高中椭圆新颖试题及完美答案

高中椭圆新颖试题及完美答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{b}{a}$等于（）（2分）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{1}{\sqrt{3}}$【答案】C【解析】由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

2.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点到相应准线的距离是（）（2分）A.$\frac{9}{5}$B.$\frac{9}{4}$C.$\frac{9}{2}$D.$\frac{9}{3}$【答案】A【解析】焦点到准线的距离为$\frac{a^2}{c}=\frac{9}{\sqrt{9-4}}=\frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$

3.过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点F作一条倾斜角为$45°$的直线，若该直线与椭圆交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{2}$，则椭圆的离心率为（）（2分）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$【答案】B【解析】由直线方程$y=x+c$代入椭圆方程，联立$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x+c^2}{b^2}=1$，化简得$a^2+b^2x^2+2b^2cx+b^4-a^2b^2=0$，由韦达定理和弦长公式$\sqrt{2}\cdot\sqrt{x_1+x_2^2-4x_1x_2}=2\sqrt{2}$，解得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

4.若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的短轴长是长轴长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则其离心率为（）（2分）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$【答案】B【解析】由短轴长$b=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，代入$c^2=a^2-b^2$，解得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

5.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一点P到左准线的距离为4，则点P到右焦点的距离为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】由第二定义，点P到左焦点的距离为$\frac{4}{\frac{5}{3}}=\frac{12}{5}$，由椭圆定义，点P到右焦点的距离为$2a-\frac{12}{5}=6-\frac{12}{5}=\frac{18}{5}$

6.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点与短轴两端点的连线所围成的三角形面积为$\sqrt{3}$，则椭圆的离心率为（）（2分）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$【答案】D【解析】由三角形面积公式$\frac{1}{2}\cdot2b\cdot2c=\sqrt{3}$，解得$\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$c^2=a^2-b^2$，解得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

7.若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则其短轴长与长轴长的比值为（）（2分）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{1}{\sqrt{3}}$【答案】C【解析】由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

8.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一点P到左准线的距离为2，则点P到右焦点的距离为（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由第二定义，点P到左焦点的距离为$\frac{2}{\frac{5}{3}}=\frac{6}{5}$，由椭圆定义，点P到右焦点的距离为$2a-\frac{6}{5}=6-\frac{6}{5}=\frac{24}{5}$

9.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则其短轴长是长轴长的（）（2分）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{1}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$【答案】A【解析】由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点与短轴两端点的连线所围成的三角形面积为$\sqrt{2}$，则椭圆的离心率为（）（2分）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$【答案】B【解析】由三角形面积公式$\frac{1}{2}\cdot2b\cdot2c=\sqrt{2}$，解得$\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由$c^2=a^2-b^2$，解得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于椭圆的说法正确的有（）（4分）A.椭圆的焦点到相应准线的距离相等B.椭圆的离心率满足$0e1$C.椭圆的短轴长小于长轴长D.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴长的2倍E.椭圆的离心率越大，椭圆越扁平【答案】A、B、C、D、E【解析】椭圆的焦点到相应准线的距离相等，离心率$0e1$，短轴长小于长轴长，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴长的2倍，离心率越大，椭圆越扁平

2.以下方程表示椭圆的有（）（4分）A.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$B.$x^2+y^2=1$C.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$D.$\frac{y^2}{25}+x^2=1$E.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$【答案】A、C、D、E【解析】方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$，$\frac{y^2}{25}+x^2=1$，$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$表示椭圆，而$x^2+y^2=1$表示圆

3.以下关于椭圆的离心率的描述正确的有（）（4分）A.离心率越接近0，椭圆越接近圆B.离心率越大，椭圆越扁平C.离心率等于0时，椭圆退化成一条线段D.离心率等于1时，椭圆退化成抛物线E.离心率满足$0e1$【答案】A、B、E【解析】离心率越接近0，椭圆越接近圆，离心率越大，椭圆越扁平，离心率满足$0e1$

4.以下关于椭圆的焦点的说法正确的有（）（4分）A.椭圆的两个焦点关于原点对称B.椭圆的焦点在长轴上C.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴长的2倍D.椭圆的焦点到相应准线的距离相等E.椭圆的焦点与短轴两端点的连线所围成的三角形面积为$\frac{1}{2}bc$【答案】A、C、D、E【解析】椭圆的两个焦点关于原点对称，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴长的2倍，焦点到相应准线的距离相等，焦点与短轴两端点的连线所围成的三角形面积为$\frac{1}{2}bc$

5.以下关于椭圆的准线的说法正确的有（）（4分）A.椭圆的准线与焦点垂直B.椭圆的准线到焦点的距离是$\frac{a^2}{c}$C.椭圆的左准线与右准线关于原点对称D.椭圆的准线与椭圆没有交点E.椭圆的准线方程为$x=\pm\frac{a^2}{c}$【答案】A、B、C、D、E【解析】椭圆的准线与焦点垂直，准线到焦点的距离是$\frac{a^2}{c}$，左准线与右准线关于原点对称，准线与椭圆没有交点，准线方程为$x=\pm\frac{a^2}{c}$

三、填空题（每题4分，共40分）

1.若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{b}{a}=$______（4分）【答案】$\frac{\sqrt{3}}{3}$

2.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点到相应准线的距离是______（4分）【答案】$\frac{9}{5}$

3.过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点F作一条倾斜角为$45°$的直线，若该直线与椭圆交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{2}$，则椭圆的离心率为______（4分）【答案】$\frac{\sqrt{2}}{2}$

4.若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的短轴长是长轴长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则其离心率为______（4分）【答案】$\frac{\sqrt{2}}{2}$

5.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一点P到左准线的距离为4，则点P到右焦点的距离为______（4分）【答案】$\frac{18}{5}$

6.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点与短轴两端点的连线所围成的三角形面积为$\sqrt{3}$，则椭圆的离心率为______（4分）【答案】$\frac{\sqrt{3}}{2}$

7.若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则其短轴长与长轴长的比值为______（4分）【答案】$\frac{\sqrt{3}}{3}$

8.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上一点P到左准线的距离为2，则点P到右焦点的距离为______（4分）【答案】$\frac{24}{5}$

9.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则其短轴长是长轴长的______（4分）【答案】$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点与短轴两端点的连线所围成的三角形面积为$\sqrt{2}$，则椭圆的离心率为______（4分）【答案】$\frac{\sqrt{2}}{2}$

四、判断题（每题2分，共20分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.椭圆的离心率越大，椭圆越扁平（）（2分）【答案】（√）

3.椭圆的焦点到相应准线的距离相等（）（2分）【答案】（√）

4.椭圆的离心率等于0时，椭圆退化成一条线段（）（2分）【答案】（√）

5.椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴长的2倍（）（2分）【答案】（√）

6.椭圆的短轴长小于长轴长（）（2分）【答案】（√）

7.椭圆的离心率满足$0e1$（）（2分）【答案】（√）

8.椭圆的焦点在长轴上（）（2分）【答案】（√）

9.椭圆的准线与椭圆没有交点（）（2分）【答案】（√）

10.椭圆的准线与焦点垂直（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共20分）

1.简述椭圆的离心率及其物理意义（5分）【答案】椭圆的离心率是指椭圆的焦点到中心的距离与长轴的比值，用$e$表示物理意义是描述椭圆的扁平程度，$e$越大，椭圆越扁平；$e$越小，椭圆越接近圆形

2.简述椭圆的焦点和准线的定义及其关系（5分）【答案】椭圆的焦点是椭圆上两个特殊的点，椭圆的准线是与焦点垂直且通过椭圆中心的直线椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴长的2倍，焦点到相应准线的距离相等

3.简述椭圆的短轴和长轴的定义及其关系（5分）【答案】椭圆的长轴是椭圆上通过两个焦点的最长直线段，短轴是垂直于长轴并通过椭圆中心的直线段短轴长小于长轴长

4.简述椭圆的离心率与椭圆形状的关系（5分）【答案】椭圆的离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近圆形离心率满足$0e1$

六、分析题（每题10分，共30分）

1.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求椭圆的短轴长与长轴长的比值（10分）【答案】由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

2.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点与短轴两端点的连线所围成的三角形面积为$\sqrt{3}$，求椭圆的离心率（10分）【答案】由三角形面积公式$\frac{1}{2}\cdot2b\cdot2c=\sqrt{3}$，解得$\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$c^2=a^2-b^2$，解得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

3.已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，求椭圆的焦点到相应准线的距离（10分）【答案】由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$a^2=9$，$b^2=4$，得$c^2=5$，解得$c=\sqrt{5}$，由准线距离公式$\frac{a^2}{c}=\frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且椭圆上一点P到左准线的距离为4，求椭圆的短轴长与长轴长的比值（25分）【答案】由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$由第二定义，点P到左准线的距离为$\frac{4}{\frac{a^2}{c}}=4$，解得$c=\frac{a^2}{4}$，代入$c^2=a^2-b^2$，解得$a^2=8$，$b^2=4$，故$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

2.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点与短轴两端点的连线所围成的三角形面积为$\sqrt{3}$，求椭圆的离心率，并求椭圆的短轴长与长轴长的比值（25分）【答案】由三角形面积公式$\frac{1}{2}\cdot2b\cdot2c=\sqrt{3}$，解得$\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$c^2=a^2-b^2$，解得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，代入$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$完整标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.B

4.C

5.C

6.D

7.C

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、C、D、E

3.A、B、E

4.A、C、D、E

5.A、B、C、D、E

三、填空题

1.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

2.$\frac{9}{5}$

3.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

4.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

5.$\frac{18}{5}$

6.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

7.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

8.$\frac{24}{5}$

9.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

6.（√）

7.（√）

8.（√）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.椭圆的离心率是指椭圆的焦点到中心的距离与长轴的比值，用$e$表示物理意义是描述椭圆的扁平程度，$e$越大，椭圆越扁平；$e$越小，椭圆越接近圆形

2.椭圆的焦点是椭圆上两个特殊的点，椭圆的准线是与焦点垂直且通过椭圆中心的直线椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴长的2倍，焦点到相应准线的距离相等

3.椭圆的长轴是椭圆上通过两个焦点的最长直线段，短轴是垂直于长轴并通过椭圆中心的直线段短轴长小于长轴长

4.椭圆的离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近圆形离心率满足$0e1$

六、分析题

1.由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

2.由三角形面积公式$\frac{1}{2}\cdot2b\cdot2c=\sqrt{3}$，解得$\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$c^2=a^2-b^2$，解得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

3.由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$a^2=9$，$b^2=4$，得$c^2=5$，解得$c=\sqrt{5}$，由准线距离公式$\frac{a^2}{c}=\frac{9}{\sqrt{5}}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$

七、综合应用题

1.由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，其中$c^2=a^2-b^2$，代入$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，解得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$由第二定义，点P到左准线的距离为$\frac{4}{\frac{a^2}{c}}=4$，解得$c=\frac{a^2}{4}$，代入$c^2=a^2-b^2$，解得$a^2=8$，$b^2=4$，故$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

2.由三角形面积公式$\frac{1}{2}\cdot2b\cdot2c=\sqrt{3}$，解得$\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$c^2=a^2-b^2$，解得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$由离心率公式$e=\frac{c}{a}$，代入$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$。