群论进阶考试题及答案展示

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个集合关于给定运算构成群？（）A.{1,-1}关于乘法B.{0}关于加法C.{a|a为实数且a≠0}关于除法D.{正整数}关于加法【答案】A【解析】选项A中{1,-1}关于乘法构成群，满足封闭性、结合律、单位元

（1）、逆元（-1是1的逆元，1是-1的逆元）

2.若G为群，a,b∈G，则ab^-1等于（）A.a^-1b^-1B.b^-1a^-1C.a^-1bD.ab^-1【答案】B【解析】根据群论中逆元的性质，ab^-1=b^-1a^-

13.交换群也称为（）A.阿贝尔群B.非阿贝尔群C.循环群D.有限群【答案】A【解析】交换群指的是满足ab=ba的群，也称为阿贝尔群

4.循环群的生成元是唯一的（）A.正确B.错误【答案】B【解析】循环群可能有多个生成元，例如整数加法群Z是由1和-1生成的

5.有限群的阶等于其元素个数（）A.正确B.错误【答案】A【解析】有限群的阶定义为群中元素的个数

6.若G为有限群，则G中每个元素的阶都是G的阶的因子（）A.正确B.错误【答案】A【解析】根据拉格朗日定理，有限群中每个元素的阶都是群阶的因子

7.两个群G和H同构意味着（）A.G和H有相同的元素B.G和H有相同的结构C.G和H的运算相同D.G和H的阶相同【答案】B【解析】群同构指的是保持运算结构的双射

8.若群G的阶为p（素数），则G是阿贝尔群（）A.正确B.错误【答案】A【解析】素数阶群必为循环群，因此必为阿贝尔群

9.群G的子群H的阶必须整除G的阶（）A.正确B.错误【答案】A【解析】根据拉格朗日定理，子群阶整除群阶

10.两个同阶的循环群必同构（）A.正确B.错误【答案】A【解析】同阶的循环群结构相同，因此必同构

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是群的基本性质？（）A.封闭性B.结合律C.单位元存在D.逆元存在E.交换律【答案】A、B、C、D【解析】群的定义包含封闭性、结合律、单位元和逆元，交换律不是必需的

2.有限群G中，若a的阶为m，则a^k的阶为（）A.mB.m/kC.k/mD.m（k,m）E.以上都不对【答案】D【解析】a^k的阶等于m/gcdm,k

3.以下哪些是阿贝尔群的例子？（）A.实数加法群RB.非零实数乘法群RC.整数加法群ZD.正整数乘法群E.矩阵加法群M_nF【答案】A、B、C、E【解析】R、R、Z和M_nF都是阿贝尔群，正整数乘法群不是群

4.循环群可以由一个元素生成，以下哪些是循环群的例子？（）A.{0}关于加法B.{1,-1}关于乘法C.{0,1}关于加法D.{1,-1,i,-i}关于乘法E.非零有理数乘法群Q【答案】A、B、C【解析】{0}、{1,-1}和{0,1}都是循环群的例子，Q不是循环群

5.群的同态映射具有以下性质（）A.保持单位元B.保持逆元C.保持结合律D.保持交换律E.保持阶【答案】A、B、C、E【解析】同态映射保持单位元、逆元、结合律和阶，但不一定保持交换律

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若群G的阶为6，则G中必有元素其阶为______【答案】3或6【解析】根据拉格朗日定理，元素阶必为群阶因子

2.交换律指的是ab=ba，群中满足交换律的群称为______群【答案】阿贝尔

3.循环群{a,a^2,...,a^n}的生成元是______【答案】a

4.若G为阿贝尔群，a,b∈G，则a+b^n=______【答案】a+b^n=∑nchooseka^kb^n-k

5.有限群G中，单位元的阶为______【答案】

16.若G为群，a∈G，则a^-1的阶等于______【答案】a的阶

7.两个群G和H同构意味着存在双射φ:G→H，使得对任意a,b∈G，有______【答案】φab=φaφb

8.若群G的阶为p^2（素数p的平方），则G是______群【答案】阿贝尔

四、判断题（每题2分，共20分）

1.每个群都有唯一的一个子群（）【答案】（×）【解析】每个群都有至少两个子群单位元构成的子群和群本身

2.若群G的阶为偶数，则G中必有元素其阶为2（）【答案】（×）【解析】如Z_4中，所有元素阶都为

23.循环群必定是阿贝尔群（）【答案】（√）【解析】循环群中任意两个元素的运算顺序相同

4.同构的群具有相同的阶（）【答案】（√）【解析】同构保持群的阶不变

5.两个有限群的直积构成的群也是有限群（）【答案】（√）【解析】有限群的直积的阶等于各群阶的乘积

6.群G的子群的阶可以大于G的阶（）【答案】（×）【解析】子群阶必小于或等于群阶

7.若群G的阶为p（素数），则G同构于整数模p加法群（）【答案】（√）【解析】素数阶群必为循环群，同构于Z_p

8.交换律是群定义的一部分（）【答案】（×）【解析】群定义中不需要交换律

9.若G为阿贝尔群，则G的每个子群也是阿贝尔群（）【答案】（√）【解析】阿贝尔群的子群仍是阿贝尔群

10.同构的群具有相同的结构（）【答案】（√）【解析】同构保持群的代数结构不变

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述拉格朗日定理的内容【答案】有限群G的子群H的阶必整除G的阶，且G中每个元素的阶必是G阶的因子

2.简述循环群的定义和性质【答案】循环群是由一个元素生成的群，性质包括必为阿贝尔群，有限循环群同构于整数模n加法群，无限循环群同构于整数加法群

3.简述群同态的定义和性质【答案】群同态是保持运算结构的映射，性质包括保持单位元、逆元、结合律和阶

4.简述阿贝尔群的定义和性质【答案】阿贝尔群是满足交换律的群，性质包括运算顺序无关，所有有限阿贝尔群都可以表示为循环群的直积

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设G为群，a,b∈G，证明a^-1b^-1^-1=ba【证明】a^-1b^-1^-1=b^-1a^-1^-1=ba，根据逆元定义和结合律

2.设G为阿贝尔群，证明G的子群H也是阿贝尔群【证明】设a,b∈H，则a,b∈G，由于G是阿贝尔群，ab=ba，故a,b∈H也满足交换律，因此H是阿贝尔群

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设G={a,b,c,d}是群，运算表如下||a|b|c|d||---|---|---|---|---||a|a|b|c|d||b|b|c|d|a||c|c|d|a|b||d|d|a|b|c|

（1）证明G是阿贝尔群；

（2）求G中各元素的阶；

（3）证明G是循环群【解答】

（1）G是阿贝尔群，因为运算表中ab=ba，bc=cb，cd=dc，da=ab，所有元素对都满足交换律

（2）a的阶为1，b的阶为4，c的阶为4，d的阶为4

（3）G是循环群，因为b可以生成整个群b^1=b，b^2=c，b^3=d，b^4=a

2.设G为阿贝尔群，H为G的子群，证明G/H也是阿贝尔群【解答】设xH,yH∈G/H，则x,y∈G，由于G是阿贝尔群，xy=yx，故xHyH=yHxH，因此G/H是阿贝尔群---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.B

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.D

3.A、B、C、E

4.A、B、C

5.A、B、C、E

三、填空题

1.3或

62.阿贝尔

3.a

4.a+b^n=∑nchooseka^kb^n-k

5.

16.a的阶

7.φab=φaφb

8.阿贝尔

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

6.（×）

7.（√）

8.（×）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.有限群G的子群H的阶必整除G的阶，且G中每个元素的阶必是G阶的因子

2.循环群是由一个元素生成的群，性质包括必为阿贝尔群，有限循环群同构于整数模n加法群，无限循环群同构于整数加法群

3.群同态是保持运算结构的映射，性质包括保持单位元、逆元、结合律和阶

4.阿贝尔群是满足交换律的群，性质包括运算顺序无关，所有有限阿贝尔群都可以表示为循环群的直积

六、分析题

1.a^-1b^-1^-1=ba

2.G是阿贝尔群，a,b∈H，ab=ba，故a,b∈H也满足交换律，因此H是阿贝尔群

七、综合应用题

1.G是阿贝尔群，因为运算表中ab=ba，bc=cb，cd=dc，da=ab，所有元素对都满足交换律a的阶为1，b的阶为4，c的阶为4，d的阶为4G是循环群，因为b可以生成整个群b^1=b，b^2=c，b^3=d，b^4=a

2.G/H也是阿贝尔群，设xH,yH∈G/H，则x,y∈G，xy=yx，故xHyH=yHxH。