高考数学必做试题及详细答案解析

高考数学必做试题及详细答案解析

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=2ˣ【答案】D【解析】y=2ˣ是指数函数，在定义域内单调递增

2.若复数z满足z²=1，则z的取值范围是（）（1分）A.{1}B.{-1}C.{1,-1}D.空集【答案】C【解析】z²=1的解为z=±

13.直线y=kx+3与圆x-1²+y-2²=4相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k1B.k3C.k∈-1,1D.k∈-3,3【答案】C【解析】直线与圆相交，判别式Δ0，解得k∈-1,

14.设函数fx=sinωx+φ，若f0=1且fπ/2=0，则φ的值为（）（2分）A.π/6B.π/3C.π/2D.2π/3【答案】A【解析】由f0=1得sinφ=1，φ=π/2+2kπ；由fπ/2=0得sinωπ/2+φ=0，解得φ=π/

65.设集合A={x|x²-3x+20}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值范围是（）（2分）A.a0B.a0C.a∈-∞,0∪0,∞D.a∈-∞,-1∪1,∞【答案】C【解析】A={x|x2或x1}，若B⊆A，则a≠0且1/a2或1/a1，即a∈-∞,0∪0,1/

26.若向量a=1,2，b=3,-4，则向量a+b的模长为（）（1分）A.√5B.√10C.√17D.5【答案】C【解析】|a+b|=√1+3²+2-4²=√

177.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.31【答案】B【解析】i=1,3,5时，s=1+3+5=9；i=7时退出，最终s=

88.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理a²+b²-c²=2abcosC，代入已知条件得cosC=1/

29.若数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且aₙ=Sₙ/Sₙ₋₁n≥2，a₁=1，则a₄的值为（）（2分）A.1/3B.1/4C.1/5D.1/6【答案】D【解析】aₙ=Sₙ/Sₙ₋₁n≥2⇒aₙ=aₙ₋₁/n-1，累乘得a₄=1/

610.若函数fx=x³-3x+m在x=1处取得极值，则m的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x²-3，x=1时f1=0，代入f1=1-3+m=0得m=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）A.空集是任何集合的子集B.若A∩B=A，则A⊆BC.若ab，则a²b²D.若fx是奇函数，则f0=0E.若直线l₁//l₂，l₂//l₃，则l₁//l₃【答案】A、B、E【解析】C错，如a=1b=-2；D错，fx可取f0不存在

2.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）A.y=-lnxB.y=x³C.y=1-xD.y=eˣE.y=1/x²【答案】A、C、E【解析】B、D在0,1上单调递增

3.已知函数fx满足fx+1=fx+1，f0=1，则以下结论正确的是（）A.fx是奇函数B.fx是周期函数C.fx=x+1D.fx的图像关于点1/2,1/2中心对称E.fx在R上单调递增【答案】C、E【解析】fx=fx-1+1⇒fx=x+1，fx为奇函数和周期函数的结论错误

4.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的形状的有（）A.三边长a,b,c满足a²=b²+c²B.∠A=60°，a=1，b=√3C.∠B=45°，∠C=60°D.a:b:c=3:4:5E.边长a=2，b=3，c=4【答案】A、B、C、D【解析】E中a²+b²=c²，△ABC为直角三角形

5.关于数列{aₙ}，下列说法正确的有（）A.若{aₙ}是等差数列，则{aₙ²}也是等差数列B.若{aₙ}是等比数列，则{aₙ}的任意子数列也是等比数列C.若{aₙ}是单调递增数列，则{aₙ}的前n项和Sₙ也是单调递增D.若{aₙ}是递推数列，且aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂，则{aₙ}是斐波那契数列E.若{aₙ}是等差数列，则{aₙ}的极限存在【答案】B、E【解析】A错，如aₙ=n，aₙ²=n²不是等差数列；C错，如aₙ=-1,-2,-3,...；D错，需初始条件

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知函数fx=2cos²x-3sinx+1，则fx的最小值为______【答案】-2【解析】fx=21-sin²x-3sinx+1=-2sin²x-3sinx+3=-2sinx+3/4²+15/8，当sinx=-3/4时取最小值-

22.直线y=3x+1与圆x-2²+y-3²=4相交，则两交点之间的距离为______【答案】2√5【解析】圆心2,3到直线距离d=|6-3+1|/√3²+1²=4/√10，两交点间距离为2√r²-d²=2√4-16/10=2√

53.若复数z=1+i，则z³的实部为______【答案】-2【解析】z³=1+i³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=-2+2i，实部为-

24.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA的值为______【答案】-3/10【解析】由正弦定理a:b:c=3:4:5，设a=3k,b=4k,c=5k，cosA=b²+c²-a²/2bc=-7k²/40k²=-7/40，同理cosB=-3/20,cosC=-1/8，则cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=-3/

105.设函数fx=|x-1|+|x+2|，则fx的最小值为______【答案】3【解析】fx图像为折线，在x=-2和x=1处取得最小值，f-2=3,f1=

36.数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅的值为______【答案】31【解析】a₂=3,a₃=7,a₄=15,a₅=

317.执行以下程序段后，变量p的值为______i=1;p=0;whilei=10dop=p+ii;i=i+1;endwhile【答案】385【解析】p=1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=

3858.已知圆C₁x²+y²=1和圆C₂x-3²+y²=4相切，则两圆的切点到原点的距离为______【答案】√10【解析】圆心距为4，半径和为3，切点在两圆心连线上，切点到原点距离为√3²+1²=√10

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a²b²（）【答案】（×）【解析】反例a=1b=-2，但a²=1b²=

42.若函数fx在x=x₀处取得极值，则fx₀=0（）【答案】（×）【解析】fx在x₀处可导且取得极值⇒fx₀=0，但fx在x₀处不可导也可能取得极值

3.若向量a=1,2，b=3,-4，则a·b=0（）【答案】（×）【解析】a·b=1×3+2×-4=-5≠

04.若直线l₁//l₂，则l₁与l₂无交点（）【答案】（×）【解析】l₁与l₂可能重合，有无数个交点

5.若数列{aₙ}是等差数列，则{aₙ²}也是等差数列（）【答案】（×）【解析】反例aₙ=n，aₙ²=n²不是等差数列

6.若A⊆B，则A∩B=A（）【答案】（√）【解析】根据集合交的定义，A∩B包含A的所有元素，即A⊆A∩B，结合A⊆B得A⊆A∩B⊆B，所以A∩B=A

7.若fx是奇函数，则fx的图像关于原点对称（）【答案】（√）【解析】根据奇函数定义f-x=-fx，其图像关于原点对称

8.若数列{aₙ}单调递增，则{aₙ}的前n项和Sₙ单调递增（）【答案】（×）【解析】反例aₙ=1/n，单调递增，但Sₙ=1-1/2+1/3-...+-1^n-1/n单调递减

9.若fx是周期函数，则fx的图像是一条直线（）【答案】（×）【解析】反例fx=sinx是周期函数，但图像是曲线

10.若直线y=kx+b与圆x-1²+y-2²=4相交于两点，则k的取值范围是全体实数（）【答案】（×）【解析】直线与圆相交⇒Δ0，解得k∈-1,1

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若a0，则x→∞时，x+a/x→1【证明】x+a/x=1+a/x，当x→∞时，a/x→0，所以x+a/x→

12.求函数fx=|x-1|+|x+2|在[-3,3]上的最大值和最小值【解】fx图像为折线，分段函数fx=x+3-3≤x-1fx=3-1≤x≤1fx=-x+11x≤3最小值f-1=f1=3，最大值f-3=0+3=

33.设函数fx=x³-3x²+2，求fx的极值点【解】fx=3x²-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2fx=6x-6，f0=-60⇒x=0为极大值点；f2=60⇒x=2为极小值点

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=sin²x+2cosx-1，求fx的最小正周期，并求fx在[0,2π]上的最大值和最小值【解】fx=1-cos²x+2cosx-1=-cos²x+2cosx=-（cosx-1）²+1最小正周期T=2π令t=cosx∈[-1,1]，gt=-t²+2t=-t-1²+1当cosx=1时，即x=0时，fx取最大值1；当cosx=-1/2时，即x=2π/3或4π/3时，fx取最小值-3/

42.在△ABC中，若a²+b²-c²=ab，且∠C=60°，求证△ABC为等腰三角形【证明】由余弦定理a²+b²-c²=2abcosC，代入已知条件得abcosC=ab⇒cosC=1⇒C=0°，矛盾改证由a²+b²-c²=ab⇒2abcosC=ab⇒cosC=1/2⇒C=60°又∠C=60°，a²+b²=c²⇒△ABC为直角三角形，且∠C=60°⇒∠A=∠B=60°，所以△ABC为等边三角形

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产A、B两种产品，每生产1吨A产品需消耗原料x吨，每生产1吨B产品需消耗原料y吨，已知x+y=10，工厂每周原料供应量不超过8吨，且每吨A产品利润为m元，每吨B产品利润为n元，若m+n=12，求工厂每周的最大可能利润【解】设每周生产A产品a吨，B产品b吨，利润P=ma+nb约束条件x+y=10⇒a+b=10原料限制ax+by≤8m+n=12⇒P=ma+nb=12b+a目标maxP=12b+a由a+b=10⇒a=10-b代入P=12b+10-b=11b+10原料限制bx+by≤8⇒bx+y≤8⇒10b≤8⇒b≤4/5当b=4/5时，a=6，P=11×4/5+10=

26.8最大利润为

26.8元，此时a=6,b=4/

52.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=paₙ+q，其中p0,q0，且数列{bₙ}满足bₙ=aₙ/Sₙ，其中Sₙ为数列{aₙ}的前n项和，求证数列{bₙ}为等比数列【证明】Sₙ=a₁+a₂+...+aₙSₙ₊₁=a₁+a₂+...+aₙ+aₙ₊₁Sₙ₊₁-Sₙ=aₙ₊₁=paₙ+qbₙ=aₙ/Sₙ⇒bₙ₊₁=aₙ₊₁/Sₙ₊₁=paₙ+q/Sₙ₊₁bₙ₊₁/bₙ=paₙ+q/Sₙ₊₁÷aₙ/Sₙ=paₙ+qSₙ/aₙSₙ₊₁=pSₙ+qSₙ/aₙ/Sₙ₊₁=pSₙ+qSₙ/aₙ/Sₙ+aₙ₊₁=pSₙ+qSₙ/aₙ/Sₙ+paₙ+q=pSₙ+qSₙ/aₙ/Sₙ+paₙ+q=pSₙ+qSₙ/aₙ/Sₙ+paₙ+q=pSₙ+qSₙ/aₙ/Sₙ+paₙ+q=q/p所以bₙ₊₁/bₙ为常数，数列{bₙ}为等比数列，公比为q/p。