高中椭圆综合试题及详尽答案

高中椭圆综合试题及详尽答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1ab0，则其焦点所在的坐标轴是（）（2分）A.x轴B.y轴C.任意一条对角线D.不确定【答案】A【解析】椭圆方程中x²项系数对应的长轴方向，故焦点在x轴上

2.若椭圆3x²+4y²=12经过点1,1，则其焦距为（）（2分）A.2√2B.2√3C.4√2D.4√3【答案】B【解析】将1,1代入方程得3+4=12，符合条件，则a²=4,b²=3,c²=a²-b²=1,焦距2c=2√

33.椭圆x²/9+y²/4=1的短轴端点到直线x-2y+6=0的距离为（）（2分）A.√5B.√10C.2√5D.2√10【答案】C【解析】短轴端点为0,±2，到直线距离d=|0-22+6|/√5=2√

54.若椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率为√2/2，则a与b的关系为（）（2分）A.a=bB.a=2bC.abD.ba【答案】A【解析】e=c/a=√a²-b²/a=√2/2，解得a=b

5.椭圆x²/25+y²/16=1的准线方程为（）（2分）A.x=±10B.y=±10C.x=±8D.y=±8【答案】A【解析】准线方程为x=±a²/c=±25/

36.已知椭圆的焦点为±5,0，离心率为1/2，则其标准方程为（）（2分）A.x²/16+y²/9=1B.x²/25+y²/20=1C.x²/25+y²/16=1D.x²/36+y²/27=1【答案】C【解析】c=5,e=c/a=1/2,a=10,b²=a²-c²=

757.过椭圆x²/9+y²/4=1的焦点且垂直于x轴的弦长为（）（2分）A.2√2B.4√2C.2√5D.4√5【答案】A【解析】焦点弦长2b²/a=8/3，垂直x轴时为2√

28.椭圆x²/a²+y²/b²=1的左焦点到右准线的距离为（）（2分）A.a+cB.a-cC.2aD.2c【答案】A【解析】右准线x=a²/c，左焦点-c,0，距离a²/c+c=a+c

9.若椭圆x²/16+y²/9=1的弦AB被点1,2平分，则直线AB的方程为（）（2分）A.4x-3y+2=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-11=0D.3x+4y-10=0【答案】A【解析】中点1,2在弦上，代入选项A成立

10.椭圆x²/9+y²/4=1的焦点到短轴上顶点的距离为（）（2分）A.√13B.√5C.√17D.2√5【答案】D【解析】距离√-3²+2²=2√5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.椭圆的焦点一定在长轴上B.椭圆的离心率e∈0,1C.椭圆的准线与渐近线平行D.椭圆的短轴端点到焦点的距离为b【答案】A、B【解析】A正确，B正确，C错误（渐近线与准线不平行），D错误（应为a）

2.椭圆x²/a²+y²/b²=1ab0的离心率e满足（）（4分）A.e²=1-b²/a²B.e²=1-a²/b²C.e=c/aD.e=b/a【答案】A、C【解析】e²=c²/a²=1-b²/a²，e=c/a，其他选项错误

3.过椭圆x²/25+y²/16=1的左焦点F₁作直线交椭圆于A、B两点，则（）（4分）A.若直线垂直x轴，|AB|=2√2B.若直线倾斜，|AB|2√2C.直线倾斜角越大，|AB|越大D.直线过原点时|AB|=10【答案】A、B【解析】垂直x轴时|AB|=2√2，倾斜时|AB|2√2，C错误（存在最大值），D错误（过原点时|AB|10）

4.已知椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F₁、F₂，P为椭圆上一点，则（）（4分）A.|PF₁|+|PF₂|=6B.|PF₁|+|PF₂|6C.∠F₁PF₂最大值为90°D.∠F₁PF₂最小值为90°【答案】A、C【解析】椭圆定义|PF₁|+|PF₂|=2a=6，当P在短轴顶点时∠F₁PF₂=90°，其他情况更小

5.与椭圆x²/9+y²/4=1有相同焦点且离心率为√2/2的椭圆方程为（）（4分）A.x²/8+y²/4=1B.x²/4+y²/8=1C.x²/16+y²/8=1D.x²/8+y²/12=1【答案】A、D【解析】焦点c=√5，e=√2/2，则a=2√5，b=√10，方程为x²/20+y²/10=1或等价形式

三、填空题（每题4分，共32分）

1.椭圆x²/25+y²/9=1的焦点坐标为______，离心率为______（4分）【答案】±4,0，4/5【解析】c²=25-9=16，c=4，e=4/

52.若椭圆x²/a²+y²/b²=1的短轴长为6，焦距为2√3，则a=______，b=______（4分）【答案】5，3【解析】2b=6，b=3；2c=2√3，c=√3；a²=b²+c²=18，a=3√

23.椭圆x²/16+y²/9=1的准线方程为______，渐近线方程为______（4分）【答案】x=±32/3，y=±3/4x【解析】准线x=±16/√3；渐近线y=±3/4x

4.过椭圆x²/9+y²/4=1的焦点作倾斜角为45°的直线，与椭圆交于A、B两点，则|AB|=______（4分）【答案】4√3/3【解析】直线方程y=x±2√3，代入椭圆得5x²±8√3x+12=0，|AB|=2√[-8√3²-4×5×12]/5=4√3/

35.若椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率为√3/2，则其短轴端点到准线的距离为______（4分）【答案】2a/√3【解析】e=c/a=√3/2，b²=a²-c²=a²/4，准线x=±4a/√3，距离|±4a/√3±0|=2a/√

36.椭圆x²/9+y²/4=1的焦点弦长为4，则该弦所在直线的方程为______（4分）【答案】x=0【解析】焦点弦垂直x轴时|AB|=2b=4，直线方程x=

07.若点Px₀,y₀在椭圆x²/9+y²/4=1内部，则x₀²+4y₀²______12（4分）【答案】12【解析】x₀²/9+y₀²/41，则x₀²+4y₀²

128.椭圆x²/16+y²/9=1的焦点到其短轴端点的距离为______（4分）【答案】√37【解析】距离√-3²+4²=√37

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率为e，则其准线方程为x=±a²/e（）（2分）【答案】（×）【解析】应为x=±a²/c，e=c/a

2.椭圆的任意一条焦点弦长都等于2a（）（2分）【答案】（×）【解析】只有过中心的焦点弦才等于2a

3.若椭圆x²/a²+y²/b²=1ab0的离心率为e，则e²=1-b²/a²（）（2分）【答案】（√）【解析】e²=c²/a²=a²-b²/a²=1-b²/a²

4.椭圆的焦点到任意一条准线的距离为c（）（2分）【答案】（√）【解析】焦点到同侧准线距离等于c

5.若椭圆x²/a²+y²/b²=1经过原点，则其必有一条渐近线过原点（）（2分）【答案】（×）【解析】当且仅当a=b时渐近线过原点

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知椭圆x²/9+y²/4=1，求其焦点坐标、离心率、准线方程（5分）【答案】焦点±√5,0，离心率√5/3，准线x=±27/√5解析c²=9-4=5，c=√5；e=c/a=√5/3；准线x=±a²/c=±27/√

52.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率为√2/2，求其焦点弦长的最大值（5分）【答案】4a解析e=c/a=√2/2，c=a/√2；焦点弦长最大值为过中心的直径2a

3.椭圆x²/9+y²/4=1上一点Px₀,y₀满足x₀²+y₀²=5，求|PF₁|+|PF₂|的值（5分）【答案】6解析x₀²/9+y₀²/4=1，x₀²+y₀²=5，代入得x₀²/9+4/9=1，x₀²=5；|PF₁|+|PF₂|=2a=6

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，且∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|、|PF₂|的值（10分）【答案】设|PF₁|=m,|PF₂|=n，则m+n=6，mn=2√10由余弦定理cos60°=m²+n²-4c²/2mn，代入c²=5得m+n²-2mn=4mn/√10，即36-2√10=4√10，解得m=3+√10，n=3-√10解析

（1）由椭圆定义m+n=6；

（2）由三角形面积S=1/2mnsin60°=1/2×b²=2√10，得mn=2√10；

（3）cos60°=m²+n²-4c²/2mn，代入c²=5解方程得m,n

2.设椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F₁-√5,

0、F₂√5,0，点Px₀,y₀在椭圆上，且PF₁⊥PF₂，求点P的轨迹方程（10分）【答案】设x²/9+y²/4=1，|PF₁|²=x₀+√5²+y₀²，|PF₂|²=x₀-√5²+y₀²，由PF₁⊥PF₂得x₀+√5²+y₀²+x₀-√5²+y₀²=36，整理得x₀²+5=y₀²，即x²-y²=5解析

（1）写出|PF₁|²+|PF₂|²=36；

（2）展开整理得x²-y²=5；

（3）结合椭圆方程消去y₀²验证轨迹为双曲线分支

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知椭圆x²/a²+y²/b²=1ab0的离心率为√3/2，焦点F₁、F₂到直线l x-y+4=0的距离分别为d₁、d₂，且d₁+d₂=4√3，求椭圆方程（25分）【答案】设c=ae，e=√3/2，a=2c，b=c√3，焦点F₁-c,0,F₂c,0，d₁=|-c+4|/√2，d₂=|c+4|/√2，由d₁+d₂=4√3得|-c+4|+|c+4|=8√3，解得c=4√3/3，a=8/√3，b=4，方程为x²/64/9+y²/16=1解析

（1）建立a,b,c关系式；

（2）计算焦点到直线距离；

（3）解绝对值方程求c；

（4）确定a,b，写出方程

2.设椭圆x²/9+y²/4=1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，且PF₁⊥PF₂，求点P的轨迹方程，并说明其几何意义（25分）【答案】设|PF₁|=m,|PF₂|=n，由椭圆定义m+n=6，由PF₁⊥PF₂得m²+n²=4c²=20，由均值不等式m+n²≥4mn得36≥4mn，mn≤9，由勾股定理cos60°=m²+n²-4c²/2mn=10/2mn，联立解得mn=9，m=n=3，点P为短轴顶点0,±2解析

（1）建立m,n关系式；

（2）由勾股定理和椭圆定义建立方程；

（3）利用均值不等式求mn范围；

（4）解方程得m=n，确定轨迹为两个点---标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.A

8.A

9.A

10.D

二、多选题

1.A、B

2.A、C

3.A、B

4.A、C

5.A、D

三、填空题

1.±4,0，4/

52.5，

33.x=±32/3，y=±3/4x

4.4√3/

35.2a/√

36.x=

07.

128.√37

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.焦点±√5,0，离心率√5/3，准线x=±27/√

52.4a

3.6

六、分析题

1.m=3+√10，n=3-√

102.方程为x²-y²=5

七、综合应用题

1.方程为x²/64/9+y²/16=

12.轨迹为两个点0,±2。