考大学关键试题与答案分享

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.在函数y=2^x中，当x=3时，y的值是（）（2分）A.8B.6C.5D.10【答案】A【解析】将x=3代入函数解析式，得y=2^3=

82.若方程x^2-5x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（）（2分）A.-6B.6C.5D.0【答案】B【解析】根据判别式Δ=b^2-4ac，得25-4m=0，解得m=

63.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C的大小是（）（2分）A.75°B.105°C.45°D.60°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，故角C=180°-45°-60°=75°

4.关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）中，若a+b+c=0，则该方程（）（2分）A.有一个根为1B.有一个根为-1C.有两个相等的实数根D.无实数根【答案】A【解析】将x=1代入方程，得a+b+c=0，故x=1是方程的根

5.函数y=sinx+π/4的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C.x=π/4D.x=π/2【答案】D【解析】正弦函数图像关于π/2+kπ（k∈Z）对称

6.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{-1}D.{0}【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}，结合B得A∩B={1}

7.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=11，则a_10的值是（）（2分）A.19B.23C.27D.31【答案】C【解析】由a_4=a_1+3d得d=2，故a_10=5+9×2=

238.若复数z=3+4i的模为|z|，则|z|的值是（）（2分）A.5B.7C.9D.25【答案】A【解析】|z|=√3^2+4^2=

59.在空间几何体中，下列说法正确的是（）（2分）A.长方体的对角线长相等B.正方体的对角线长不相等C.圆锥的母线长等于底面半径D.球的表面积与半径的平方成正比【答案】D【解析】球的表面积S=4πr^2，与半径r^2成正比

10.在概率论中，若事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且A、B互斥，则PA∪B的值是（）（2分）A.

0.3B.

0.9C.

1.3D.1【答案】B【解析】互斥事件概率加法公式PA∪B=PA+PB=

0.6+

0.7=

1.3（超概率需修正为B选项）

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若sinα=sinβ，则α=βC.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在I上连续D.若|z|=|w|，则z=wE.若四边形ABCD的对角线互相平分，则它是平行四边形【答案】C、E【解析】A选项反例a=1b=-2但a^2=1b^2=4；B选项反例α=π/6，β=5π/6；D选项反例z=1，w=-

12.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=-2x+5B.y=3^xC.y=lgxD.y=1/xE.y=x^2【答案】A、D【解析】A为一次函数斜率为负，D为反比例函数在0,1递减

3.下列说法中，正确的是（）（4分）A.等差数列的前n项和公式为S_n=na_1+a_n/2B.等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1C.三角形的三条高线交于一点，该点称为垂心D.正四面体的四个面都是全等的正三角形E.球的体积公式为V=4/3πr^3【答案】A、B、C、D、E【解析】均为几何基础定义正确

4.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若a0，则√a0B.若A⊆B，则A∩B=AC.若函数fx在x=c处可导，则fx在x=c处连续D.若向量a与b平行，则|a|=|b|E.若直线l1∥l2，直线l2∥l3，则l1∥l3【答案】A、B、C、E【解析】D选项反例a=1,2,b=2,4平行但|a|=√5≠|b|=2√

55.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若事件A、B相互独立，则PAB=PAPBB.若随机变量X~Nμ,σ^2，则EX=μC.样本标准差是总体方差的无偏估计量D.若总体分布未知，可用样本频率分布估计总体分布E.大数定律表明，当n足够大时，样本均值几乎必然等于总体均值【答案】A、B、D、E【解析】C选项错误样本方差是总体方差的无偏估计量

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为-1,2，则a的取值范围是______，b的取值是______（4分）【答案】a0；b=2a（4分）【解析】开口向上则a0，顶点-1,2代入得2=a-b+c，又由对称轴x=-1得x=-b/2a=-1，解得b=2a

2.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，c=2√2，则a的值是______（4分）【答案】√6+√2（4分）【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，先求sinC=√2/2，再求b=2√2×√2/√2=2，最后a=2sin45°/sin30°=2√

23.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_6=64，则a_5的值是______（4分）【答案】32（4分）【解析】由a_6=a_3q^3得q=2，故a_5=a_3q^2=8×4=

324.若复数z=1+i，则z^4的值是______（4分）【答案】-4（4分）【解析】z^2=2i，z^4=2i^2=-

45.若函数fx=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是M，最小值是m，则M-m的值是______（4分）【答案】18（4分）【解析】f-1=0，f-1=-6，f0=1，f2=5，故M=5，m=-2，M-m=

76.在空间直角坐标系中，点P1,2,3到平面x+y+z=1的距离d的值是______（4分）【答案】√6/√3=√2（4分）【解析】d=|1+2+3-1|/√1^2+1^2+1^2=√3/√3=

17.若集合A={1,2,3,4}，B={x|x^2-5x+6=0}，则A∪B的元素个数是______（4分）【答案】4（4分）【解析】B={2,3}，A∪B={1,2,3,4}，共4个元素

8.若事件A的概率PA=

0.4，事件B的概率PB=

0.6，且A、B互斥，则P¬A∪¬B的值是______（4分）【答案】

0.8（4分）【解析】P¬A∪¬B=1-PAB=1-0=1-PA+1-PB=1-

0.4+1-

0.6=

0.8

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=-1b=-2但√a不存在

2.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】f0=0不一定成立，如fx=x^3+

13.若向量a=1,2与向量b=3,6共线，则3a=2b（）（2分）【答案】（×）【解析】3a=3,6，2b=6,12，不相等

4.若事件A、B相互独立，则A、B对立（）（2分）【答案】（×）【解析】对立要求PAB=0，独立要求PAB=PAPB≠

05.若fx在x=c处可导，则fx在x=c处连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续，是基本定理

6.若集合A⊆B，则A∩B=A（）（2分）【答案】（√）【解析】子集定义要求A中所有元素都在B中

7.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在I上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调不连续反例fx在0,1上取x=1/2时fx=1，x=1时fx=0，单调但x=1/2处不连续

8.若|z|=1，则z=1（）（2分）【答案】（×）【解析】z=-1也满足|z|=

19.若事件A、B互斥，则A、B对立（）（2分）【答案】（×）【解析】互斥要求PAB=0，对立要求PA+PB=1且PAB=

010.若随机变量X~N0,1，则P-1X1=

0.6826（）（2分）【答案】（√）【解析】标准正态分布性质P-1X1=2Φ1-1≈

0.6826

五、简答题（每题4分，共20分）

1.证明若a、b为正数，则a+b≥2√ab（4分）【答案】证明令fx=x+1/x（x0），fx=1-1/x^20，故fx在0,+∞单调递增，当x=√a时，f√a=√a+1/√a≥2，即a+1/a≥2，两边乘√ab得a+b≥2√ab

2.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，求该数列的通项公式（4分）【答案】由a_5=a_1+4d得4d=6，故d=3/2，故a_n=3+n-1×3/2=3/2n+3/

23.求函数fx=x^3-3x^2+4在区间[-2,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】f-2=-8，f-1=0，f-1=-6，f0=4，f3=0，故最大值4，最小值-

84.若复数z=2+3i，求z的模和辐角主值（4分）【答案】|z|=√2^2+3^2=√13，辐角θ满足tanθ=3/2，θ=π-arctan3/2∈π/2,π

5.证明若函数fx在区间I上连续，则fx在I上必有界（4分）【答案】反证法假设fx无界，则存在序列x_n→x_0，fx_n→+∞，由连续性fx_n→fx_0，矛盾，故必有界

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（10分）【答案】

①x-2时，fx=-2x-1；

②-2≤x≤1时，fx=3；

③x1时，fx=2x+1由导数法或分段函数性质知，当x=-2时fx取最小值

32.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求该数列的通项公式及前n项和公式（10分）【答案】由S_5=5a_1+10d=25，S_10=10a_1+45d=70，解得a_1=5，d=1，故a_n=5+n-1×1=4+n，S_n=5n+nn-1/2=n^2+4n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为30元，售价为50元若市场需求量x（件）与价格p（元）满足关系p=80-

0.02x，求该工厂的利润函数，并求当产量为多少件时利润最大？（25分）【答案】收益R=px=80-

0.02xx=80x-

0.02x^2，成本C=10×10^4+30x，利润L=R-C=80x-

0.02x^2-10×10^4+30x=-

0.02x^2+50x-10×10^4，L=-

0.04x+50=0得x=1250，L=-

0.040，故x=1250时利润最大

2.某市为缓解交通拥堵，计划修建一条从市中心（坐标原点）到郊区某处的道路道路为直线l，市中心某单位A位于坐标2,1，郊区某小区B位于坐标4,3若道路l恰经过A和B，求道路l的方程，并求点P1,2到道路l的距离（25分）【答案】道路l过A2,1，B4,3，斜率k=3-1/4-2=1，方程y=x-1点P1,2到l距离d=|1-2-1|/√1^2+1^2=√2/2。