正元d，则H={kd|k∈Z}，d|n由d生成子群为{0,±d,±2d,...,±n/d-1d}，即Zₙ中所有d倍数故H同构于Zₙ/d，为循环群【解析】利用循环群特征及最小正元性质，证明任意子群可由d生成

2.证明有限群中，若存在阶为p（素数）的元素，则该群是p阶循环群当且仅当群阶为p²时【答案】证明（必要性）若群阶为p²，则p²=p·p，存在p阶元素a⇒a²=e由拉格朗日定理，p阶元素生成子群，阶为p²，为循环群（充分性）若群阶为p²，存在p阶元素a，则a²^p-1=e⇒a^p²-1=e若存在阶大于p的元素，矛盾，故所有元素阶为p，群同构于Zₚ²【解析】结合拉格朗日定理与子群性质，证明充要条件

3.证明S₃中，任意元素的同态像构成D₃（二面体群）【答案】证明S₃={e,12,13,23,123,132}，D₃={e,r,r²,s,rs,rs²}定义f:S₃→D₃，fe=e,f12=s,f13=s,f23=s,f123=r,f132=r²验证同态f1213=f23=s=f12f13所有同态条件满足，f为同态映射，像为D₃【解析】构造具体映射，验证同态条件，证明S₃商群同构于D₃

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设G为阿贝尔群，证明G的任意子群H的商群G/H仍是阿贝尔群【答案】证明设g₁H,g₂H∈G/H，则g₁H·g₂H=g₁g₂H因G为阿贝尔群，g₁g₂=g₂g₁⇒g₁g₂H=g₂g₁H⇒g₂H·g₁H故G/H满足交换律，为阿贝尔群【解析】利用商群定义及阿贝尔群性质，直接证明交换律成立

2.设G为有限群，证明若对任意a∈G，有a²=e，则G为阿贝尔群【答案】证明对任意a,b∈G，有a²b²=e⇒a²b²=e⇒abab=e⇒ab=ba故G为阿贝尔群【解析】利用a²=e条件，推导出交换律，证明阿贝尔性标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.A

4.A

5.B

6.C

7.B

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、C、D

3.A、B、C、D、E

4.A、B、C、E

5.A、B、D、E

三、填空题

1.n与|G|的最大公约数

2.

63.H是G的子群

4.φn

5.60

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

4.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。