重积分期末试题及精准答案解析

重积分期末试题及精准答案解析

一、单选题（每题1分，共10分）

1.若积分区域D为x²+y²≤1，则∬_D√1-x²-y²dxdy的值是（）（1分）A.π/2B.πC.3π/4D.π²【答案】A【解析】采用极坐标变换，积分区域为r²≤1，∬_D√1-r²rdrdθ=∫_0^{2π}dθ∫_0^1√1-r²rdr=2π1/2-r²/2|_0^1=π/

22.设函数fx,y在闭区域D上有界，且在D上除点0,0外连续，则∬_Dfx,ydxdy存在的条件是（）（1分）A.fx,y在D上连续B.fx,y在D上可积C.fx,y在0,0处间断D.fx,y在D上单调【答案】B【解析】根据重积分存在定理，fx,y在可测区域D上只要可积即可，与是否连续或单调无关

3.若积分区域为四面体，其顶点分别为1,1,

1、1,1,

0、1,0,

1、0,1,1，则∬_Dxyzdxdydz的值是（）（1分）A.1/24B.1/12C.1/6D.1/4【答案】A【解析】投影区域为△1,1,

0、1,0,

1、0,1,1，计算得∬_Dxyzdxdy=∫_0^1dx∫_{1-x}^1dy∫_{1-x-y}^1xyzdz=1/

244.设函数fx,y在区域D上连续，则下列说法正确的是（）（1分）A.∬_D|fx,y|dxdy=∬_Dfx,ydxdyB.∬_Dfx,ydxdy=∬_Df-x,-ydxdyC.∬_Dfx,ydxdy=∬_Dfy,xdxdyD.∬_Dfx,ydxdy=∬_D|fx,y|dxdy【答案】B【解析】将积分区域按x=-x,y=-y对称后，被积函数不变，故积分值相等

5.计算∬_Dx+ydxdy，其中D为由y=x²,y=1所围区域，则正确的方法是（）（1分）A.∫_0^1dx∫_{x²}^1x+ydyB.∫_0^1dx∫_0^{x²}x+ydyC.∫_{-1}^1dx∫_0^1x+ydyD.∬_Dx+ydxdy=∬_Dx+ydydx【答案】A【解析】区域投影为y=x²到y=1，先对y积分后对x积分

6.设积分区域为球体x²+y²+z²≤a²，则∬_Dx²+y²+z²dxdydz的值是（）（1分）A.4πa²/3B.4πa³/3C.4πa⁴/3D.8πa³/3【答案】B【解析】采用球坐标，积分区域为r≤a，∫_0^{2π}∫_0^π∫_0^ar²cosφ·r²sinφdrdφdθ=4πa³/

37.下列积分中，可直接使用牛顿-莱布尼茨公式计算的是（）（1分）A.∬_Dfx,ydxdyB.∬_D√1-x²-y²dxdyC.∬_Dlnx²+y²dxdyD.∬_Dsinxydxdy【答案】B【解析】√1-x²-y²是连续函数，积分区域为圆，可用极坐标直接计算

8.设函数fx,y在区域D上满足fx,-y=-fx,y，则∬_Dfx,ydxdy的值是（）（1分）A.0B.2∬_D₁fx,ydxdyC.∬_D₁fx,ydxdyD.无法确定【答案】A【解析】区域D关于x轴对称，被积函数为奇函数，积分值为

09.计算∬_Dx+ydxdy，其中D为由x²+y²≤1,y≥0所围区域，则正确的方法是（）（1分）A.∫_0^1dx∫_0^√1-x²x+ydyB.∬_Dx+ydxdy=∬_Dx+ydydxC.∫_0^2πdx∫_0^1rrcosθ+rsinθrdrdθD.∬_Dx+ydxdy=2∬_D₁x+ydxdy【答案】C【解析】用极坐标，区域为θ=0到θ=π，r=0到r=

110.设函数fx,y在区域D上连续，则下列说法正确的是（）（1分）A.∬_Dfx,ydxdy=∬_Dfx,ydydxB.∬_Dfx,ydxdy=∬_Df-x,-ydxdyC.∬_Dfx,ydxdy=∬_Dfy,xdxdyD.∬_Dfx,ydxdy=∬_D|fx,y|dxdy【答案】B【解析】将积分区域按x=-x,y=-y对称后，被积函数不变，故积分值相等

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列关于重积分的说法正确的有（）（4分）A.积分区域D关于y=x对称，若fx,y+fy,x=0，则∬_Dfx,ydxdy=0B.若积分区域D关于x轴对称，被积函数fx,y为奇函数，则积分值为0C.若fx,y在区域D上连续，则∬_Dfx,ydxdy存在D.若积分区域D由x=0,y=0,x+y=1围成，则∬_D1dxdy=1/2E.若fx,y在区域D上可积，则∬_Dfx,ydxdy存在【答案】A、B、C、E【解析】选项A正确，被积函数为0；选项B正确，奇函数在对称区域积分为0；选项C正确，连续函数可积；选项D错误，正确值应为1/2；选项E正确，可积必存在

2.下列积分中，可直接使用牛顿-莱布尼茨公式计算的有（）（4分）A.∬_Dfx,ydxdyB.∬_D√1-x²-y²dxdyC.∬_Dlnx²+y²dxdyD.∬_DsinxydxdyE.∬_Dx+y²dxdy【答案】B、E【解析】选项B为连续函数在圆域上积分，可直接用极坐标计算；选项E为多项式函数，可直接计算

3.设函数fx,y在区域D上满足fx,-y=-fx,y，则下列说法正确的有（）（4分）A.∬_Dfx,ydxdy=0B.∬_Dfx,ydxdy=2∬_D₁fx,ydxdyC.∬_Dfx,ydxdy=∬_D₁fx,ydxdyD.∬_Dfx,ydxdy=∬_D₁f-x,-ydxdyE.∬_Dfx,ydxdy=∬_D₁fx,ydxdy-∬_D₁f-x,-ydxdy【答案】A、E【解析】选项A正确，被积函数为奇函数；选项E正确，D₁为D在x轴上方部分

4.下列积分区域中，适合用极坐标计算的有（）（4分）A.椭圆x²/a²+y²/b²≤1B.圆x²+y²≤1C.抛物线y=x²与直线y=1围成的区域D.矩形区域[0,1]×[0,1]E.由y=x,y=√x围成的区域【答案】B、E【解析】选项B为圆域，选项E为圆的一部分，适合极坐标；其他不适合

5.设函数fx,y在区域D上连续，则下列说法正确的有（）（4分）A.∬_Dfx,ydxdy=∬_Dfy,xdxdyB.∬_Dfx,ydxdy=∬_Df-x,-ydxdyC.∬_Dfx,ydxdy=∬_Dfx,ydydxD.∬_Dfx,ydxdy=∬_D|fx,y|dxdyE.若区域D关于x轴对称，被积函数fx,y为偶函数，则积分值为2∬_D₁fx,ydxdy【答案】B、E【解析】选项B正确，对称变换被积函数不变；选项E正确，偶函数在对称区域积分值为两倍

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设积分区域D为x²+y²≤1，则∬_Dx+ydxdy的值是_________（4分）【答案】π【解析】采用极坐标，∬_Dx+ydxdy=∫_0^{2π}dθ∫_0^1rcosθ+rsinθrdr=π

2.设函数fx,y在区域D上连续，若D关于x轴对称，被积函数fx,y为奇函数，则∬_Dfx,ydxdy=_________（4分）【答案】0【解析】奇函数在对称区域积分为

03.计算∬_Dx+ydxdy，其中D为由y=x²,y=1所围区域，则∬_Dx+ydxdy=_________（4分）【答案】11/6【解析】∬_Dx+ydxdy=∫_0^1dx∫_{x²}^1x+ydy=11/

64.设积分区域为球体x²+y²+z²≤a²，则∬_Dzdxdydz的值是_________（4分）【答案】0【解析】区域关于x-y平面对称，被积函数z为奇函数，积分值为0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若积分区域D关于y=x对称，若fx,y+fy,x=0，则∬_Dfx,ydxdy=0（）（2分）【答案】（√）【解析】被积函数为0，积分值为

02.若函数fx,y在区域D上可积，则∬_Dfx,ydxdy存在（）（2分）【答案】（√）【解析】可积性是重积分存在的必要条件

3.若积分区域D由x=0,y=0,x+y=1围成，则∬_D1dxdy=1（）（2分）【答案】（×）【解析】正确值应为1/

24.若函数fx,y在区域D上连续，则∬_Dfx,ydxdy=∬_Dfy,xdxdy（）（2分）【答案】（×）【解析】一般不成立，需要区域对称性

5.若积分区域D关于x轴对称，被积函数fx,y为偶函数，则∬_Dfx,ydxdy=2∬_D₁fx,ydxdy（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数在对称区域积分值为两倍

五、简答题（每题4分，共16分）

1.简述重积分的定义（4分）【答案】重积分是多元函数积分的推广，对平面区域或空间区域的函数进行积分设fx,y在区域D上定义，将D任意分割为n个小区域，取点x_i,y_i作乘积fx_i,y_iΔσ_i，求和后取极限，若极限存在，则称fx,y在D上可积，该极限为重积分∬_Dfx,ydxdy

2.简述重积分的应用（4分）【答案】重积分在几何上可计算面积、体积、曲面面积；在物理上可计算质量、质心、转动惯量、引力等；在工程上可计算流体静压力、电场强度等

3.简述重积分的计算方法（4分）【答案】直角坐标法将积分区域投影到某坐标轴上，确定积分次序；极坐标法适用于圆形或扇形区域，将x=rcosθ,y=rsinθ代入被积函数；柱面坐标法适用于旋转体，将x=rcosθ,y=rsinθ,z=z代入；球面坐标法适用于球体，将x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ代入

4.简述重积分的性质（4分）【答案】线性性∬_D[afx,y+bgx,y]dxdy=a∬_Dfx,ydxdy+b∬_Dgx,ydxdy；区域可加性若D=D₁+D₂，则∬_Dfx,ydxdy=∬_D₁fx,ydxdy+∬_D₂fx,ydxdy；对称性区域D关于x轴对称，被积函数fx,y为奇函数，则积分值为0；几何意义∬_Dfx,ydxdy表示以z=fx,y为曲顶，以D为底的曲顶柱体的体积

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析比较直角坐标法与极坐标法的适用条件（10分）【答案】直角坐标法适用于矩形、三角形、梯形等简单区域，被积函数较简单；极坐标法适用于圆形、扇形、环状等圆形区域，被积函数含有x²+y²的项具体选择方法看积分区域是否适合极坐标表示，看被积函数是否简化，看计算是否简便

2.分析比较重积分与定积分的区别与联系（10分）【答案】区别重积分是二元函数在平面区域上的积分，定积分是一元函数在区间上的积分；重积分有二重积分和三重积分，定积分只有一重积分；重积分需要处理区域分割和极限过程，定积分直接处理区间分割和极限过程联系重积分可以看作是定积分的推广，二重积分可以看作是定积分在平面上的推广，三重积分可以看作是定积分在空间上的推广

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.计算∬_Dx+ydxdy，其中D为由y=x²,y=1所围区域，并画出积分区域（20分）【答案】积分区域为y=x²到y=1，投影为x=-1到x=1∬_Dx+ydxdy=∫_{-1}^1dx∫_{x²}^1x+ydy=∫_{-1}^1[x+1-x²1-x²]dx=∫_{-1}^11-x⁴dx=11/

62.计算∬_Dxyzdxdydz，其中D为由x²+y²+z²≤a²,y≥0,z≥0所围区域（20分）【答案】采用球坐标，x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ，区域为ρ≤a,0≤φ≤π/2,0≤θ≤2π∬_Dxyzdxdydz=∫_0^{2π}∫_0^π∫_0^aρsinφcosθρsinφsinθρcosφρ²sinφdρdφdθ=1/8πa⁵

八、标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.B

5.A

6.B

7.B

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B、C、E

2.B、E

3.A、E

4.B、E

5.B、E

三、填空题

1.π

2.

03.11/

64.0

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.重积分是多元函数积分的推广，对平面区域或空间区域的函数进行积分设fx,y在区域D上定义，将D任意分割为n个小区域，取点x_i,y_i作乘积fx_i,y_iΔσ_i，求和后取极限，若极限存在，则称fx,y在D上可积，该极限为重积分∬_Dfx,ydxdy

2.重积分在几何上可计算面积、体积、曲面面积；在物理上可计算质量、质心、转动惯量、引力等；在工程上可计算流体静压力、电场强度等

3.直角坐标法将积分区域投影到某坐标轴上，确定积分次序；极坐标法适用于圆形或扇形区域，将x=rcosθ,y=rsinθ代入被积函数；柱面坐标法适用于旋转体，将x=rcosθ,y=rsinθ,z=z代入；球面坐标法适用于球体，将x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ代入

4.重积分的性质线性性∬_D[afx,y+bgx,y]dxdy=a∬_Dfx,ydxdy+b∬_Dgx,ydxdy；区域可加性若D=D₁+D₂，则∬_Dfx,ydxdy=∬_D₁fx,ydxdy+∬_D₂fx,ydxdy；对称性区域D关于x轴对称，被积函数fx,y为奇函数，则积分值为0；几何意义∬_Dfx,ydxdy表示以z=fx,y为曲顶，以D为底的曲顶柱体的体积

六、分析题

1.直角坐标法适用于矩形、三角形、梯形等简单区域，被积函数较简单；极坐标法适用于圆形、扇形、环状等圆形区域，被积函数含有x²+y²的项具体选择方法看积分区域是否适合极坐标表示，看被积函数是否简化，看计算是否简便

2.重积分是二元函数在平面区域上的积分，定积分是一元函数在区间上的积分；重积分有二重积分和三重积分，定积分只有一重积分；重积分需要处理区域分割和极限过程，定积分直接处理区间分割和极限过程重积分可以看作是定积分的推广，二重积分可以看作是定积分在平面上的推广，三重积分可以看作是定积分在空间上的推广

七、综合应用题

1.积分区域为y=x²到y=1，投影为x=-1到x=1∬_Dx+ydxdy=∫_{-1}^1dx∫_{x²}^1x+ydy=∫_{-1}^1[x+1-x²1-x²]dx=∫_{-1}^11-x⁴dx=11/

62.采用球坐标，x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ，区域为ρ≤a,0≤φ≤π/2,0≤θ≤2π∬_Dxyzdxdydz=∫_0^{2π}∫_0^π∫_0^aρsinφcosθρsinφsinθρcosφρ²sinφdρdφdθ=1/8πa⁵。