超越函数竞赛试题及权威答案

超越函数竞赛试题及权威答案

一、单选题

1.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离，即|-2-1|=3，但选项中无3，故需重新考虑实际上，当x在[-2,1]区间内时，fx取最小值3选项B为2，不符合解析，需修正重新考虑fx在x=-2时取值4，在x=1时取值3，最小值为3，选项C正确

2.函数gx=sinx+cosx的最大值是（）（1分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】B【解析】gx=sinx+cosx=√2sinx+π/4，最大值为√

23.函数hx=x^2-4x+3的图像是（）（1分）A.上升的抛物线B.下降的抛物线C.水平线D.垂直线【答案】B【解析】hx=x^2-4x+3=x-2^2-1，是开口向上的抛物线

4.函数kx=logx在x1时的图像是（）（1分）A.上升的曲线B.下降的曲线C.水平线D.垂直线【答案】A【解析】对数函数在定义域内是上升的

5.函数lx=tanx的周期是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.2π/3【答案】A【解析】正切函数的周期是π

6.函数mx=e^x的图像是（）（1分）A.上升的曲线B.下降的曲线C.水平线D.垂直线【答案】A【解析】指数函数是上升的

7.函数nx=1/x在x0时的图像是（）（1分）A.上升的曲线B.下降的曲线C.水平线D.垂直线【答案】B【解析】倒数函数在正区间是下降的

8.函数ox=√x在x≥0时的图像是（）（1分）A.上升的曲线B.下降的曲线C.水平线D.垂直线【答案】A【解析】平方根函数在非负区间是上升的

9.函数px=arctanx的值域是（）（2分）A.-π/2,π/2B.-1,1C.0,πD.-∞,∞【答案】A【解析】反正切函数的值域是-π/2,π/

210.函数qx=arcsinx的值域是（）（2分）A.[-π/2,π/2]B.[-1,1]C.[0,π]D.-∞,∞【答案】A【解析】反正弦函数的值域是-π/2,π/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数是偶函数？（）A.fx=x^2B.gx=sinxC.hx=cosxD.kx=tanxE.lx=e^x【答案】A、C【解析】偶函数满足f-x=fx，只有fx=x^2和hx=cosx是偶函数

2.以下哪些函数是奇函数？（）A.fx=x^3B.gx=sinxC.hx=cosxD.kx=tanxE.lx=e^x【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fx，fx=x^3，gx=sinx，kx=tanx是奇函数

3.以下哪些函数在x→∞时有极限？（）A.fx=1/xB.gx=sinxC.hx=logxD.kx=e^xE.lx=arctanx【答案】A、E【解析】fx=1/x在x→∞时极限为0，lx=arctanx在x→∞时极限为π/

24.以下哪些函数在x→0时有极限？（）A.fx=1/xB.gx=sinxC.hx=logxD.kx=e^xE.lx=arctanx【答案】B、D、E【解析】gx=sinx在x→0时极限为0，kx=e^x在x→0时极限为1，lx=arctanx在x→0时极限为

05.以下哪些函数是周期函数？（）A.fx=x^2B.gx=sinxC.hx=cosxD.kx=tanxE.lx=e^x【答案】B、C、D【解析】gx=sinx，hx=cosx，kx=tanx是周期函数

三、填空题

1.函数fx=2x+1的反函数是______（4分）【答案】f^{-1}x=x-1/2【解析】设y=2x+1，则x=y-1/2，反函数为f^{-1}x=x-1/

22.函数gx=sinx的导数是______（4分）【答案】gx=cosx【解析】sinx的导数是cosx

3.函数hx=x^3的积分是______（4分）【答案】∫x^3dx=x^4/4+C【解析】x^3的积分是x^4/4+C

4.函数kx=e^x的积分是______（4分）【答案】∫e^xdx=e^x+C【解析】e^x的积分是e^x+C

5.函数lx=1/x的积分是______（4分）【答案】∫1/xdx=ln|x|+C【解析】1/x的积分是ln|x|+C

6.函数mx=sinx的积分是______（4分）【答案】∫sinxdx=-cosx+C【解析】sinx的积分是-cosx+C

7.函数nx=cosx的积分是______（4分）【答案】∫cosxdx=sinx+C【解析】cosx的积分是sinx+C

8.函数ox=x^2的积分是______（4分）【答案】∫x^2dx=x^3/3+C【解析】x^2的积分是x^3/3+C

四、判断题

1.函数fx=x^2是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】f-x=-x^2=x^2≠-fx，不是奇函数

2.函数gx=sinx是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】g-x=sin-x=-sinx≠sinx，不是偶函数

3.函数hx=cosx是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】h-x=cos-x=cosx≠-cosx，不是奇函数

4.函数kx=tanx是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】k-x=tan-x=-tanx≠tanx，不是偶函数

5.函数lx=arctanx是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】l-x=arctan-x=-arctanx=-lx，是奇函数

五、简答题

1.请解释什么是函数的奇偶性？（4分）【答案】函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质如果对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有f-x=fx，那么这个函数是偶函数；如果都有f-x=-fx，那么这个函数是奇函数

2.请解释什么是函数的周期性？（5分）【答案】函数的周期性是指函数在定义域内存在一个最小的正数T，使得对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有fx+T=fx这个最小的正数T被称为函数的周期

3.请解释什么是函数的极限？（5分）【答案】函数的极限是指当自变量x无限接近某个值x0时，函数值fx无限接近某个确定的常数A这个常数A被称为函数fx当x→x0时的极限

六、分析题

1.请分析函数fx=x^3-3x的图像特征（10分）【答案】函数fx=x^3-3x是一个三次函数，其图像是一条三次曲线为了分析其图像特征，我们可以求出它的导数和二阶导数，并分析其单调性和凹凸性求导数fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1求二阶导数fx=6x令fx=0，解得x=-1和x=1这两个点是函数的驻点令fx=0，解得x=0这个点是函数的拐点分析单调性当x-1时，fx0，函数单调递增；当-1x1时，fx0，函数单调递减；当x1时，fx0，函数单调递增分析凹凸性当x0时，fx0，函数凹向下；当x0时，fx0，函数凹向上综上所述，函数fx=x^3-3x的图像特征如下

1.函数在x=-1和x=1处有驻点，分别是局部最大值和局部最小值；

2.函数在x=0处有拐点；

3.函数在x-1时单调递增，在-1x1时单调递减，在x1时单调递增；

4.函数在x0时凹向下，在x0时凹向上

七、综合应用题

1.请证明函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值（25分）【答案】为了证明函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值，我们需要分析函数在区间内的驻点和端点的函数值求导数fx=3x^2-3=3x^2-1=3x-1x+1令fx=0，解得x=-1和x=1这两个点是函数的驻点计算驻点处的函数值f-1=-1^3-3-1=-1+3=2f1=1^3-31=1-3=-2计算端点处的函数值f-2=-2^3-3-2=-8+6=-2f2=2^3-32=8-6=2比较这些函数值，我们可以得出最大值为2，最小值为-2因此，函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是2，最小值是-2---完整标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.A、C

2.A、B、D

3.A、E

4.B、D、E

5.B、C、D

三、填空题

1.f^{-1}x=x-1/

22.gx=cosx

3.∫x^3dx=x^4/4+C

4.∫e^xdx=e^x+C

5.∫1/xdx=ln|x|+C

6.∫sinxdx=-cosx+C

7.∫cosxdx=sinx+C

8.∫x^2dx=x^3/3+C

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质如果对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有f-x=fx，那么这个函数是偶函数；如果都有f-x=-fx，那么这个函数是奇函数

2.函数的周期性是指函数在定义域内存在一个最小的正数T，使得对于函数fx的定义域内的任意一个x，都有fx+T=fx这个最小的正数T被称为函数的周期

3.函数的极限是指当自变量x无限接近某个值x0时，函数值fx无限接近某个确定的常数A这个常数A被称为函数fx当x→x0时的极限

六、分析题

1.函数fx=x^3-3x的图像特征-函数在x=-1和x=1处有驻点，分别是局部最大值和局部最小值；-函数在x=0处有拐点；-函数在x-1时单调递增，在-1x1时单调递减，在x1时单调递增；-函数在x0时凹向下，在x0时凹向上

七、综合应用题

1.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值-最大值为2，最小值为-2。