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2018CMO数学竞赛试题及答案详情
一、单选题（每题2分，共20分）
1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+1=0}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（）A.[1,2]B.[-1,3]C.[0,3]D.[-1,2]【答案】D【解析】A={1,2}，因为A∪B=A，所以B⊆A考虑B的解集情况，B的判别式Δ=m^2-4，若Δ0，则B为空集，满足条件；若Δ≥0，则B的解必须为1或2，解得m=-1或2综上，m的取值范围是[-1,2]
2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.2D.0【答案】B【解析】函数fx在x=-2处取得值3，在x=1处取得值3，因此最小值为
33.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则cosC的值是（）A.-5/6B.5/6C.-1/6D.1/6【答案】A【解析】由cosA=1/2，cosB=1/3，得sinA=√3/2，sinB=2√2/3利用sinC=sinA+B，得sinC=√3/21/3+2√2/3√3/2=√6/6+√3/6=√6/3因此cosC=-√5/6，即-5/
64.方程x^2+px+q=0的两个根的平方和为2，则p、q的关系是（）A.p^2=2q+1B.p^2=2q-1C.p^2=2qD.p^2=2q-2【答案】A【解析】设方程的两个根为x1和x2，则x1+x2=-p，x1x2=q由x1+x2^2=x1^2+x2^2+2x1x2，得p^2=x1^2+x2^2+2q因为x1^2+x2^2=2，所以p^2=2+2q，即p^2=2q+
15.在等比数列{an}中，若a1+a2=6，a2+a3=18，则a4的值是（）A.54B.108C.162D.243【答案】B【解析】设公比为q，则a2=a1q，a3=a1q^2由a1+a2=6和a2+a3=18，得a11+q=6，a1q1+q=18解得q=2，a1=2因此a4=a1q^3=22^3=
166.函数y=3sin2x+π/3的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】函数y=Asinωx+φ的最小正周期为T=2π/|ω|因此y=3sin2x+π/3的最小正周期为π
7.若复数z=1+i，则|z|^2的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】|z|^2=|1+i|^2=1^2+1^2=
28.抛掷两个骰子，点数之和大于9的概率是（）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36【答案】A【解析】点数之和大于9的情况有4,
6、5,
5、6,4，共3种，因此概率为3/36=1/
129.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x-y+1=0对称的点的坐标是（）A.2,1B.1,2C.-1,4D.3,0【答案】C【解析】点A关于直线x-y+1=0对称的点的坐标可以通过解方程组得到，解得-1,
410.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，则fx在x=1处的切线方程是（）A.y=xB.y=-xC.y=2x-1D.y=-2x+3【答案】C【解析】fx=3x^2-6x+2，f1=3-6+2=-1，f1=1^3-31^2+21=0因此切线方程为y=-x+1，即y=x-1
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列函数中，在区间0,π上单调递增的是（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=tanxD.y=lnx【答案】A、C【解析】y=sinx在0,π/2上单调递增，y=tanx在0,π上单调递增
2.若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC可能是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B、D【解析】满足a^2+b^2=c^2的三角形是直角三角形，可能是等腰直角三角形
3.下列不等式成立的是（）A.log_23log_24B.e^2e^3C.sinπ/6sinπ/3D.√2√3【答案】C【解析】log_23log_24，e^2e^3，sinπ/6sinπ/3，√2√
34.下列命题中，真命题是（）A.若ab，则a^2b^2B.若x^2=1，则x=1C.若ab，则1/a1/bD.若sinθ=1/2，则θ=π/6【答案】C【解析】若ab，则1/a1/b；若x^2=1，则x=1或x=-1；若sinθ=1/2，则θ=π/6或θ=5π/
65.下列数列中，是等差数列的是（）A.a_n=n^2B.a_n=2n+1C.a_n=3^nD.a_n=5-2n【答案】B、D【解析】a_n=2n+1是等差数列，a_n=5-2n是等差数列
三、填空题（每题4分，共20分）
1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，则a_10的值是________【答案】26【解析】由a_5=a_1+4d，得14=2+4d，解得d=3因此a_10=2+93=
292.函数fx=|x-1|+|x+2|的值域是________【答案】[3,+∞【解析】函数fx的最小值为3，因此值域为[3,+∞
3.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值是________【答案】4/5【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/245=32/40=4/
54.方程x^2+px+q=0的两个根的平方和为2，则p^2-2q的值是________【答案】-1【解析】由x1^2+x2^2=2，得p^2=x1^2+x2^2+2q=2+2q因此p^2-2q=
25.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_7的值是________【答案】64【解析】由a_4=a_1q^3，得16=1q^3，解得q=2因此a_7=12^6=64
四、判断题（每题2分，共10分）
1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】例如，若a=-1，b=-2，则ab，但a^2=1，b^2=4，所以a^2b^
22.函数y=sinx在区间0,π上是增函数（）【答案】（×）【解析】函数y=sinx在0,π/2上是增函数，在π/2,π上是减函数
3.若复数z=a+bi，则|z|^2=a^2+b^2（）【答案】（√）【解析】复数z=a+bi的模长为|z|=√a^2+b^2，因此|z|^2=a^2+b^
24.抛掷三个硬币，出现两个正面的概率是1/8（）【答案】（×）【解析】出现两个正面的概率是C3,21/2^21/2^1=3/
85.若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是直角三角形（）【答案】（√）【解析】满足a^2+b^2=c^2的三角形是直角三角形
五、简答题（每题4分，共12分）
1.求函数fx=x^3-3x^2+2x的极值【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3当x=1-√3/3时，fx取极大值；当x=1+√3/3时，fx取极小值
2.求不定积分∫x^2+1/x^2-1dx【答案】∫x^2+1/x^2-1dx=∫1+2/x^2-1dx=x+∫2/x^2-1dx=x+∫1/x-1-1/x+1dx=x+ln|x-1|-ln|x+1|+C
3.求极限limx→0sinx/x【答案】limx→0sinx/x=1
六、分析题（每题10分，共20分）
1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3计算f-1=0，f1-√3/3=4+2√3/3，f1+√3/3=4-2√3/3，f3=0因此最大值为4+2√3/3，最小值为-
12.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx在区间[-1,3]上的拐点【答案】fx=6x-6，令fx=0，得x=1计算f1=0，因此拐点为1,0
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求cosA、cosB、cosC的值，并判断三角形ABC的类型【答案】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16+25-9/245=4/5，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/235=12/30=2/5，cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=9+16-25/234=-2/24=-1/12因此三角形ABC是直角三角形
2.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求a_{10}的值，并求前10项的和【答案】由a_5=a_1+4d，得14=2+4d，解得d=3因此a_{10}=2+93=29前10项的和S_{10}=10/222+93=10/24+27=10/231=155---标准答案
一、单选题
1.D
2.B
3.A
4.A
5.B
6.A
7.C
8.A
9.C
10.C
二、多选题
1.A、C
2.B、D
3.C
4.C
5.B、D
三、填空题
1.
262.[3,+∞
3.4/
54.-
15.64
四、判断题
1.（×）
2.（×）
3.（√）
4.（×）
5.（√）
五、简答题
1.极大值在x=1-√3/3处，极小值在x=1+√3/3处
2.∫x^2+1/x^2-1dx=x+ln|x-1|-ln|x+1|+C
3.limx→0sinx/x=1
六、分析题
1.最大值为4+2√3/3，最小值为-
12.拐点为1,0
七、综合应用题
1.cosA=4/5，cosB=2/5，cosC=-1/12，三角形ABC是直角三角形
2.a_{10}=29，前10项的和S_{10}=155。
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