解读高考数列试题和参考答案

解读高考数列试题和参考答案

一、单选题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则a_5的值为（）（2分）A.7B.15C.31D.63【答案】C【解析】数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+1，变形得a_n+1+1=2a_n+1，即数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，则a_n+1=2^n，所以a_5=2^5-1=

312.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=24，则a_6的值为（）（2分）A.6B.8C.10D.12【答案】D【解析】由等差数列性质，a_3+a_9=2a_6=24，所以a_6=

123.若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=n^2+n，则a_4的值为（）（2分）A.7B.9C.11D.13【答案】B【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+n-1]=2n，所以a_4=24=

84.已知数列{a_n}中，a_1=1，a_{n+1}=a_n+lnn+1，则a_5的值约为（）（2分）A.5B.8C.10D.12【答案】C【解析】a_2=a_1+ln2，a_3=a_2+ln3=a_1+ln2+ln3，…，a_5=a_1+ln2+ln3+ln4+ln5≈1+

0.693+

1.099+

1.386+

1.609=

5.788，所以选C

5.在等比数列{a_n}中，若a_2=4，a_5=64，则a_4的值为（）（2分）A.16B.32C.48D.64【答案】B【解析】由等比数列性质，a_5=a_2q^3，得q=2，所以a_4=a_2q^2=44=

166.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n/n+1，则该数列的前5项和为（）（2分）A.5B.10C.15D.20【答案】A【解析】由a_n=S_n/n+1，得S_n=a_nn+1，所以S_n-S_{n-1}=a_nn+1-a_{n-1}n=a_n，解得a_n=n，所以前5项和为1+2+3+4+5=

157.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，则a_5的值为（）（2分）A.16B.25C.36D.49【答案】B【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}，得S_n^2=S_na_{n-1}，即S_n/S_{n-1}^2=S_n/S_{n-1}，所以S_n/S_{n-1}=1或-1，又S_n=S_{n-1}+a_n，得a_n=0或2a_n=-a_{n-1}，又a_1=1，所以a_n=1，所以a_5=

18.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n^2-S_{n-1}^2（n≥2），且a_1=1，则a_5的值为（）（2分）A.15B.31C.63D.127【答案】D【解析】由a_n=S_n^2-S_{n-1}^2，得a_n=S_n-S_{n-1}S_n+S_{n-1}=a_nS_n+S_{n-1}，所以S_n+S_{n-1}=1，又S_n=S_{n-1}+a_n，得2a_n=1，即a_n=1/2，所以a_5=1/

29.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2），且a_1=1，则a_5的值为（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}+1，得a_n=a_{n-1}+1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a_5=1+4=

510.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，则a_5的值为（）（2分）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}，所以数列{a_n}是首项为1的等比数列，所以a_5=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于数列的说法中，正确的有（）A.等差数列的通项公式可以表示为a_n=a_1+n-1dB.等比数列的通项公式可以表示为a_n=a_1q^{n-1}C.等差数列的前n项和公式可以表示为S_n=na_1+a_n/2D.等比数列的前n项和公式可以表示为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）E.等差数列和等比数列的通项公式都可以表示为fn【答案】A、B、C、D【解析】等差数列和等比数列的通项公式分别如A、B所述，前n项和公式分别如C、D所述，E选项中只有等差数列的通项公式可以表示为fn，等比数列的通项公式不能表示为fn

2.下列关于数列的应用中，正确的有（）A.数列可以用来描述物体的运动规律B.数列可以用来预测人口增长趋势C.数列可以用来分析金融市场中的股价波动D.数列可以用来计算物体的衰变速度E.数列可以用来设计算法【答案】A、B、C、D、E【解析】数列在各个领域都有广泛的应用，包括物理、生物、经济、计算机科学等

3.下列关于数列的证明中，正确的有（）A.等差数列的前n项和是关于n的二次函数B.等比数列的前n项和是关于n的指数函数C.等差数列的任意两项之差都是常数D.等比数列的任意两项之比都是常数E.等差数列和等比数列的任意两项之和都是常数【答案】A、C、D【解析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，任意两项之差都是常数；等比数列的前n项和是关于n的指数函数，任意两项之比都是常数；等差数列和等比数列的任意两项之和不一定都是常数

4.下列关于数列的性质中，正确的有（）A.等差数列的任意三项成等差数列B.等比数列的任意三项成等比数列C.等差数列的任意两项之和还是等差数列D.等比数列的任意两项之积还是等比数列E.等差数列的任意两项之积还是等差数列【答案】A、B、D【解析】等差数列的任意三项成等差数列，任意两项之和还是等差数列；等比数列的任意三项成等比数列，任意两项之积还是等比数列

5.下列关于数列的求和中，正确的有（）A.等差数列的前n项和可以表示为S_n=na_1+a_n/2B.等比数列的前n项和可以表示为S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）C.等差数列的前n项和公式可以表示为S_n=n^2D.等比数列的前n项和公式可以表示为S_n=a_1q^nE.等差数列和等比数列的前n项和都可以表示为S_n=fn【答案】A、B【解析】等差数列和等比数列的前n项和公式分别如A、B所述，C、D、E选项中的公式都不正确

三、填空题

1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，d=3，则a_5=______，S_5=______（4分）【答案】11；35【解析】a_5=a_1+4d=2+43=14；S_5=5a_1+a_5/2=52+14/2=

352.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，q=2，则a_5=______，S_5=______（4分）【答案】16；31【解析】a_5=a_1q^4=12^4=16；S_5=a_11-q^n/1-q=11-2^5/1-2=

313.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），则该数列是______数列（4分）【答案】等比【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}，所以数列{a_n}是首项为1的等比数列

4.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2），且a_1=1，则该数列的前5项和为______（4分）【答案】15【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}+1，得a_n=a_{n-1}+1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以前5项和为1+2+3+4+5=

155.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，则a_5=______（4分）【答案】1【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}，得S_n^2=S_na_{n-1}，即S_n/S_{n-1}^2=S_n/S_{n-1}，所以S_n/S_{n-1}=1，所以S_n=S_{n-1}，即a_n=0，所以a_5=0

四、判断题

1.等差数列的任意两项之差都是常数（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列的定义就是任意两项之差都是常数

2.等比数列的任意两项之比都是常数（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列的定义就是任意两项之比都是常数

3.等差数列的前n项和是关于n的二次函数（）（2分）【答案】（√）【解析】等差数列的前n项和公式S_n=na_1+a_n/2是关于n的二次函数

4.等比数列的前n项和是关于n的指数函数（）（2分）【答案】（×）【解析】等比数列的前n项和公式S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）是关于n的指数函数，但不是所有等比数列的前n项和都是关于n的指数函数

5.等差数列和等比数列的任意两项之和都是常数（）（2分）【答案】（×）【解析】等差数列和等比数列的任意两项之和不一定都是常数

五、简答题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，求该数列的通项公式（2分）【答案】a_n=1【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}，所以数列{a_n}是首项为1的等比数列，所以a_n=

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2），且a_1=1，求该数列的前5项和（2分）【答案】15【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}+1，得a_n=a_{n-1}+1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以前5项和为1+2+3+4+5=

153.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n^2/S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，求该数列的前5项和（2分）【答案】1【解析】由a_n=S_n^2/S_{n-1}，得S_n^2=S_na_{n-1}，即S_n/S_{n-1}^2=S_n/S_{n-1}，所以S_n/S_{n-1}=1，所以S_n=S_{n-1}，即a_n=0，所以前5项和为0

六、分析题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，求该数列的通项公式，并证明该数列是等比数列（10分）【答案】a_n=1，该数列是首项为1的等比数列【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}，所以数列{a_n}是首项为1的等比数列，所以a_n=

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2），且a_1=1，求该数列的前5项和，并证明该数列是等差数列（10分）【答案】前5项和为15，该数列是首项为1，公差为1的等差数列【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}+1，得a_n=a_{n-1}+1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以前5项和为1+2+3+4+5=15

七、综合应用题

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），且a_1=1，求该数列的通项公式，并证明该数列是等比数列，再求该数列的前10项和（20分）【答案】a_n=1，该数列是首项为1的等比数列，前10项和为10【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}，得a_n=a_{n-1}，所以数列{a_n}是首项为1的等比数列，所以a_n=1，前10项和为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=

102.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_n=S_n-S_{n-1}+1（n≥2），且a_1=1，求该数列的前5项和，并证明该数列是等差数列，再求该数列的前10项和（20分）【答案】前5项和为15，该数列是首项为1，公差为1的等差数列，前10项和为55【解析】由a_n=S_n-S_{n-1}+1，得a_n=a_{n-1}+1，所以数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以前5项和为1+2+3+4+5=15，前10项和为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55---请注意，以上题目仅供参考，实际考试中可能会有所不同。