高考冲顶试题及详细答案

高考冲顶试题及详细答案

一、单选题

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）（2分）A.y=2-xB.y=x^2C.y=1/xD.y=-x^3【答案】B【解析】y=x^2在（0，+∞）上单调递增

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k，k∈Z}，则A∩B等于（）（1分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{-1,2}【答案】B【解析】A={1,2}，B为所有偶数集合，所以A∩B={2}

3.函数fx=sin2x+π/3的图像关于哪个点中心对称？（）（2分）A.π/6，0B.π/3，0C.π/2，0D.π/4，0【答案】B【解析】fx的对称中心满足2x+π/3=kπ+π/2，解得x=π/6+kπ/2，取k=0时为π/3，

04.若复数z=1+i，则|z|^2015等于（）（2分）A.1B.-1C.1+iD.-1-i【答案】A【解析】|z|=√2，√2的任何奇数次幂模仍为2，所以|z|^2015=2，但题目要求的是模长，所以为

15.某几何体的三视图如下图所示，该几何体是（）（2分）（此处应有三视图图示，但无法呈现）A.正方体B.长方体C.圆锥D.球体【答案】B【解析】根据三视图可知为长方体

6.等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，则a_10等于（）（1分）A.12B.15C.18D.21【答案】B【解析】d=9-3/4=3/2，a_10=3+93/2=

157.某校高三年级进行模拟考试，抽取了200名学生的数学成绩进行统计，频率分布直方图如下所示，则成绩在[90,100区间的频率是（）（2分）（此处应有频率分布直方图，但无法呈现）A.

0.25B.

0.30C.

0.35D.

0.40【答案】C【解析】根据直方图可得[90,100区间频率为

0.

358.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，则角B等于（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+1-3/221=1/2，所以B=60°

9.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.21【答案】B【解析】i=1时s=1，i=3时s=4，i=5时s=

810.若函数fx=x^3-3x+1的图象与x轴交于A、B、C三点，则△ABC的面积为（）（2分）A.√3/4B.√3/2C.3√3/4D.3√3/2【答案】C【解析】令fx=0，由对称性可知三角形底为2√3，高为|f√3|=9-3√3+1，面积=1/22√39-3√3+1=3√3/4

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.函数y=1/x在0，+∞上单调递减D.若sinα=sinβ，则α=βE.等腰三角形的底角相等【答案】A、C、E【解析】B不成立反例a=1，b=-2；D不成立反例α=π/6，β=5π/

62.在△ABC中，下列条件能确定唯一的△ABC的有（）A.a=3，b=4，c=5B.∠A=60°，a=4，b=5C.∠B=45°，∠C=75°，a=6D.∠C=90°，a=3，b=4E.c=2，∠A=30°，∠B=45°【答案】A、B、C、D、E【解析】所有条件均能确定唯一三角形

3.下列函数中，在定义域内连续的有（）A.y=√xB.y=1/xC.y=lgxD.y=tanxE.y=secx【答案】A、D【解析】B在x=0不连续；C在x=0不连续；E在x=kπ+π/2不连续

4.关于x的方程x^2-2ax+a^2-1=0（a∈R）的根的情况是（）A.总有两个不相等的实根B.总有两个相等的实根C.总有两个实根D.总有一个正根一个负根E.总有一个根为1【答案】A、C【解析】Δ=4a^2-4a^2-1=-3a^2+4≥0，所以总有两个实根，且Δ0时有两个不等实根

5.某工厂生产两种产品A和B，每件利润分别为10元和8元，生产A产品x件，B产品y件需满足约束条件2x+y≤24x+2y≤20x,y∈N则最大利润为（）A.100元B.108元C.120元D.136元【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，最优解为8,4，最大利润=108+84=136

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=log_2x-1的定义域为________（4分）【答案】1，+∞

2.若α是第三象限角，且sinα=-3/5，则cosα=________（4分）【答案】-4/

53.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则公比q=________（4分）【答案】±

24.抛物线y^2=8x的焦点坐标为________（4分）【答案】2，

05.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有一名女生参加的选法共有________种（4分）【答案】48

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若|z_1|=|z_2|，则z_1=z_2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例z_1=1，z_2=-

12.函数y=cos|x|是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】cos|x|≠-cos-x，所以不是奇函数

3.若样本数据x_1，x_2，…，x_n的平均数为μ，则数据x_1+a，x_2+a，…，x_n+a的平均数为μ+a（）（2分）【答案】（√）

4.在△ABC中，若a^2+b^2=c^2，则△ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）

5.若fx是偶函数，则fx是奇函数（）（2分）【答案】（√）

五、简答题（每题5分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间（5分）【答案】求导fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈-∞，0时fx0，递增；当x∈0，2时fx0，递减；当x∈2，+∞时fx0，递增所以递增区间为-∞，0和2，+∞，递减区间为0，

22.在△ABC中，若a=√3，b=1，C=30°，求角A和角B的大小（5分）【答案】由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，sinA=asinC/b=√3sin30°/1=√3/2，所以A=60°或120°若A=60°，则B=180°-60°-30°=90°；若A=120°，则B=180°-120°-30°=30°但ba，所以B不能为30°，故A=60°，B=90°

3.求函数fx=x/x^2+1在区间[-1，1]上的最大值和最小值（5分）【答案】求导fx=x^2+1-2x^2/x^2+1^2=1-x^2/x^2+1^2，令fx=0得x=±1，但x=1在区间右端点，x=-1在区间左端点计算f-1=-1，f1=1/2，f0=0，所以最大值为1/2，最小值为-

14.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-n，求a_n的表达式（5分）【答案】当n=1时a_1=S_1=2-1=1，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-n-1]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，所以a_n=2^{n-1}-1（对n=1也成立）

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3+px^2+qx+r在x=1和x=-1处取得极值，且f1=0，求p、q、r的值（10分）【答案】由极值条件得fx=3x^2+2px+q，在x=1处f1=0得3+2p+q=0

①，在x=-1处f1=0得3-2p+q=0

②，联立

①②得p=0，q=-3，又f1=1+p+q+r=0，代入p=0，q=-3得r=2，所以p=0，q=-3，r=

22.某工厂生产甲、乙两种产品，每件利润分别为a元和b元，生产甲产品x件，乙产品y件需满足约束条件x+y≤200x≥60y≥40x,y∈N工厂希望利润最大，但必须保证乙产品数量不少于甲产品数量的1/2，写出线性规划模型并求最优解（10分）【答案】目标函数Z=ax+by约束条件1x+y≤2002x≥603y≥404y≥x/25x,y∈N作出可行域，最优解在顶点处取得，联立x+y=200和y=x/2得x=80，y=120，此时Z=80a+120b，即为最大利润

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求

（1）a_n的表达式；

（2）数列{b_n}，其中b_n=a_nsinπ/n的前n项和T_n（25分）【答案】

（1）当n=1时a_1=S_1=1^2+1=2，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+n-1]=2n，所以a_n=2n（对n=1也成立）

（2）T_n=b_1+b_2+…+b_n=2sinπ/1+4sinπ/2+6sinπ/3+…+2nsinπ/n=2[sinπ/1+2sinπ/2+3sinπ/3+…+nsinπ/n]令fx=xsinπ/x，求导fx=sinπ/x-πxcosπ/x/x^2，当x=1时f1=sinπ-πcosπ=0，且在x=1附近为增函数，所以f1为极小值点，即sinπ/1+2sinπ/2+…+nsinπ/n≈n^2，所以T_n≈n^

32.已知函数fx=x^2+2ax+a^2-1，讨论

（1）a取何值时，fx在区间[-1，3]上单调递增？

（2）若fx在x=2处取得最小值，求a的值及此时fx的最小值；

（3）若fx的最小值为0，求a的值（25分）【答案】

（1）fx在[-1，3]上单调递增，需fx=2x+2a≥0对所有x∈[-1，3]成立，即x≥-a对所有x∈[-1，3]成立，所以-a≤-3，即a≥3

（2）fx在x=2处取得最小值，需对称轴x=-a=2，即a=-2，此时fx=x-2^2-1，最小值为-1

（3）fx的最小值为0，即顶点到x轴距离为0，即Δ=4a^2-4a^2-1=40，且-a=0，即a=0，此时fx=x^2-1，最小值为0---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.A

5.B

6.B

7.C

8.C

9.B

10.D

二、多选题

1.A、C、E

2.A、B、C、D、E

3.A、D

4.A、C

5.D

三、填空题

1.1，+∞

2.-4/

53.±

24.2，

05.48

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.递增区间-∞，0和2，+∞，递减区间0，

22.A=60°，B=90°

3.最大值1/2，最小值-

14.a_n=2^{n-1}-1

六、分析题

1.p=0，q=-3，r=

22.Z=80a+120b，x=80，y=120

七、综合应用题

1.

（1）a_n=2n；

（2）T_n≈n^

32.

（1）a≥3；

（2）a=-2，最小值-1；

（3）a=0。