高考数学综合模拟试题及详细答案

高考数学综合模拟试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=2}，则集合A与B的关系是（）（2分）A.A⊂BB.A⊇BC.A=BD.A∩B=∅【答案】C【解析】集合A解得x=1或x=2，即A={1,2}，B={1,2}，所以A=B

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.-3B.1C.3D.0【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为

33.已知向量a=1,2，b=-3,4，则向量a·b等于（）（2分）A.-11B.11C.5D.-5【答案】B【解析】a·b=1×-3+2×4=

114.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】y=sin2x+cos2x=√2sin2x+π/4，最小正周期为π

5.若复数z=1+i，则z^2等于（）（2分）A.2iB.-2C.0D.2【答案】B【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=2i-1=-

26.抛物线y^2=2px（p0）的焦点到准线的距离是（）（2分）A.pB.2pC.p/2D.2p^2【答案】A【解析】焦点为p/2,0，准线为x=-p/2，距离为p

7.若等差数列{a_n}中，a_1=2，a_3=6，则a_5等于（）（2分）A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】a_3=a_1+2d，d=2，a_5=a_1+4d=

128.三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=√2，则边BC等于（）（2分）A.1B.√3C.2D.√2【答案】D【解析】由正弦定理BC=AC·sinB/sinA=√2·√2/√3=√

29.若函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a等于（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-a，f1=3-a=0，a=

310.某校有1000名学生，随机抽取100名学生进行调查，则样本容量是（）（2分）A.1000B.100C.10D.1【答案】B【解析】样本容量为100

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=sinβ，则α=βD.若A⊆B，则C∩A⊆C∩B【答案】A、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=1b=-2；C错误，α=π-β时也成立；D正确，交集运算保持包含关系

2.以下函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（4分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=lnx【答案】A、C【解析】A导数为-20，单调递减；B导数为2x0，单调递增；C导数为-1/x^20，单调递减；D导数为1/x0，单调递增

3.以下图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等边三角形B.平行四边形C.圆D.等腰梯形【答案】A、C、D【解析】等边三角形、圆、等腰梯形是轴对称图形；平行四边形不是

4.以下命题中，属于真命题的有（）（4分）A.若ab，则sinαsinβB.若向量a与b共线，则a·b=|a||b|C.若三角形ABC三边长为

3、

4、5，则它是直角三角形D.若fx是奇函数，则f0=0【答案】C【解析】C正确，3^2+4^2=5^2；A错误，如α=π/2β=π/4但sinα=sinβ；B错误，若a与b反向则a·b=-|a||b|；D错误，f0=0不一定成立

5.以下不等式成立的有（）（4分）A.-3^2-2^2B.3^03^1C.√22D.log_28log_24【答案】C、D【解析】C正确，√2≈

1.4142；D正确，log_28=3log_24=2；A错误，-3^2=9-2^2=4；B错误，3^0=13^1=3

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若直线y=kx+1与圆x^2+y^2=5相切，则k的值为______（4分）【答案】±2√5/5【解析】圆心0,0到直线的距离d=|1|/√1+k^2=√5，解得k=±2√5/

52.等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_3等于______（4分）【答案】±4√2【解析】q^3=16，q=2或q=-2，a_3=a_1q^2=±4√

23.函数fx=tanπ/4-x的图像关于______对称（4分）【答案】π/4,0【解析】y=tanπ/4-x是y=tanπ/4+x关于x=π/4对称的

4.某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名，随机抽取3名学生，抽到至少2名女生的概率为______（4分）【答案】1/3【解析】P=20C_2×40C_1/60C_3=1/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-1b=-2，但√a无意义

2.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】如狄利克雷函数在R上单调递增但处处不连续

3.若复数z满足|z|=1，则z^2一定是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】设z=a+bi，|z|=1即a^2+b^2=1，z^2=a^2-b^2+2abi，虚部为0时为实数

4.若三角形ABC三边长为a、b、c，满足a^2+b^2=c^2，则∠C一定是直角（）（2分）【答案】（√）【解析】这是勾股定理的逆定理

5.若事件A与B互斥，则PA∪B=PA+PB（）（2分）【答案】（√）【解析】互斥事件表示A与B不能同时发生

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最小值3，最大值5【解析】fx分段函数为fx=-2x-1,x-23,-2≤x≤12x+1,x1在x=-2处fx=3，x=1处fx=3，x=-3处fx=5，x=3处fx=5，故最小值3，最大值

52.求不等式|x-1|2的解集（4分）【答案】-1,3【解析】x-1-2且x-12，解得-1x3，即-1,

33.已知向量a=1,2，b=3,-4，求向量a与b的夹角余弦值（4分）【答案】-7/√85【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×3+2×-4/√5√17=-7/√85

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间和极值（10分）【答案】

（1）fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1令fx=0得x=1±√3/3

（2）单调性当x∈-∞,1-√3/3时，fx0，单调递增当x∈1-√3/3,1+√3/3时，fx0，单调递减当x∈1+√3/3,+∞时，fx0，单调递增

（3）极值f1-√3/3=2+2√3/3（极大值）f1+√3/3=2-2√3/3（极小值）

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求通项公式a_n（10分）【答案】

（1）当n=1时，a_1=S_1=1

（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}-1=2^{n-1}

（3）验证n=1时成立，故a_n=2^{n-1}（n∈N）

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知A1,2，B3,0，C2,-1，求△ABC的面积（25分）【答案】

（1）向量法向量AB=2,-2，向量AC=1,-3S_△ABC=1/2|AB×AC|=1/2|2×-3--2×1|=5

（2）坐标法设BC中点D5/2,-1/2S_△ABC=1/2×|x_Ay_B-y_C-x_By_C-y_A+x_Cy_A-y_B|=1/2×|10+1-3-1-2+22-0|=5

（3）公式法底BC长度为√1^2+1^2=√2高h=2×5/√2=5S_△ABC=1/2×√2×5=

52.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品利润10元，每件B产品利润8元，生产每件A产品需消耗原料甲3kg，乙2kg；生产每件B产品需消耗原料甲1kg，乙3kg工厂现有原料甲50kg，乙60kg，问如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少？（25分）【答案】

（1）设生产A产品x件，B产品y件约束条件3x+y≤502x+3y≤60x,y≥0

（2）目标函数z=10x+8y

（3）可行域交点由3x+y=50和2x+3y=60联立解得x=15，y=5

（4）检验当x=15，y=5时，z=10×15+8×5=190其他顶点A0,20，z=0B10,10，z=140C15,5，z=190

（5）结论最大利润为190元，生产A产品15件，B产品5件。