NOIP组合专项试题及标准答案呈现

NOIP组合专项试题及标准答案呈现

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个集合运算结果为{1,2,3}∪{2,3,4}？（）A.{1,4}B.{1,2,3,4}C.{2,3}D.{1,2,3,4}【答案】B【解析】集合的并集包含两个集合中的所有元素，不重复，所以{1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}

2.在组合数学中，Cn,k表示的是（）A.从n个不同元素中取k个元素的排列数B.从n个不同元素中取k个元素的组合数C.从n个相同元素中取k个元素的排列数D.从n个相同元素中取k个元素的组合数【答案】B【解析】Cn,k表示从n个不同元素中取k个元素的组合数，不考虑顺序

3.若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A×B中的元素个数为（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】A×B表示集合A和集合B的笛卡尔积，元素个数为m×n，这里为3×4=

124.下列哪个是正确的组合恒等式？（）A.Cn,k=Cn,n-kB.Cn,k=Cn,k-1+Cn-1,kC.Cn,k=k×Cn-1,k-1D.Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-1【答案】A【解析】组合恒等式Cn,k=Cn,n-k是正确的，其他选项不是组合恒等式

5.在组合数学中，排列与组合的主要区别在于（）A.排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序B.排列不考虑元素的顺序，组合考虑元素的顺序C.排列和组合都考虑元素的顺序D.排列和组合都不考虑元素的顺序【答案】A【解析】排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序

6.若从5名男生和4名女生中选出3名代表，则不同的选法有（）种A.C9,3B.P9,3C.C5,3×C4,3D.P5,3×P4,3【答案】A【解析】这是一个组合问题，不考虑顺序，所以用组合数C9,

37.在组合数学中，鸽巢原理又称为（）A.加法原理B.乘法原理C.鸽巢原理D.排列组合原理【答案】C【解析】鸽巢原理又称为鸽巢原理，是组合数学中的一个基本原理

8.若Cn,2=10，则n的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】Cn,2=nn-1/2=10，解得n=

59.在组合数学中，斯特林数表示的是（）A.从n个不同元素中取k个元素的排列数B.从n个不同元素中取k个元素的组合数C.将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数D.将n个不同元素排成k行的方案数【答案】C【解析】斯特林数表示将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数

10.在组合数学中，伯努利数主要用于（）A.排列问题B.组合问题C.概率问题D.数论问题【答案】C【解析】伯努利数主要用于概率问题，特别是在二项式系数的加权平均中

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是组合数学的应用领域？（）A.概率论B.图论C.编码理论D.统计学E.密码学【答案】A、B、C、D、E【解析】组合数学在概率论、图论、编码理论、统计学和密码学等领域都有广泛应用

2.下列哪些是组合恒等式？（）A.Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-1B.Cn,k=Cn,n-kC.Cn,0=Cn,n=1D.Cn,k=k×Cn-1,k-1E.Cn,k+Cn,k+1=Cn+1,k+1【答案】A、B、C、E【解析】这些都是组合恒等式，D选项不是组合恒等式

3.在组合数学中，排列和组合的区别在于（）A.排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序B.排列不考虑元素的顺序，组合考虑元素的顺序C.排列和组合都考虑元素的顺序D.排列和组合都不考虑元素的顺序【答案】A【解析】排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序

4.以下哪些是组合数学中的基本原理？（）A.加法原理B.乘法原理C.鸽巢原理D.排列组合原理E.斯特林数原理【答案】A、B、C【解析】加法原理、乘法原理和鸽巢原理是组合数学中的基本原理

5.在组合数学中，二项式系数的性质包括（）A.Cn,k=Cn,n-kB.Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-1C.Cn,0=Cn,n=1D.Cn,k=k×Cn-1,k-1E.Cn,k+Cn,k+1=Cn+1,k+1【答案】A、B、C、E【解析】这些都是二项式系数的性质

三、填空题（每题4分，共32分）

1.从n个不同元素中取k个元素的排列数记作______【答案】Pn,k【解析】排列数记作Pn,k

2.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A×B中的元素个数为______【答案】12【解析】A×B中的元素个数为3×4=

123.组合恒等式Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-1通常称为______【答案】帕斯卡恒等式【解析】组合恒等式Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-1通常称为帕斯卡恒等式

4.在组合数学中，鸽巢原理又称为______【答案】鸽巢原理【解析】鸽巢原理又称为鸽巢原理

5.若Cn,2=10，则n的值为______【答案】5【解析】Cn,2=nn-1/2=10，解得n=

56.在组合数学中，斯特林数表示的是______【答案】将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数【解析】斯特林数表示将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数

7.在组合数学中，伯努利数主要用于______【答案】概率问题【解析】伯努利数主要用于概率问题

8.在组合数学中，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B中的元素个数为______【答案】4【解析】A∪B中的元素个数为3（来自A）+1（来自B的新元素）=4

四、判断题（每题2分，共20分）

1.组合数学主要研究元素的排列和组合问题（）【答案】（√）【解析】组合数学主要研究元素的排列和组合问题

2.排列和组合都考虑元素的顺序（）【答案】（×）【解析】排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序

3.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A×B中的元素个数为6（）【答案】（×）【解析】A×B中的元素个数为3×4=

124.组合恒等式Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-1通常称为帕斯卡恒等式（）【答案】（√）【解析】组合恒等式Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-1通常称为帕斯卡恒等式

5.在组合数学中，鸽巢原理又称为鸽巢原理（）【答案】（√）【解析】鸽巢原理又称为鸽巢原理

6.若Cn,2=10，则n的值为5（）【答案】（√）【解析】Cn,2=nn-1/2=10，解得n=

57.在组合数学中，斯特林数表示的是将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数（）【答案】（√）【解析】斯特林数表示将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数

8.在组合数学中，伯努利数主要用于概率问题（）【答案】（√）【解析】伯努利数主要用于概率问题

9.集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B中的元素个数为4（）【答案】（√）【解析】A∪B中的元素个数为3（来自A）+1（来自B的新元素）=

410.排列数记作Pn,k（）【答案】（√）【解析】排列数记作Pn,k

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述组合数学中排列与组合的区别【答案】排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序排列问题中元素的顺序是重要的，而组合问题中元素的顺序是不重要的

2.简述组合数学中鸽巢原理的应用【答案】鸽巢原理在组合数学中有广泛应用，特别是在证明存在性问题中例如，可以用来证明在任何一组n个正整数中，总有两个数的差不小于n/k-

13.简述组合数学中伯努利数的主要用途【答案】伯努利数主要用于概率问题，特别是在二项式系数的加权平均中例如，伯努利数可以用来计算二项式系数的均值和方差

4.简述组合数学中斯特林数的主要用途【答案】斯特林数主要用于划分问题，即计算将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数例如，可以用来计算将一群人分成若干小组的不同方法数

5.简述组合数学中二项式系数的主要性质【答案】二项式系数的主要性质包括Cn,k=Cn,n-k、Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-

1、Cn,0=Cn,n=1和Cn,k+Cn,k+1=Cn+1,k+1

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析组合数学在计算机科学中的应用【答案】组合数学在计算机科学中有广泛应用，特别是在算法设计和分析、计算机图形学、密码学等领域例如，算法设计中常用组合数学方法来分析算法的复杂度和寻找最优解；计算机图形学中用组合数学方法来生成和处理几何图形；密码学中用组合数学方法来设计加密和解密算法

2.分析组合数学在教育中的重要性【答案】组合数学在教育中具有重要性，它不仅可以帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力，还可以帮助学生理解数学的基本概念和方法组合数学还可以帮助学生将数学知识应用于实际问题中，提高学生的实际应用能力

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.从5名男生和4名女生中选出3名代表，要求至少有1名女生，问不同的选法有多少种？【答案】首先，计算没有限制条件的选法总数，即从9人中选3人，C9,3=84种然后，计算没有女生的选法总数，即从5名男生中选3人，C5,3=10种因此，至少有1名女生的选法总数为84-10=74种

2.将7个不同的球放入4个不同的盒子里，问每个盒子至少有一个球的放法有多少种？【答案】首先，计算没有任何限制条件的放法总数，即7个球的排列数，P7,4=7×6×5×4=840种然后，计算至少有一个盒子为空的放法总数，即7个球中选4个球放入4个盒子，C7,4=35种因此，每个盒子至少有一个球的放法总数为840-35=805种

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.C

4.A

5.A

6.A

7.C

8.B

9.C

10.C

二、多选题

1.A、B、C、D、E

2.A、B、C、E

3.A

4.A、B、C

5.A、B、C、E

三、填空题

1.Pn,k

2.

123.帕斯卡恒等式

4.鸽巢原理

5.

56.将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数

7.概率问题

8.4

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

6.（√）

7.（√）

8.（√）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序排列问题中元素的顺序是重要的，而组合问题中元素的顺序是不重要的

2.鸽巢原理在组合数学中有广泛应用，特别是在证明存在性问题中例如，可以用来证明在任何一组n个正整数中，总有两个数的差不小于n/k-

13.伯努利数主要用于概率问题，特别是在二项式系数的加权平均中例如，伯努利数可以用来计算二项式系数的均值和方差

4.斯特林数主要用于划分问题，即计算将n个不同元素划分为k个非空子集的方案数例如，可以用来计算将一群人分成若干小组的不同方法数

5.二项式系数的主要性质包括Cn,k=Cn,n-k、Cn,k=Cn-1,k+Cn-1,k-

1、Cn,0=Cn,n=1和Cn,k+Cn,k+1=Cn+1,k+1

六、分析题

1.组合数学在计算机科学中有广泛应用，特别是在算法设计和分析、计算机图形学、密码学等领域例如，算法设计中常用组合数学方法来分析算法的复杂度和寻找最优解；计算机图形学中用组合数学方法来生成和处理几何图形；密码学中用组合数学方法来设计加密和解密算法

2.组合数学在教育中具有重要性，它不仅可以帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力，还可以帮助学生理解数学的基本概念和方法组合数学还可以帮助学生将数学知识应用于实际问题中，提高学生的实际应用能力

七、综合应用题

1.从5名男生和4名女生中选出3名代表，要求至少有1名女生，问不同的选法有多少种？答案为74种

2.将7个不同的球放入4个不同的盒子里，问每个盒子至少有一个球的放法有多少种？答案为805种。