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高考折桂试题及完整答案
一、单选题（每题2分，共20分）
1.函数fx=x³-3x+2的导数为（）（2分）A.3x²-3B.3x²+3C.3x²-2D.3x²【答案】A【解析】f′x=3x²-
32.若集合A={x|x²-4x+30},B={x|x1},则A∩B等于（）（2分）A.{x|x3}B.{x|x1}C.{x|1x3}D.{x|x1}【答案】C【解析】A={x|x3或x1},A∩B={x|1x3}
3.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=x²C.y=1-xD.y=lnx【答案】C【解析】y=1-x的导数为-1，在0,1上单调递减
4.若cosα+β=1/2,且α∈0,π/2,β∈π/2,π,则sinα-β的值为（）（2分）A.√3/2B.√2/2C.-√3/2D.-√2/2【答案】C【解析】α∈0,π/2,β∈π/2,π,α-β∈-π/2,π/2,sinα-β=-√3/
25.等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,若a₃=7,a₅=13,则S₈等于（）（2分）A.72B.80C.88D.96【答案】B【解析】a₄=10,d=6,a₁=1,S₈=8a₁+28d=
806.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（2分）A.8πB.16πC.24πD.32π【答案】B【解析】该几何体为圆柱，底面半径为2，高为4，V=8π
7.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】fx的最小值为
38.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a²=b²+c²-bc,则角B等于（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】a²=b²+c²-bc⇒cosB=1/2,B=60°
9.下列命题中，为真命题的是（）（2分）A.存在x∈R,使得x²0B.任意x∈R,都有x²≥0C.任意x∈R,都有x²+1=0D.存在x∈R,使得x²+1=0【答案】B【解析】任意实数的平方非负
10.执行下列程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（2分）A.9B.15C.6D.21【答案】A【解析】s=1+3=4+5=9
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若ab,则a²b²B.若ab,则√a√bC.若ab,则1/a1/bD.若ab0,则lnalnb【答案】B、C、D【解析】A不正确，如-1-2但
142.关于x的方程x²+px+q=0有实根的充要条件是（）（4分）A.p²-4q≥0B.q=0C.△=p²-4qD.△≥0【答案】A、D【解析】判别式△=p²-4q≥
03.下列函数中，以π为最小正周期的是（）（4分）A.y=sin2xB.y=cosxC.y=tanxD.y=cos2x【答案】B、D【解析】cosx和cos2x的最小正周期为π
4.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5,则该三角形为（）（4分）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形【答案】C、D【解析】最大角为120°,为钝角三角形
5.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若fx为奇函数,则f0=0B.若fx为偶函数,则f0=0C.若fx为奇函数,则f-x=-fxD.若fx为偶函数,则f-x=fx【答案】C、D【解析】奇函数f0=0不一定成立
三、填空题（每题4分，共32分）
1.若limx→2x²-4/x-2=k,则k=______（4分）【答案】4【解析】分子分母约去x-2,k=
42.函数fx=e^x-1的逆函数为______（4分）【答案】lnx+1【解析】交换x,y解得y=lnx+
13.在等比数列{aₙ}中,若a₂=6,a₄=54,则公比q=______（4分）【答案】3【解析】a₄=a₂q²,54=6q²,q=
34.曲线y=lnx+1在点0,0处的切线方程为______（4分）【答案】y=x【解析】y′=1/x+1,y′|_{x=0}=
15.若sinα+β=1/2,cosα=√3/2,α∈0,π/2,则sinβ=______（4分）【答案】1/2【解析】sinβ=sinα+β-sinα=1/2-1/2=
06.在△ABC中,若a=3,b=2,且C=60°,则c=______（4分）【答案】√7【解析】余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=
77.函数fx=x³-3x+1的极值点为______和______（4分）【答案】-√3,√3【解析】f′x=3x²-3,x=±√
38.某校有学生1000人,其中男生600人,女生400人,现随机抽取3人,则抽到3名女生的概率为______（4分）【答案】1/125【解析】C400,3/C1000,3=1/125
四、判断题（每题2分，共10分）
1.若fx为奇函数,则fx的图像关于原点对称（）（2分）【答案】（√）
2.若a²+b²=1,则a,b中至少有一个为0（）（2分）【答案】（×）【解析】a=1/√2,b=1/√2时成立
3.若数列{aₙ}单调递增,则对任意n都有aₙ+1aₙ（）（2分）【答案】（√）
4.若fx在区间I上可导,则fx在区间I上连续（）（2分）【答案】（√）
5.若x₁,x₂是方程x²-2x+1=0的两根,则x₁+x₂=2（）（2分）【答案】（√）【解析】x₁+x₂=2
五、简答题（每题5分，共15分）
1.求函数fx=x³-6x²+9x+1在区间[-1,5]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值10,最小值-5【解析】f′x=3x²-12x+9,x=1时取极大值10,f-1=-5,f5=11,最小值为-
52.证明若ab0,则√a√b（5分）【证明】令fx=√x在[0,+∞上单调递增,由ab0,得fafb,即√a√b
3.计算定积分∫[0,1]x²dx（5分）【答案】1/3【解析】∫[0,1]x²dx=x³/3|₀¹=1/3
六、分析题（每题12分，共24分）
1.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,且a₁=1,对任意n≥2都有Sₙ=2aₙ-1,
（1）求{aₙ}的通项公式；（6分）
（2）求{aₙ}的所有项的和（6分）【解】
（1）当n≥2时,aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2aₙ-1-2aₙ₋₁-1,即aₙ=2aₙ₋₁,所以{aₙ}是首项为1,公比为2的等比数列,aₙ=2ⁿ⁻¹
（2）Tₙ=a₁+a₂+…+aₙ=1+2+…+2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻
12.已知函数fx=sinx+acosx+b,其中a,b为常数,
（1）若f0=2且fπ/2=1,求a,b的值；（6分）
（2）求fx在[0,π]上的最大值和最小值（6分）【解】
（1）f0=1+a+b=2⇒a+b=1,fπ/2=1+a=1⇒a=0,所以b=1,a=0
（2）fx=sinx+cosx=√2sinx+π/4,在[0,π]上,x+π/4∈[π/4,5π/4],当x=π/4时取极大值√2,当x=5π/4时取极小值-√2
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.某工厂生产一种产品,固定成本为10万元,每件产品的可变成本为20元,市场调查表明,该产品的需求量y万件与价格x元/件满足关系y=40-2x,
（1）写出该产品的利润函数Px的表达式；（12分）
（2）求该产品的定价使得工厂获得最大利润时的定价和最大利润（13分）【解】
（1）收入R=xy=x40-2x=40x-2x²,成本C=10+20y=10+2040-2x=820-40x,利润Px=R-C=-2x²+60x-820
（2）P′x=-4x+60,令P′x=0⇒x=15,P15=80万元当x=15时,y=10万件0,符合实际,所以定价15元/件时利润最大,最大利润80万元
2.已知函数fx=x³-3x²+2x+1,
（1）求fx的单调区间和极值；（12分）
（2）讨论方程fx=kx的解的个数（13分）【解】
（1）f′x=3x²-6x+2=3x-1²-1,令f′x=0⇒x=1±√3/3,当x∈-∞,1-√3/3时,f′x0,单调递增,当x∈1-√3/3,1+√3/3时,f′x0,单调递减,当x∈1+√3/3,+∞时,f′x0,单调递增,f1-√3/3=3-√3,f1+√3/3=3+√3
（2）令gx=fx-kx=x³-3+kx²+2x+1,g′x=3x²-6+kx+2,判别式△=6+k²-24=k-3²,
①k=3时,g′x=3x-1²≥0,有1解,
②k≠3时,设g′x=0的两根为x₁,x₂,当k3时,x₁x₂,x₁+x₂=2-k0,x₁x₂=20,gx在-∞,x₁,x₂,+∞上单调递增,在x₁,x₂上单调递减,gx₁gx₂,有3解,当k3时,x₁x₂,x₁+x₂=2-k0,x₁x₂=20,gx在-∞,x₁和x₂,+∞上单调递增,在x₁,x₂上单调递减,gx₁gx₂,有1解标准答案
一、单选题
1.A
2.C
3.C
4.C
5.B
6.B
7.B
8.C
9.B
10.A
二、多选题
1.B、C、D
2.A、D
3.B、D
4.C、D
5.C、D
三、填空题
1.
42.lnx+
13.
34.y=x
5.1/
26.√
77.-√3,√
38.1/125
四、判断题
1.√
2.×
3.√
4.√
5.√
五、简答题
1.最大值10,最小值-
52.证明见解析
3.1/3
六、分析题
1.
（1）aₙ=2ⁿ⁻¹
（2）2ⁿ⁻
12.
（1）a=0,b=1
（2）最大值√2,最小值-√2
七、综合应用题
1.
（1）Px=-2x²+60x-820
（2）定价15元/件,最大利润80万元
2.
（1）见解析
（2）见解析。
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