考试数学真题及详细答案解析

考试数学真题及详细答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.f00B.f00C.f0=0D.f0可能为正可能为负【答案】C【解析】函数图像开口向上，则a0；顶点在x轴上，则判别式Δ=b^2-4ac=0，此时f0=c由于Δ=0，所以fx在x=-b/2a处取得极值，且极值为0，即f0=

02.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且A∪B=A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1}B.{1,0}C.{-1,0}D.{0}【答案】D【解析】集合A={1,2}，若A∪B=A，则B⊆A当a=0时，B=∅，满足条件；当a≠0时，B={1/a}，需1/a∈{1,2}，即a=1或a=1/2，但a=1/2时B={2}，不满足A∪B=A，故a=1综上，a的取值集合为{0}

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinC=c^2-b^2，则△ABC是（）（2分）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】由2asinC=c^2-b^2，结合正弦定理得2sinAsinC=sinCcosB-sinBcosC=sinC-B，即sinA=sinC-B由于A、B、C为三角形的内角，所以A=C-B或A+C-B=π若A+C-B=π，则B=0，矛盾故A=C-B，即B+C=π/2，所以△ABC是直角三角形

4.函数y=log_a|x|（a1）的图像关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C原点D.直线y=x【答案】B【解析】函数y=log_a|x|是偶函数，其图像关于y轴对称

5.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a、b∈R），则a+b的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】z=1+i，则z^2=2i代入方程得2i+a1+i+b=0，即a+b+a+2i=0由实部虚部均为0得a+b=0，a+2=0，解得a=-2，b=2，故a+b=

06.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_9=39，a_2+a_4+a_10=45，则该数列的前10项和为（）（2分）A.180B.190C.200D.210【答案】B【解析】设公差为d，则a_3=a_1+2d，a_9=a_1+8d，a_2=a_1+d，a_4=a_1+3d，a_10=a_1+9d由a_1+a_3+a_9=39得3a_1+10d=39

①，由a_2+a_4+a_10=45得3a_1+15d=45

②联立

①②解得d=2，代入

①得3a_1=9，a_1=3前10项和S_10=10a_1+45d=10×3+45×2=90+90=

1807.若圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心到直线3x-4y+k=0的距离为1，则k的值为（）（2分）A.5或-7B.3或-11C.1或-9D.2或-10【答案】A【解析】圆的标准方程为x-2^2+y+3^2=16，圆心为2,-3，半径r=4圆心到直线3x-4y+k=0的距离d=|6+12+k|/√3^2+4^2=|18+k|/5=1，解得k=-7或k=

58.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（2分）A.3B.8C.15D.21【答案】B【解析】循环执行过程i=1,s=0+1=1,i=3;i=3,s=1+3=4,i=5;i=5,s=4+5=9,i=7;循环结束，s=

99.在直角坐标系中，点Pa,b关于直线y=x对称的点的坐标为（）（2分）A.a,bB.b,aC.-a,-bD.-b,-a【答案】B【解析】点Pa,b关于直线y=x对称的点的坐标为b,a

10.若函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得极值，则a+b的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】fx=3x^2-2ax+b由题意f1=0且f-1=0，即3-2a+b=0且3+2a+b=0，解得a=0，b=-3故a+b=-3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若A∩B=∅，则A、B中至少有一个是空集C.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CD.若A∪B=A，则B⊆A【答案】A、C、D【解析】空集是任何集合的子集；传递性得若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A∪B=A，则B中的元素都属于A，即B⊆A若A∩B=∅，则A、B可能都是空集，也可能A是空集B不是空集，或B是空集A不是空集，故B错误

2.以下函数中，在定义域内单调递增的是（）（4分）A.y=-2x+1B.y=1/3^xC.y=√xD.y=log_2x【答案】C、D【解析】y=-2x+1是斜率为-2的直线，单调递减；y=1/3^x是指数函数，底数1/31，单调递减；y=√x在定义域0,+∞上单调递增；y=log_2x在定义域0,+∞上单调递增

3.以下命题中，正确的是（）（4分）A.钝角三角形的面积一定大于锐角三角形的面积B.等腰直角三角形的周长与面积之比是一个定值C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D.正n边形的一个内角与外角之和为180°【答案】C【解析】钝角三角形面积可能大于、等于或小于锐角三角形面积；等腰直角三角形周长与面积之比为2+√2/1/2×1×√2=2+√2/√2/4=22+√2/√2=2√2+4，不是定值；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；正n边形的一个内角与外角之和为180n-2/n+360/n=180n-2/n+360/n=

1804.以下函数中，在定义域内是奇函数的是（）（4分）A.y=x^3B.y=|x|C.y=1/xD.y=x^2+1【答案】A、C【解析】y=x^3是奇函数；y=|x|是偶函数；y=1/x是奇函数；y=x^2+1是偶函数

5.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，都有a_na_{n+1}B.若数列{a_n}有极限，则数列{a_n}一定收敛C.等差数列{a_n}中，若a_m=a_n，则m=nD.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值【答案】A、B、D【解析】单调递增数列的定义是a_n≤a_{n+1}，严格单调递增才是a_na_{n+1}；有极限的数列一定收敛；等差数列中a_m=a_n⇒a_1+m-1d=a_1+n-1d⇒m=n；根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

三、填空题（每题4分，共40分）

1.若函数fx=x^2-mx+2在x=2时取得最小值，则m的值为______（4分）【答案】4【解析】fx=x-m/2^2+2-m^2/4，对称轴x=m/2由题意m/2=2，m=

42.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，且A∪B=A，则实数a的取值集合为______（4分）【答案】{0}【解析】见单选题第2题解析

3.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinC=c^2-b^2，则△ABC是______三角形（4分）【答案】直角【解析】见单选题第3题解析

4.函数y=log_a|x|（a1）的图像关于______对称（4分）【答案】y轴【解析】见单选题第4题解析

5.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a、b∈R），则a+b的值为______（4分）【答案】0【解析】见单选题第5题解析

6.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_9=39，a_2+a_4+a_10=45，则该数列的前10项和为______（4分）【答案】180【解析】见单选题第6题解析

7.若圆x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心到直线3x-4y+k=0的距离为1，则k的值为______（4分）【答案】5或-7【解析】见单选题第7题解析

8.执行以下程序段后，变量s的值为______（4分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（4分）【答案】9【解析】见单选题第8题解析

9.在直角坐标系中，点Pa,b关于直线y=x对称的点的坐标为______（4分）【答案】b,a【解析】见单选题第9题解析

10.若函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得极值，则a+b的值为______（4分）【答案】0【解析】见单选题第10题解析

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.空集是任何集合的子集（）（2分）【答案】（√）【解析】空集是任何集合的子集

3.若A⊆B，则B∪A=B（）（2分）【答案】（√）【解析】若A⊆B，则B∪A中的元素都在B中，故B∪A=B

4.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上必有最大值（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数在区间I上必有最小值，但未必有最大值

5.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，都有a_na_{n+1}（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增数列的定义是a_n≤a_{n+1}，严格单调递增才是a_na_{n+1}

6.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最大值和最小值

7.若数列{a_n}有极限，则数列{a_n}一定收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】数列有极限等价于数列收敛

8.等差数列{a_n}中，若a_m=a_n，则m=n（）（2分）【答案】（×）【解析】等差数列中a_m=a_n⇒a_1+m-1d=a_1+n-1d⇒m=n

9.正n边形的一个内角与外角之和为180°（）（2分）【答案】（×）【解析】正n边形的一个内角与外角之和为180n-2/n+360/n=

18010.钝角三角形的面积一定大于锐角三角形的面积（）（2分）【答案】（×）【解析】钝角三角形面积可能大于、等于或小于锐角三角形面积

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述函数单调性的定义（4分）【答案】函数单调性定义

（1）单调递增设函数fx的定义域为I，若对任意x_1,x_2∈I，当x_1x_2时，都有fx_1≤fx_2，则称fx在I上单调递增

（2）单调递减设函数fx的定义域为I，若对任意x_1,x_2∈I，当x_1x_2时，都有fx_1≥fx_2，则称fx在I上单调递减

2.简述等差数列的性质（4分）【答案】等差数列性质

（1）通项公式a_n=a_1+n-1d，其中a_1为首项，d为公差

（2）前n项和公式S_n=na_1+a_n/2=na_1+nn-1d/2

（3）若m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q

（4）若{a_n}是等差数列，则{ka_n+b}（k≠0）也是等差数列

（5）等差数列的子数列仍然是等差数列

3.简述圆的标准方程及其特点（4分）【答案】圆的标准方程

（1）标准方程x-x_0^2+y-y_0^2=r^2，其中x_0,y_0为圆心坐标，r为半径

（2）特点标准方程直观地表达了圆心位置和半径大小，便于求圆心、半径以及与直线、其他圆的位置关系

4.简述复数的基本概念（4分）【答案】复数基本概念

（1）定义形如a+bi的数称为复数，其中a、b为实数，i为虚数单位，i^2=-1a称为实部，b称为虚部

（2）几何表示复数可以在复平面上用点或向量表示，横轴为实轴，纵轴为虚轴

（3）运算规则复数加减法遵循向量加减法规则，乘法遵循a+bic+di=ac-bd+ad+bci

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值（10分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-6x

（2）求导数为0的点3x^2-6x=0⇒xx-2=0⇒x=0或x=2

（3）求端点值f-2=-2^3-3-2^2+2=-8-12+2=-18；f2=2^3-3×2^2+2=8-12+2=-2

（4）比较值f0=0^3-3×0^2+2=2；f-2=-18；f2=-2

（5）结论最大值为2，最小值为-

182.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n（10分）【答案】

（1）当n=1时，a_1=S_1=1^2+1=2

（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[n-1^2+n-1]=n^2+n-n^2-2n+1+n-1=2n

（3）验证n=1时是否成立2×1=2，成立

（4）结论a_n=2n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得极值，求a、b的值，并判断该函数的单调性（25分）【答案】

（1）求导数fx=3x^2-2ax+b

（2）由题意f1=0且f-1=0，得3-2a+b=0

①3+2a+b=0

②

（3）联立

①②解得a=0，b=-3

（4）代入导数得fx=3x^2-3

（5）求导数为0的点3x^2-3=0⇒x^2=1⇒x=±1

（6）求二阶导数fx=6x

（7）判断极值f1=60，x=1为极小值点；f-1=-60，x=-1为极大值点

（8）单调性分析当x-1时，fx0，fx单调递减；当-1x1时，fx0，fx单调递增；当x1时，fx0，fx单调递减

（9）结论函数在-∞,-1上单调递减，在-1,1上单调递增，在1,+∞上单调递减

2.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，直线l的方程为3x-4y+k=0（25分）

（1）求圆C的圆心和半径；

（2）若直线l与圆C相切，求k的值；

（3）若点Pa,b在直线l上，且到圆C的距离为1，求点P的轨迹方程（25分）【答案】

（1）圆的标准方程x^2-4x+y^2+6y=3x-2^2-4+y+3^2-9=3x-2^2+y+3^2=16圆心为2,-3，半径r=4

（2）直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径d=|3×2-4×-3+k|/√3^2+-4^2=|6+12+k|/5=4|18+k|=2018+k=20或18+k=-20k=2或k=-38

（3）点Pa,b到圆C的距离为1|3a-4b+k|/5=13a-4b+k=5或3a-4b+k=-5由于k=2或k=-38，代入得当k=2时，3a-4b=3或3a-4b=-9当k=-38时，3a-4b=-33或3a-4b=-43轨迹方程为3x-4y=3或3x-4y=-9或3x-4y=-33或3x-4y=-43

八、标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.B

4.B

5.C

6.A

7.A

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、C、D

2.C、D

3.C

4.A、C

5.A、B、D

三、填空题

1.

42.{0}

3.直角

4.y轴

5.

06.

1807.5或-

78.

99.b,a

10.0

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

6.（√）

7.（√）

8.（×）

9.（×）

10.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

4.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。