高中椭圆创新试题及详细解析

高中椭圆创新试题及详细解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\（\ab0\），其离心率为\e\，则当\e\最大时，椭圆的长轴与短轴之比等于（）（2分）A.1B.2C.\\sqrt{2}\D.\\sqrt{3}\【答案】B【解析】椭圆的离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\，当\e\最大时，\\frac{b^2}{a^2}\最小，即\b\最小由于\ab0\，所以当\b\趋近于0时，\e\趋近于1此时，长轴与短轴之比趋近于无穷大，但题目中给出的选项中没有无穷大，所以选择B.

22.若椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\上一点P到左准线的距离是其到右焦点的距离的\\frac{1}{2}\，则点P的坐标为（）（2分）A.\3\sqrt{2},\frac{2}{3}\B.\-3\sqrt{2},-\frac{2}{3}\C.\\sqrt{2},\frac{2}{3}\D.\-\sqrt{2},-\frac{2}{3}\【答案】A【解析】椭圆的左准线方程为\x=-\frac{a^2}{c}\，右焦点坐标为\Fc,0\根据题意，点P到左准线的距离是到右焦点距离的\\frac{1}{2}\，设点P坐标为\x,y\，则有\\frac{x+\frac{a^2}{c}}{2}=c-x\代入\a=3\，\b=2\，得到\x=\sqrt{2}\，代入椭圆方程，得到\y=\frac{2}{3}\

3.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\内有一点P，使得它到椭圆上两焦点的距离之和最小，则点P的坐标为（）（2分）A.0,0B.2,0C.0,3D.2,3【答案】A【解析】椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即8当点P在椭圆中心时，它到两焦点的距离之和最小，即为8所以点P的坐标为0,

04.若椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\\frac{\sqrt{3}}{2}\，则\\frac{a}{b}\的值为（）（2分）A.1B.\\sqrt{2}\C.2D.\\sqrt{3}\【答案】C【解析】椭圆的离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\，解得\\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}\，即\\frac{a}{b}=2\

5.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\上一点P的横坐标为\\frac{3}{2}\，则点P到椭圆中心的距离为（）（2分）A.1B.\\sqrt{2}\C.2D.\\sqrt{5}\【答案】A【解析】将横坐标\\frac{3}{2}\代入椭圆方程，得到\y=\pm\frac{2\sqrt{5}}{3}\点P到椭圆中心的距离为\\sqrt{\frac{3}{2}^2+\frac{2\sqrt{5}}{3}^2}=1\

6.若椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\e\，则其短轴长与焦距之比为（）（2分）A.\\frac{1}{e}\B.\\frac{b}{2c}\C.\\frac{a}{c}\D.\\frac{b}{c}\【答案】B【解析】椭圆的短轴长为\2b\，焦距为\2c\，所以短轴长与焦距之比为\\frac{b}{c}\

7.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\上一点P到左准线的距离是到右准线的距离的2倍，则点P的坐标为（）（2分）A.\3,0\B.\-3,0\C.\0,2\D.\0,-2\【答案】A【解析】椭圆的左准线方程为\x=-\frac{a^2}{c}\，右准线方程为\x=\frac{a^2}{c}\根据题意，点P到左准线的距离是到右准线的距离的2倍，设点P坐标为\x,y\，则有\\frac{x+\frac{a^2}{c}}{2}=2\frac{a^2}{c}-x\代入\a=3\，得到\x=3\，代入椭圆方程，得到\y=0\

8.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点到其上任意一点的距离之和为（）（2分）A.4B.8C.16D.9【答案】B【解析】椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即

89.若椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\\frac{1}{2}\，则\\frac{a^2}{b^2}\的值为（）（2分）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】椭圆的离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{2}\，解得\\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}\，即\\frac{a^2}{b^2}=\frac{4}{3}\

10.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的短轴端点到右焦点的距离为（）（2分）A.1B.\\sqrt{2}\C.2D.\\sqrt{5}\【答案】D【解析】椭圆的短轴端点坐标为\0,2\或\0,-2\，右焦点坐标为\\sqrt{5},0\短轴端点到右焦点的距离为\\sqrt{0-\sqrt{5}^2+2-0^2}=\sqrt{5}\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于椭圆的说法中，正确的是（）（4分）A.椭圆的焦点一定在长轴上B.椭圆的离心率\e\的取值范围是\0,1\C.椭圆的短轴长是固定不变的D.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数【答案】A、B、D【解析】椭圆的焦点一定在长轴上，离心率\e\的取值范围是\0,1\，椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数，即长轴的长度

2.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\e\，则以下说法中正确的是（）（4分）A.当\e\趋近于0时，椭圆趋近于一个圆B.当\e=1\时，椭圆退化成一个抛物线C.离心率\e\越大，椭圆越扁平D.离心率\e\越小，椭圆越接近于一个圆【答案】A、C、D【解析】当\e\趋近于0时，椭圆趋近于一个圆，离心率\e\越大，椭圆越扁平，离心率\e\越小，椭圆越接近于一个圆

3.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的焦点到其上任意一点的距离之和为（）（4分）A.4B.8C.16D.9【答案】B【解析】椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即

84.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\e\，则以下说法中正确的是（）（4分）A.当\e\趋近于1时，椭圆趋近于一个抛物线B.当\e=1\时，椭圆退化成一个抛物线C.离心率\e\越大，椭圆越扁平D.离心率\e\越小，椭圆越接近于一个圆【答案】A、C、D【解析】当\e\趋近于1时，椭圆趋近于一个抛物线，离心率\e\越大，椭圆越扁平，离心率\e\越小，椭圆越接近于一个圆

5.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的短轴端点到右焦点的距离为（）（4分）A.1B.\\sqrt{2}\C.2D.\\sqrt{5}\【答案】D【解析】椭圆的短轴端点坐标为\0,2\或\0,-2\，右焦点坐标为\\sqrt{5},0\短轴端点到右焦点的距离为\\sqrt{0-\sqrt{5}^2+2-0^2}=\sqrt{5}\

三、填空题（每题4分，共32分）

1.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的离心率为______（4分）【答案】\\frac{\sqrt{7}}{4}\【解析】椭圆的离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\

2.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的焦点到其上任意一点的距离之和为______（4分）【答案】\2a\【解析】椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即\2a\

3.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的短轴长为______（4分）【答案】4【解析】椭圆的短轴长为\2b=4\

4.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\e\，则其短轴长与焦距之比为______（4分）【答案】\\frac{b}{2c}\【解析】椭圆的短轴长为\2b\，焦距为\2c\，所以短轴长与焦距之比为\\frac{b}{c}\

5.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点到其上任意一点的距离之和为______（4分）【答案】8【解析】椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长度，即

86.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\\frac{1}{2}\，则\\frac{a^2}{b^2}\的值为______（4分）【答案】4【解析】椭圆的离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{2}\，解得\\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}\，即\\frac{a^2}{b^2}=\frac{4}{3}\

7.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的短轴端点到右焦点的距离为______（4分）【答案】\\sqrt{13}\【解析】椭圆的短轴端点坐标为\0,2\或\0,-2\，右焦点坐标为\\sqrt{13},0\短轴端点到右焦点的距离为\\sqrt{0-\sqrt{13}^2+2-0^2}=\sqrt{13}\

8.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\e\，则当\e\最大时，椭圆的长轴与短轴之比等于______（4分）【答案】2【解析】椭圆的离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\，当\e\最大时，\\frac{b^2}{a^2}\最小，即\b\最小由于\ab0\，所以当\b\趋近于0时，\e\趋近于1此时，长轴与短轴之比趋近于无穷大，但题目中给出的选项中没有无穷大，所以选择2

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.椭圆的焦点一定在长轴上（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的焦点一定在长轴上

3.椭圆的离心率\e\的取值范围是\0,1\（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的离心率\e\的取值范围是\0,1\

4.椭圆的短轴长是固定不变的（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的短轴长是固定不变的

5.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数，即长轴的长度

6.当\e\趋近于0时，椭圆趋近于一个圆（）（2分）【答案】（√）【解析】当\e\趋近于0时，椭圆趋近于一个圆

7.当\e=1\时，椭圆退化成一个抛物线（）（2分）【答案】（×）【解析】当\e=1\时，椭圆退化成一个抛物线

8.离心率\e\越大，椭圆越扁平（）（2分）【答案】（√）【解析】离心率\e\越大，椭圆越扁平

9.离心率\e\越小，椭圆越接近于一个圆（）（2分）【答案】（√）【解析】离心率\e\越小，椭圆越接近于一个圆

10.椭圆的短轴端点到右焦点的距离为\\sqrt{5}\（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的短轴端点坐标为\0,2\或\0,-2\，右焦点坐标为\\sqrt{5},0\短轴端点到右焦点的距离为\\sqrt{0-\sqrt{5}^2+2-0^2}=\sqrt{5}\

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述椭圆的定义及其标准方程（4分）【答案】椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\（\ab0\）或\\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\（\ab0\）

2.简述椭圆的离心率及其物理意义（4分）【答案】椭圆的离心率\e\是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和与长轴长度的比值，即\e=\frac{c}{a}\离心率\e\越小，椭圆越接近于一个圆；离心率\e\越大，椭圆越扁平

3.简述椭圆的焦点、准线、离心率之间的关系（4分）【答案】椭圆的焦点、准线、离心率之间有以下关系椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离与该点到相应准线的距离的比值等于离心率，即\\frac{PF}{PD}=e\

4.简述椭圆的几何性质及其应用（4分）【答案】椭圆的几何性质包括椭圆的对称性、离心率、焦点、准线等椭圆的应用广泛，如行星轨道、建筑设计、光学仪器等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的几何性质，并求其焦点、准线、离心率（10分）【答案】椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\的几何性质如下-对称性椭圆关于x轴和y轴对称，也关于原点对称-离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\-焦点焦点坐标为\\pmc,0\，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\，所以焦点坐标为\\pm\sqrt{5},0\-准线准线方程为\x=\pm\frac{a^2}{c}=\pm\frac{9}{\sqrt{5}}\

2.分析椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的几何性质，并求其焦点、准线、离心率（10分）【答案】椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的几何性质如下-对称性椭圆关于x轴和y轴对称，也关于原点对称-离心率\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}\-焦点焦点坐标为\\pmc,0\，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\，所以焦点坐标为\\pm\sqrt{7},0\-准线准线方程为\x=\pm\frac{a^2}{c}=\pm\frac{16}{\sqrt{7}}\

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\\frac{1}{2}\，且椭圆上一点P到左准线的距离是到右准线的距离的2倍，求椭圆的方程（25分）【答案】椭圆的离心率\e=\frac{1}{2}\，所以\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{2}\，解得\\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}\，即\a=2b\设椭圆的方程为\\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\根据题意，点P到左准线的距离是到右准线的距离的2倍，设点P坐标为\x,y\，则有\\frac{x+\frac{4b^2}{c}}{2}=2\frac{4b^2}{c}-x\代入\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4b^2-b^2}=b\sqrt{3}\，得到\x=\frac{2b^2}{3}\代入椭圆方程，得到\y=\pm\frac{b\sqrt{3}}{3}\所以椭圆的方程为\\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，即\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\

2.已知椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为\\frac{\sqrt{3}}{2}\，且椭圆上一点P到左准线的距离是到右准线的距离的2倍，求椭圆的方程（25分）【答案】椭圆的离心率\e=\frac{\sqrt{3}}{2}\，所以\e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\，解得\\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}\，即\a=2b\设椭圆的方程为\\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\根据题意，点P到左准线的距离是到右准线的距离的2倍，设点P坐标为\x,y\，则有\\frac{x+\frac{4b^2}{c}}{2}=2\frac{4b^2}{c}-x\代入\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4b^2-b^2}=b\sqrt{3}\，得到\x=\frac{2b^2}{3}\代入椭圆方程，得到\y=\pm\frac{b\sqrt{3}}{3}\所以椭圆的方程为\\frac{x^2}{4b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\，即\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\。