自主招生保送试题与详细答案

自主招生保送经典试题与详细答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B等于（）（1分）A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6}D.{1,2,3,4}【答案】B【解析】A与B的交集为两个集合共有的元素，即{3,4}

2.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（1分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|表示x与1的距离，在x=1时取得最小值

03.若复数z满足z²=1，则z的值是（）（1分）A.1B.-1C.1或-1D.无解【答案】C【解析】解方程z²=1，得到z=1或z=-

14.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则公差d等于（）（1分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】根据等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，代入a_5=10，得到10=2+4d，解得d=

25.三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形是（）（1分）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】B【解析】满足勾股定理a²+b²=c²，故为直角三角形

6.若函数fx是奇函数，且f1=3，则f-1等于（）（1分）A.1B.-3C.3D.无法确定【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，故f-1=-f1=-

37.直线y=2x+1与直线y=-x+3的交点坐标是（）（1分）A.1,2B.2,1C.-1,-3D.-2,-1【答案】A【解析】联立方程组2x+1=-x+33x=2x=1代入y=2x+1，得y=3，故交点为1,

38.扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.2π/3【答案】D【解析】扇形面积公式S=θ/360°πr²，代入θ=60°，r=2，得S=1/6π×4=2π/

39.在直角坐标系中，点Pa,b关于原点对称的点是（）（1分）A.a,-bB.-a,bC.-a,-bD.b,a【答案】C【解析】点关于原点对称，横纵坐标均取相反数

10.若x0，则下列不等式成立的是（）（1分）A.x²1B.x²1C.x²=1D.x²≤1【答案】A【解析】x0时，x²恒大于0，故x²

111.已知向量a=1,2，b=3,4，则a·b等于（）（1分）A.5B.7C.11D.14【答案】C【解析】向量点积公式a·b=a₁b₁+a₂b₂=1×3+2×4=

1112.一个圆柱的底面半径为r，高为h，则其侧面积是（）（1分）A.2πr²B.2πrhC.πr²hD.πrr+h【答案】B【解析】圆柱侧面积公式为2πrh

13.若fx是定义在R上的偶函数，且在x0时fx=x²，则当x0时fx等于（）（1分）A.x²B.-x²C.xD.-x【答案】A【解析】偶函数满足fx=f-x，故x0时fx=-x²=x²

14.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C等于（）（1分）A.75°B.105°C.135°D.150°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，故角C=180°-45°-60°=75°

15.若等比数列{a_n}的公比为qq≠0，则a_4/a_1等于（）（1分）A.qB.q²C.q³D.q⁴【答案】B【解析】等比数列通项公式a_n=a₁q^n-1，故a_4/a_1=q³

16.函数y=sinx+π/2的图像与函数y=sinx的图像（）（1分）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.完全重合【答案】D【解析】sinx+π/2=cosx=sinx，故图像完全重合

17.若fx=ax²+bx+ca≠0，且f1=0，f-1=0，f0=1，则a+b+c等于（）（1分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】代入f0=1，得c=1；代入f1=0，得a+b+1=0，即a+b=-1；代入f-1=0，得a-b+1=0，即a-b=-1两式相加得2a=0，故a=0，代入a+b=-1得b=-1，所以a+b+c=-1+1=

018.在圆锥中，若母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积是（）（1分）A.πr²B.πrlC.πrl-rD.πl²-r²【答案】B【解析】圆锥侧面积公式为πrl

19.若集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-ax+1=0}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是（）（1分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.R【答案】D【解析】A={1,2}，若A∪B=A，则B⊆A，故a=1或a=2或B为空集

20.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k²+b²等于（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】直线与圆相切的条件为圆心到直线的距离等于半径，即|b|/√k²+1=1，平方后得k²+b²=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域上为偶函数的有（）（4分）A.y=x²B.y=cosxC.y=exD.y=lnxE.y=|x|【答案】A、B、E【解析】偶函数满足f-x=fx，故y=x²、y=cosx、y=|x|为偶函数

2.若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+2n，则下列说法正确的有（）（4分）A.{a_n}是等差数列B.{a_n}是等比数列C.a_5=11D.a_6=13E.a_n=a₁+n-1×n【答案】C、D、E【解析】a_n+1-a_n=2n，故{a_n}不是等差数列；公比不为常数，故不是等比数列；累加可得a_n=1+nn-1，故a_5=11，a_6=13，a_n=a₁+n-1×n

3.关于函数fx=x³-3x，下列说法正确的有（）（4分）A.fx是奇函数B.fx有且仅有两个零点C.fx在-∞,0上单调递增D.fx在0,∞上单调递减E.fx=3x²-3【答案】A、B、E【解析】f-x=-fx，故为奇函数；解x³-3x=0得x=0,±√3，故有两个零点；fx=3x²-3，fx=0得x=±1，故在-∞,-1和1,∞单调递增，在-1,1单调递减

4.若A、B为集合，下列说法正确的有（）（4分）A.A∪B=B∪AB.A∩B=B∩AC.A∪B∩C=A∪B∩A∪CD.A∩B∪C=A∩B∪A∩CE.A-B=A∩B【答案】A、B、C、D【解析】集合运算满足交换律和结合律；A-B包含在A中，但不等于A∩B

5.关于复数z=a+bia,b∈R，下列说法正确的有（）（4分）A.|z|=√a²+b²B.z²为实数的充要条件是b=0C.z的共轭复数为a-biD.z+z的共轭复数为2aE.z·z的共轭复数为a²+b²【答案】A、C、D【解析】|z|=√a²+b²；z²为实数当且仅当b=0；z的共轭为a-bi；z+z的共轭=2a；z·z=|z|²=a²+b²，其共轭仍为a²+b²

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数y=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0，故x≥

12.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则公比q等于______（4分）【答案】3【解析】a_4=a_2q²，54=6q²，q²=9，故q=

33.过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程是______（4分）【答案】y-2=3x-1【解析】斜率为3，代入点斜式方程得y-2=3x-

14.若fx=x³-2x+1，则f1等于______（4分）【答案】0【解析】fx=3x²-2，f1=3-2=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x²=9，则x=3（）（2分）【答案】（×）【解析】x²=9的解为x=±

32.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，为有理数

3.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f-x=fx，图像关于y轴对称

4.等差数列的任意两项之差为常数（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列定义a_n+1-a_n=d（常数）

5.若A⊆B，则A∩B=A（）（2分）【答案】（√）【解析】A包含于B，故A与B的交集为A

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（4分）【答案】最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]【解析】分段函数fx当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.已知函数fx=ax²+bx+ca≠0，且f1=0，f-1=0，f0=1，求fx的解析式（4分）【答案】fx=-x²+x+1【解析】由f1=0得a+b+c=0；由f-1=0得a-b+c=0；由f0=1得c=1解得a=-1，b=1，故fx=-x²+x+

13.证明在△ABC中，若角A=角B，则角C=角A（4分）【解析】△ABC内角和为180°，即角A+角B+角C=180°若角A=角B，则2角A+角C=180°，故角C=180°-2角A=180°-2角B=角A得证

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+2n，求a_n与S_n的关系（10分）【答案】a_n=nn-1，S_n=nn+1/2【解析】a_n+1-a_n=2n，故a_n=a₁+a_2-a_1+a_3-a_2+...+a_n-a_n-1=1+2+4+...+2n-1=1+21+2+...+n-1=1+2×n-1n/2=nn-1S_n=a₁+a₂+...+a_n=1+2+6+...+nn-1=1+1×2+2×3+...+nn-1=nn+1/

22.已知函数fx=x³-3x+1，讨论fx的单调性（10分）【答案】fx在-∞,-1和1,∞单调递增，在-1,1单调递减【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1当x-1时，fx0，单调递增；当-1x1时，fx0，单调递减；当x1时，fx0，单调递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某物体做直线运动，其位移st满足st=t³-6t²+9t+5（单位米），求物体在0≤t≤3秒内的最大位移和最小位移（25分）【答案】最大位移为10米，最小位移为5米【解析】st=t³-6t²+9t+5，st=3t²-12t+9=3t-1²令st=0得t=1s0=5，s1=7，s3=11故最大位移为11米，最小位移为5米

2.某几何体的三视图如下主视图为边长为2的正方形，左视图为边长为2的正三角形，俯视图为边长为√3的正三角形，求该几何体的体积（25分）【答案】体积为4√3/3立方米【解析】该几何体为圆锥，底面边长为2，高为2√3体积V=1/3πr²h=1/3π√3²2√3=4√3/3立方米---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.C

4.B

5.B

6.B

7.A

8.D

9.C

10.A

11.C

12.B

13.A

14.A

15.B

16.D

17.B

18.B

19.D

20.A

二、多选题

1.A、B、E

2.C、D、E

3.A、B、E

4.A、B、C、D

5.A、C、D

三、填空题

1.[1,+∞

2.

33.y-2=3x-

14.0

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.fx=-x²+x+

13.证明在△ABC中，若角A=角B，则角C=角A

六、分析题

1.a_n=nn-1，S_n=nn+1/

22.fx在-∞,-1和1,∞单调递增，在-1,1单调递减

七、综合应用题

1.最大位移为11米，最小位移为5米

2.体积为4√3/3立方米。