中职椭圆综合试题及答案详解

中职椭圆综合试题及答案详解

一、单选题（每题2分，共20分）

1.椭圆的标准方程为\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\（ab0），则椭圆的焦点在（）（2分）A.x轴上B.y轴上C.任意轴上D.不确定【答案】A【解析】椭圆的标准方程\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\（ab0）中，焦点在x轴上

2.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的离心率为（）（2分）A.\\frac{1}{2}\B.\\frac{3}{4}\C.\\frac{5}{4}\D.\\frac{4}{3}\【答案】B【解析】椭圆的离心率e=\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\

3.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的焦距为（）（2分）A.\2a\B.\2b\C.\2\sqrt{a^2-b^2}\D.\\sqrt{a^2+b^2}\【答案】C【解析】椭圆的焦距为\2c\，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}\

4.椭圆\\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\上一点P到左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）（2分）A.1B.3C.4D.5【答案】B【解析】椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为2a，即2×3=6，已知到左焦点的距离为2，则到右焦点的距离为

45.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的准线方程为（）（2分）A.\x=±\frac{a^2}{c}\B.\y=±\frac{b^2}{c}\C.\x=±\frac{a}{c}\D.\y=±\frac{b}{c}\【答案】A【解析】椭圆的准线方程为\x=±\frac{a^2}{c}\

6.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的短轴长为（）（2分）A.3B.4C.6D.8【答案】A【解析】椭圆的短轴长为2b=2×3=

67.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的面积公式为（）（2分）A.\πab\B.\πa^2\C.\πb^2\D.\2πab\【答案】A【解析】椭圆的面积公式为\πab\

8.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标为（）（2分）A.0,±3B.0,±4C.±3,0D.±4,0【答案】D【解析】椭圆的焦点坐标为±c,0，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=√7\

9.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的参数方程为（）（2分）A.\a\cosθ,b\sinθ\B.\a\sinθ,b\cosθ\C.\b\cosθ,a\sinθ\D.\b\sinθ,a\cosθ\【答案】A【解析】椭圆的参数方程为\a\cosθ,b\sinθ\

10.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的渐近线方程为（）（2分）A.\y=±\frac{3}{4}x\B.\y=±\frac{4}{3}x\C.\y=±\frac{3}{2}x\D.\y=±\frac{2}{3}x\【答案】B【解析】椭圆的渐近线方程为\y=±\frac{b}{a}x\，即\y=±\frac{3}{4}x\

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是椭圆的性质？（）（4分）A.对称轴是长轴和短轴B.焦点在长轴上C.面积为\πab\D.离心率e1E.准线与焦点连线垂直【答案】A、C、D、E【解析】椭圆的对称轴是长轴和短轴，面积为\πab\，离心率e1，准线与焦点连线垂直

2.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的参数方程可用于（）（4分）A.椭圆的轨迹描述B.椭圆的面积计算C.椭圆的焦点计算D.椭圆的准线计算E.椭圆的渐近线计算【答案】A、C【解析】椭圆的参数方程可用于轨迹描述和焦点计算

3.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的几何性质包括（）（4分）A.焦点在x轴上B.短轴长为6C.离心率为\\frac{3}{4}\D.准线方程为\x=±\frac{16}{5}\E.渐近线方程为\y=±\frac{3}{4}x\【答案】A、B、C、E【解析】焦点在x轴上，短轴长为6，离心率为\\frac{3}{4}\，渐近线方程为\y=±\frac{3}{4}x\

4.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的准线方程与（）（4分）A.焦点位置有关B.长轴长度有关C.短轴长度有关D.离心率有关E.面积有关【答案】A、D【解析】准线方程与焦点位置和离心率有关

5.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的几何性质包括（）（4分）A.焦点在x轴上B.短轴长为6C.离心率为\\frac{3}{4}\D.准线方程为\x=±\frac{16}{5}\E.渐近线方程为\y=±\frac{3}{4}x\【答案】A、B、C、E【解析】焦点在x轴上，短轴长为6，离心率为\\frac{3}{4}\，渐近线方程为\y=±\frac{3}{4}x\

三、填空题（每题4分，共20分）

1.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的焦点坐标为______，准线方程为______（4分）【答案】±c,0；x=±\\frac{a^2}{c}\【解析】焦点坐标为±c,0，准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\

2.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的离心率为______，短轴长为______（4分）【答案】\\frac{3}{4}\；6【解析】离心率为\\frac{3}{4}\，短轴长为

63.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的面积公式为______，渐近线方程为______（4分）【答案】πab；y=±\\frac{b}{a}x\【解析】面积公式为πab，渐近线方程为y=±\\frac{b}{a}x\

4.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标为______，准线方程为______（4分）【答案】±4,0；x=±\\frac{16}{5}\【解析】焦点坐标为±4,0，准线方程为x=±\\frac{16}{5}\

5.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率为______，准线方程为______（4分）【答案】\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\；x=±\\frac{a^2}{c}\【解析】离心率为\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\，准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\

四、判断题（每题2分，共20分）

1.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的焦点在x轴上（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的标准方程\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\（ab0）中，焦点在x轴上

2.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的离心率为\\frac{3}{4}\（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的离心率e=\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\

3.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\

4.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的短轴长为6（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的短轴长为2b=2×3=

65.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率e1（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的离心率e

16.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标为±4,0（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的焦点坐标为±c,0，其中\c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{16-9}=4\

7.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的面积公式为πab（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的面积公式为πab

8.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的准线方程为x=±\\frac{16}{5}\（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\，其中\c=\sqrt{16-9}=4\，所以准线方程为x=±\\frac{16}{4}\=±

49.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的渐近线方程为y=±\\frac{b}{a}x\（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的渐近线方程为y=±\\frac{b}{a}x\

10.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的离心率为\\frac{3}{4}\（）（2分）【答案】（√）【解析】椭圆的离心率e=\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述椭圆的定义及其几何性质（4分）【答案】椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹几何性质包括对称轴是长轴和短轴，焦点在长轴上，面积为πab，离心率e1，准线与焦点连线垂直

2.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的参数方程是什么？如何用于椭圆的轨迹描述？（4分）【答案】椭圆的参数方程为\a\cosθ,b\sinθ\通过参数θ的变化，可以描述椭圆上任意一点的轨迹

3.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的焦点坐标和准线方程是什么？如何计算？（4分）【答案】焦点坐标为±4,0，准线方程为x=±\\frac{16}{5}\焦点坐标计算公式为\c=\sqrt{a^2-b^2}\，准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\

4.椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的离心率e是什么？如何计算？（4分）【答案】椭圆的离心率e=\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\通过计算长轴和短轴的比值，可以得到离心率

5.椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的面积是多少？如何计算？（4分）【答案】椭圆的面积为πab，即π×4×3=12π通过计算长轴和短轴的乘积，再乘以π，可以得到椭圆的面积

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析椭圆\\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\的几何性质，包括焦点坐标、准线方程、离心率、短轴长、面积和渐近线方程（10分）【答案】焦点坐标为±4,0，准线方程为x=±\\frac{16}{5}\，离心率e=\\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\，短轴长为6，面积为12π，渐近线方程为y=±\\frac{3}{4}x\

2.分析椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的几何性质，包括焦点坐标、准线方程、离心率、短轴长、面积和渐近线方程（10分）【答案】焦点坐标为±c,0，准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\，离心率e=\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\，短轴长为2b，面积为πab，渐近线方程为y=±\\frac{b}{a}x\

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.已知椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的焦点坐标为±5,0，离心率为\\frac{3}{5}\，求椭圆的方程（20分）【答案】已知焦点坐标为±5,0，离心率e=\\frac{3}{5}\，所以c=5，e=\\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\，即a=\\frac{5}{\frac{3}{5}}=\frac{25}{3}\又因为\b^2=a^2-c^2\，所以\b^2=\left\frac{25}{3}\right^2-5^2=\frac{625}{9}-25=\frac{625}{9}-\frac{225}{9}=\frac{400}{9}\，即b=\\frac{20}{3}\所以椭圆的方程为\\frac{x^2}{\left\frac{25}{3}\right^2}+\frac{y^2}{\left\frac{20}{3}\right^2}=1\，即\\frac{x^2}{\frac{625}{9}}+\frac{y^2}{\frac{400}{9}}=1\，即\\frac{9x^2}{625}+\frac{9y^2}{400}=1\

2.已知椭圆\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\的短轴长为8，离心率为\\frac{1}{2}\，求椭圆的方程（20分）【答案】已知短轴长为8，即2b=8，所以b=4离心率e=\\frac{1}{2}\，所以\\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\，即a=2c又因为\c^2=a^2-b^2\，所以\2c^2=c^2+4^2\，即4c^2=c^2+16，即3c^2=16，即c^2=\\frac{16}{3}\，即c=\\frac{4}{√3}\所以a=2c=\\frac{8}{√3}\所以椭圆的方程为\\frac{x^2}{\left\frac{8}{√3}\right^2}+\frac{y^2}{4^2}=1\，即\\frac{x^2}{\frac{64}{3}}+\frac{y^2}{16}=1\，即\\frac{3x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1\

八、完整标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.B

5.A

6.A

7.A

8.D

9.A

10.B

二、多选题

1.A、C、D、E

2.A、C

3.A、B、C、E

4.A、D

5.A、B、C、E

三、填空题

1.±c,0；x=±\\frac{a^2}{c}\

2.\\frac{3}{4}\；

63.πab；y=±\\frac{b}{a}x\

4.±4,0；x=±\\frac{16}{5}\

5.\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\；x=±\\frac{a^2}{c}\

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

6.√

7.√

8.√

9.√

10.√

五、简答题

1.椭圆是平面上到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹几何性质包括对称轴是长轴和短轴，焦点在长轴上，面积为πab，离心率e1，准线与焦点连线垂直

2.椭圆的参数方程为\a\cosθ,b\sinθ\通过参数θ的变化，可以描述椭圆上任意一点的轨迹

3.焦点坐标为±4,0，准线方程为x=±\\frac{16}{5}\焦点坐标计算公式为\c=\sqrt{a^2-b^2}\，准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\

4.椭圆的离心率e=\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\通过计算长轴和短轴的比值，可以得到离心率

5.椭圆的面积为πab，即π×4×3=12π通过计算长轴和短轴的乘积，再乘以π，可以得到椭圆的面积

六、分析题

1.焦点坐标为±4,0，准线方程为x=±\\frac{16}{5}\，离心率e=\\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}\，短轴长为6，面积为12π，渐近线方程为y=±\\frac{3}{4}x\

2.焦点坐标为±c,0，准线方程为x=±\\frac{a^2}{c}\，离心率e=\\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\，短轴长为2b，面积为πab，渐近线方程为y=±\\frac{b}{a}x\

七、综合应用题

1.椭圆的方程为\\frac{9x^2}{625}+\frac{9y^2}{400}=1\

2.椭圆的方程为\\frac{3x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1\。