考研综合试题及答案解析

考研综合最新试题及答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=3x+1D.fx=x^3【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等

2.设函数fx在[a,b]上连续，a,b内可导，且fa=fb，则存在c∈a,b，使得fc=0，根据的定理是（）（2分）A.罗尔定理B.拉格朗日中值定理C.柯西中值定理D.泰勒定理【答案】A【解析】罗尔定理的表述为若函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且满足fa=fb，则存在至少一个点c∈a,b，使得fc=

03.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n【答案】C【解析】根据p-级数判别法，p1时级数收敛，所以∑n=1to∞1/n^3收敛

4.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值是（）（2分）A.1,2B.2,3C.-1,4D.-2,5【答案】C【解析】特征值满足detA-λI=0，解得λ=-1,

45.设事件A与B互斥，PA=

0.3，PB=

0.5，则PAUB等于（）（2分）A.

0.3B.

0.5C.

0.8D.

0.2【答案】C【解析】互斥事件概率加和，PAUB=PA+PB=

0.3+

0.5=

0.

86.若函数fx在[a,b]上连续，则定积分∫atobfxdx的几何意义是（）（2分）A.曲线y=fx与x轴围成的面积B.曲线y=fx与y轴围成的面积C.曲线y=fx与x轴围成的体积D.曲线y=fx与y轴围成的体积【答案】A【解析】定积分表示曲线y=fx与x轴在[a,b]区间围成的面积

7.向量场F=x^2+y^2i+2xyj在点1,1处的旋度是（）（2分）A.0B.1C.2D.4【答案】B【解析】旋度计算为curlF=-∂Q/∂x+∂P/∂y|_1,1=-4+2|_1,1=

18.若随机变量X的期望EX=2，方差VarX=1/4，则E4X+3等于（）（2分）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】线性变换性质EaX+b=aEX+b，所以E4X+3=42+3=

119.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值是（）（2分）A.eB.e-1C.1/eD.1【答案】B【解析】平均值favg=1/b-a∫atobfxdx=1/1-0∫0to1e^xdx=e-

110.设三阶矩阵A可逆，且A的秩为2，则detA等于（）（2分）A.1B.0C.2D.3【答案】B【解析】矩阵可逆⇔detA≠0，但秩为2的三阶矩阵必不可逆，所以detA=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.fx=x^3B.fx=|x|^2C.fx=sinxD.fx=logx+1【答案】A、C【解析】fx=x^3在x=0处导数为0，fx=sinx在x=0处导数为1，fx=|x|^2在x=0处导数为0，fx=logx+1在x=0处导数为

12.以下关于矩阵的说法正确的有（）（4分）A.可逆矩阵的秩等于其阶数B.矩阵的秩等于其行向量组的秩C.初等变换不改变矩阵的秩D.若矩阵A可逆，则detA≠0【答案】A、B、C、D【解析】上述均为矩阵理论的基本性质

3.关于随机变量的下列说法正确的有（）（4分）A.随机变量必须是连续的B.离散型随机变量的期望一定存在C.若X和Y相互独立，则EXY=EXEYD.方差的计算公式为VarX=EX^2-EX^2【答案】B、C、D【解析】随机变量可以是离散的或连续的，B正确；独立随机变量乘积期望等于期望乘积，C正确；方差公式D正确

4.以下关于积分的说法正确的有（）（4分）A.定积分的值与积分变量无关B.若fx在[a,b]上连续，则∫atobfxdx存在C.∫atobfxdx表示曲线y=fx与x轴围成的面积D.换元积分法适用于所有可积函数【答案】A、B、C【解析】定积分值与变量符号无关，B正确；定积分几何意义为面积，C正确；D错误，换元法有条件限制

5.以下关于级数的说法正确的有（）（4分）A.若正项级数发散，则其通项不趋于0B.交错级数莱布尼茨判别法要求项的绝对值单调递减C.若级数绝对收敛，则其条件收敛D.若级数收敛，则其部分和数列有界【答案】A、B、D【解析】A正确，发散级数通项必不趋于0；B正确，莱布尼茨判别法要求|a_n|单调递减且趋于0；C错误，绝对收敛与条件收敛无必然联系；D正确，收敛级数部分和必有界

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设函数fx=√x^2+1，则f0等于______（4分）【答案】0【解析】fx=x/√x^2+1，f0=0/√0^2+1=

02.级数∑n=1to∞1/3^n的和等于______（4分）【答案】3/2【解析】等比级数求和公式S=a/1-r=1/3^1/1-1/3=3/

23.设向量u=1,2,3，v=1,-1,1，则向量u与v的夹角余弦值是______（4分）【答案】1/√15【解析】cosθ=u·v/|u||v|=11+2-1+31/√1^2+2^2+3^2√1^2+-1^2+1^2=1/√

154.设事件A的概率PA=

0.6，事件B的概率PB=

0.7，且PAB=

0.4，则PA|B等于______（4分）【答案】4/7【解析】PA|B=PAB/PB=

0.4/

0.7=4/7

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】根据连续函数性质，在闭区间上连续的函数必有界

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞a_n^2也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=-1^n/n，∑a_n收敛但∑a_n^2发散

3.若随机变量X和Y相互独立，且X~Nμ_X,σ_X^2，Y~Nμ_Y,σ_Y^2，则X+Y~Nμ_X+μ_Y,σ_X^2+σ_Y^2（）（2分）【答案】（√）【解析】独立正态分布之和仍为正态分布，参数为均值之和、方差之和

4.若函数fx在[a,b]上可积，则∫atobfxdx的值与[a,b]的分割方式无关（）（2分）【答案】（√）【解析】定积分的值由被积函数和积分区间决定，与分割方式无关

5.若矩阵A的秩为r，则存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=diag1,1,...,1,0,...,0（）（2分）【答案】（√）【解析】矩阵秩等于非零奇异子式最高阶数，可经初等变换化为标准形

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述罗尔定理的条件和结论（4分）【答案】条件函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb结论存在至少一个点c∈a,b，使得fc=

02.简述矩阵可逆的充要条件（4分）【答案】矩阵可逆的充要条件是

（1）矩阵为方阵

（2）矩阵的秩等于其阶数

（3）矩阵行列式不为0

（4）矩阵列向量组线性无关

（5）存在可逆矩阵B，使得AB=BA=I

3.简述独立随机变量X和Y的期望性质（4分）【答案】独立随机变量X和Y的期望性质EXY=EXEYEaX+bY=aEX+bEYEX+Y=EX+EY

4.简述定积分的几何意义（4分）【答案】定积分的几何意义∫atobfxdx表示曲线y=fx与x轴在[a,b]区间围成的有向面积若fx≥0，表示面积值为正；若fx≤0，表示面积值为负

5.简述交错级数莱布尼茨判别法的条件（4分）【答案】交错级数莱布尼茨判别法的条件

（1）级数形式为∑-1^n+1a_n或∑-1^na_n

（2）{a_n}单调递减，即a_n+1≤a_n对所有n成立

（3）a_n→0，即limn→∞a_n=0满足上述条件时，交错级数收敛

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的单调性和极值点（10分）【答案】

（1）求导fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1

（2）驻点x=-1，x=1

（3）单调性在-∞,-1上，fx0，函数单调递增在-1,1上，fx0，函数单调递减在1,+∞上，fx0，函数单调递增

（4）极值在x=-1处，由递增转为递减，取得极大值f-1=4在x=1处，由递减转为递增，取得极小值f1=

02.分析随机变量X的分布律为X-101P

0.

20.

50.3求EX，VarX和E3X^2+2（10分）【答案】

（1）EX=Σx_iPx_i=-

10.2+

00.5+

10.3=-

0.2+0+

0.3=

0.1

（2）EX^2=Σx_i^2Px_i=-1^

20.2+0^

20.5+1^

20.3=

0.2+0+

0.3=

0.5VarX=EX^2-EX^2=

0.5-

0.1^2=

0.5-

0.01=

0.49

（3）E3X^2+2=3EX^2+2=

30.5+2=

1.5+2=

3.5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，a,b内可导，且满足fa=fb，证明存在c∈a,b，使得fc=0（25分）【答案】证明

（1）根据罗尔定理的假设条件，fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb

（2）根据罗尔定理的结论，存在至少一个点c∈a,b，使得fc=0

（3）构造辅助函数gx=fx-fa，则gx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且ga=gb=0

（4）由罗尔定理，存在c∈a,b，使得gc=fc-0=fc=0

（5）证毕

2.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]），求A的特征值和特征向量，并用对角化方法计算A^10（25分）【答案】

（1）特征值detA-λI=det[[1-λ,2],[3,4-λ]]=1-λ4-λ-6=λ^2-5λ-2=0解得λ1≈

6.79，λ2≈-

1.79

（2）特征向量对λ1≈

6.79A-λ1Ix=0⇒[[1-λ1,2],[3,4-λ1]]x=0解得特征向量v1≈[1,-

1.79]对λ2≈-

1.79A-λ2Ix=0⇒[[1-λ2,2],[3,4-λ2]]x=0解得特征向量v2≈[1,

1.79]

（3）对角化P=[[1,1],[-

1.79,

1.79]]，P^-1A^10P=diagλ1^10,λ2^10A^10≈Pdiagλ1^10,λ2^10P^-1具体计算略标准答案（最后一页）

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.C

5.C

6.A

7.B

8.D

9.B

10.B

二、多选题

1.A、C

2.A、B、C、D

3.B、C、D

4.A、B、C

5.A、B、D

三、填空题

1.

02.3/

23.1/√

154.4/7

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

4.见答案

5.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。