自相关考题及对应答案

自相关考题及对应答案

一、单选题

1.若时间序列{Xt}的自相关函数ρk满足ρ0=1,ρ1=

0.5,ρ2=

0.2,ρ3=

0.1,ρ4=0，则该序列的偏自相关函数αk最可能为（）（2分）A.α0=1,α1=

0.5,α2=

0.2,α3=

0.1,α4=0B.α0=1,α1=

0.5,α2=

0.2,α3=

0.1,α4=-

0.1C.α0=1,α1=

0.5,α2=

0.3,α3=

0.1,α4=0D.α0=1,α1=

0.5,α2=

0.2,α3=0,α4=0【答案】D【解析】根据自回归模型理论，当ρk=0时，对应的偏自相关函数αk也趋于0，故α4=

02.对于一个平稳时间序列{Xt}，其自协方差γk主要反映了（）（1分）A.序列的长期趋势B.序列的周期性波动C.序列在不同时间点之间的线性关系D.序列的随机性【答案】C【解析】自协方差γk衡量序列在滞后k时间上的线性相关程度

3.在计算自相关函数时，通常采用的方法是（）（2分）A.最小二乘法B.极大似然估计法C.矩估计法D.递归法【答案】C【解析】自相关函数通常通过矩估计法计算，即利用样本矩来估计总体矩

4.自相关函数ρk的绝对值最大值一定为（）（1分）A.1B.0C.小于1D.大于1【答案】A【解析】ρ0=1，代表序列与其自身完全相关

5.自回归模型ARp的自相关函数ρk通常具有（）（2分）A.截尾性B.拖尾性C.周期性D.对称性【答案】B【解析】ARp模型的自相关函数ρk随着k增大逐渐衰减，呈现拖尾特性

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些性质是自相关函数ρk的特征？（）A.ρ0=1B.ρk=ρ-kC.ρk的绝对值不大于1D.ρk的值随k增大可能为正也可能为负E.ρk与偏自相关函数αk相同【答案】A、B、C、D【解析】自相关函数ρk满足ρ0=1，ρk=ρ-k（偶函数），|ρk|≤1，且值可能正负交替；ρk与αk不同

2.自相关函数的估计方法包括？（）A.矩估计法B.最大似然估计法C.最小二乘法D.自助法E.交叉验证法【答案】A、B、C【解析】自相关函数主要采用矩估计、最大似然估计和最小二乘法估计

3.自相关函数可用于分析哪些时间序列特性？（）A.序列的平稳性B.序列的随机性C.序列的线性依赖性D.序列的周期性E.序列的异方差性【答案】A、C、D【解析】自相关函数主要用于分析序列的平稳性、线性依赖性和周期性

4.自回归模型ARp的偏自相关函数αk具有（）（）A.截尾性B.拖尾性C.在滞后p处截尾D.在滞后p前持续为非零E.与自相关函数相同【答案】C、D【解析】ARp模型的偏自相关函数αk在滞后p处截尾，且在滞后p前持续为非零

5.自相关函数ρk的偏导数可用于（）（）A.计算偏自相关函数B.检验序列的平稳性C.估计模型参数D.判断序列的随机性E.计算序列的均值【答案】A、C【解析】ρk的偏导数可用于推导偏自相关函数和估计模型参数

三、填空题

1.自相关函数ρk的估计公式为______，其中γk为自协方差（4分）【答案】ρk=γk/γ

02.对于一个AR1模型Yt=φYt-1+εt，其自相关函数ρk满足______（2分）【答案】ρk=φ^k

3.自相关函数的拖尾性表明时间序列存在______（2分）【答案】长期记忆性

4.偏自相关函数αk在滞后k处为0意味着______（2分）【答案】序列在滞后k上的线性影响仅由前k-1期的信息决定

5.自相关函数的样本估计通常采用______方法计算（2分）【答案】矩估计法

四、判断题

1.自相关函数ρk的值一定在-1和1之间（）（2分）【答案】（×）【解析】虽然|ρk|≤1，但理论上ρk可取-1到1之间的任何值

2.平稳时间序列的自相关函数必然具有拖尾性（）（2分）【答案】（√）【解析】平稳序列的自相关函数ρk随k增大逐渐衰减至0，即拖尾性

3.自相关函数与偏自相关函数完全相同（）（2分）【答案】（×）【解析】自相关函数衡量序列的总体相关性，偏自相关函数衡量在控制了中间滞后项后的相关性

4.自相关函数可用于检验时间序列的平稳性（）（2分）【答案】（√）【解析】通过观察自相关函数是否拖尾可初步判断序列是否平稳

5.自相关函数ρk的估计值不受样本大小影响（）（2分）【答案】（×）【解析】样本量越大，自相关函数的估计值越稳定

五、简答题

1.简述自相关函数ρk的定义及其统计意义（5分）【答案】自相关函数ρk定义为时间序列在滞后k期的自协方差γk与原点自协方差γ0之比，即ρk=γk/γ0其统计意义在于衡量序列在滞后k期上的线性相关程度，ρk=1表示完全线性相关，ρk=0表示线性不相关，|ρk|越大表示线性依赖越强

2.比较自相关函数ρk与偏自相关函数αk的区别（5分）【答案】自相关函数ρk衡量序列在滞后k期上的总体线性相关程度，而偏自相关函数αk衡量在控制了中间滞后项后的线性相关性ρk具有拖尾性，αk在滞后p处截尾（对于ARp模型）ρk适用于所有时间序列，αk主要用于自回归模型分析

3.自相关函数可用于哪些时间序列分析？（5分）【答案】自相关函数可用于

①检验序列平稳性（拖尾性表明平稳）；

②分析序列线性依赖关系；

③识别序列的自回归阶数（偏自相关截尾处）；

④检测序列的周期性（存在显著ρk表明周期性）；

⑤估计模型参数（通过ρk推导αk或直接估计）

六、分析题

1.某时间序列{Xt}的样本自相关函数如下表所示|滞后k|0|1|2|3|4|5||------|------|------|------|------|------|------||ρk|

1.00|

0.6|

0.3|

0.1|

0.05|

0.01|分析该序列的平稳性、自回归阶数及可能的模型形式（10分）【答案】

（1）平稳性分析ρk随k增大逐渐衰减至0，呈现拖尾特性，表明序列可能是平稳的

（2）自回归阶数偏自相关函数αk在滞后4处开始显著为0（假设临界值较小），表明序列可能是AR3模型

（3）可能的模型形式该序列可能服从AR3模型Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+φ3Yt-3+εt，其中εt为白噪声模型参数可通过ρk计算-ρ1=φ1+φ2+φ3-ρ2=φ1+φ2^2+φ3^2-ρ3=φ1^3+3φ1^2φ2+3φ1φ2^2+φ3^3

七、综合应用题

1.某股票价格序列{Pt}的样本数据如下（单位元），试计算其自相关函数ρ1和ρ2，并分析序列的依赖特性（25分）|时间t|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------||Pt|100|102|98|105|99|103|101|104|100|106|【答案】

（1）计算均值μ=ΣPt/n=1002/10=

100.2

（2）计算自协方差γ0=ΣPt-μ^2/n=ΣPt-

100.2^2/10=

24.04γ1=[100-

100.2102-

100.2+98-

100.2105-

100.2]/10=-

0.96γ2=[100-

100.298-

100.2+102-

100.2105-

100.2]/10=

1.36

（3）计算自相关函数ρ0=γ0/γ0=1ρ1=γ1/γ0=-

0.96/

24.04≈-

0.04ρ2=γ2/γ0=

1.36/

24.04≈

0.057

（4）分析ρ1≈-

0.04表明序列在滞后1期存在微弱的负相关，但相关性较弱ρ2≈

0.057表明序列在滞后2期存在微弱的正相关，但同样较弱序列的自相关函数呈现轻微拖尾，但整体相关性不高，可能属于弱平稳序列或存在其他依赖形式（如非线性依赖）---标准答案

一、单选题

1.D

2.C

3.C

4.A

5.B

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、B、C

3.A、C、D

4.C、D

5.A、C

三、填空题

1.ρk=γk/γ

02.ρk=φ^k

3.长期记忆性

4.序列在滞后k上的线性影响仅由前k-1期的信息决定

5.矩估计法

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.自相关函数ρk定义为时间序列在滞后k期的自协方差γk与原点自协方差γ0之比，即ρk=γk/γ0其统计意义在于衡量序列在滞后k期上的线性相关程度，ρk=1表示完全线性相关，ρk=0表示线性不相关，|ρk|越大表示线性依赖越强

2.自相关函数ρk衡量序列在滞后k期上的总体线性相关程度，而偏自相关函数αk衡量在控制了中间滞后项后的线性相关性ρk具有拖尾性，αk在滞后p处截尾（对于ARp模型）ρk适用于所有时间序列，αk主要用于自回归模型分析

3.自相关函数可用于

①检验序列平稳性（拖尾性表明平稳）；

②分析序列线性依赖关系；

③识别序列的自回归阶数（偏自相关截尾处）；

④检测序列的周期性（存在显著ρk表明周期性）；

⑤估计模型参数（通过ρk推导αk或直接估计）

六、分析题

1.平稳性分析ρk随k增大逐渐衰减至0，呈现拖尾特性，表明序列可能是平稳的自回归阶数偏自相关函数αk在滞后4处开始显著为0（假设临界值较小），表明序列可能是AR3模型可能的模型形式该序列可能服从AR3模型Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+φ3Yt-3+εt，其中εt为白噪声模型参数可通过ρk计算-ρ1=φ1+φ2+φ3-ρ2=φ1+φ2^2+φ3^2-ρ3=φ1^3+3φ1^2φ2+3φ1φ2^2+φ3^3

七、综合应用题

（1）计算均值μ=ΣPt/n=1002/10=

100.2

（2）计算自协方差γ0=ΣPt-μ^2/n=ΣPt-

100.2^2/10=

24.04γ1=[100-

100.2102-

100.2+98-

100.2105-

100.2]/10=-

0.96γ2=[100-

100.298-

100.2+102-

100.2105-

100.2]/10=

1.36

（3）计算自相关函数ρ0=γ0/γ0=1ρ1=γ1/γ0=-

0.96/

24.04≈-

0.04ρ2=γ2/γ0=

1.36/

24.04≈

0.057

（4）分析ρ1≈-

0.04表明序列在滞后1期存在微弱的负相关，但相关性较弱ρ2≈

0.057表明序列在滞后2期存在微弱的正相关，但同样较弱序列的自相关函数呈现轻微拖尾，但整体相关性不高，可能属于弱平稳序列或存在其他依赖形式（如非线性依赖）。