全省数学竞赛题目与答案汇总

全省数学竞赛题目与答案汇总

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则下列结论正确的是（）（2分）A.a0且△0B.a0且△=0C.a0且△=0D.a0且△0【答案】C【解析】函数图象开口向上，a0；顶点在x轴上，△=0故选C

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是（）（2分）A.{1,2}B.{0,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}【答案】D【解析】A={1,2}，由A∪B=A得B⊆A，考虑B的解情况，可得a=0,1,2,

33.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由a^2+b^2-c^2=ab得cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=1/2，故C=60°

4.已知实数x满足x^2+4x-5≥0，则函数y=1/x+1/x^2的最小值是（）（2分）A.-4B.-2C.2D.4【答案】D【解析】x≤-5或x≥1，设t=1/x，则y=t+t^2，对称轴t=-1/2，当x=-5时，y=

45.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5=10，a_2a_4=9，则该数列的前n项和S_n的最大值是（）（2分）A.20B.30C.40D.50【答案】B【解析】a_1+a_5=2a_3=10，a_2a_4=a_3^2=9，可得a_3=3，d=1，S_n=n^2-2n，n=5时最大，S_5=

306.若复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的实部是（）（2分）A.1/2B.-1/2C.1D.-1【答案】B【解析】由z^2+z+1=0得z=-1±√3i/2，实部为-1/

27.在直角坐标系中，点A1,2，点B在直线l:x-y+3=0上，则AB距离的最小值是（）（2分）A.√2B.√5C.√10D.2√2【答案】A【解析】AB⊥l时距离最小，斜率k_AB=1，垂线方程y=-x+3，交点2,1，|AB|=√

28.执行以下程序段后，变量S的值是（）（2分）i=1;S=0;whilei=5doS=S+i;i=i+2;endwhileA.15B.10C.7D.3【答案】B【解析】i=1,3,5，S=1+3+5=

99.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的侧面积是（）（2分）A.15πB.12πC.9πD.6π【答案】A【解析】侧面积πrl=π35=15π

10.在△ABC中，若sinA/sinB=2/3，a=4，则边b的取值范围是（）（2分）A.3,6B.4,6C.3,4D.2,3【答案】A【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=2R，可得b=2R3/2=3R，又2ba，b4，故3b6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若fx是奇函数，则f-x=-fxC.若△ABC中，AB，则abD.若数列{a_n}单调递增，则a_na_{n-1}E.若直线l1平行于l2，则它们的斜率相等【答案】B、C、D【解析】A错，如a=-1b=-2；B对，奇函数定义；C对，大角对大边；D对，单调递增定义；E错，斜率都为

02.函数fx=|x-1|+|x+2|的值域是（）（4分）A.[0,3]B.[3,+∞C.[1,+∞D.[3,4]【答案】B、D【解析】分段函数fx={-2x-1,x-2;3,-2≤x≤1;2x+1,x1}，最小值3，值域[3,+∞

3.在等比数列{a_n}中，若a_1=-1，公比q=2，则下列说法正确的是（）（4分）A.a_5=16B.S_6=-63C.a_n=-2^n-1D.S_n=-2^n-1【答案】A、C、D【解析】a_n=-12^n-1，a_5=16；S_n=-11-2^n/1-2=-2^n-1，S_6=-

634.已知向量a=1,2，b=x,y，且a∥b，则（）（4分）A.x=2B.y=4C.x=1/2D.xy=8【答案】A、D【解析】a∥b，存在λ使1,2=λx,y，可得x=2，y=4λ，xy=

85.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=1/3，则cosC的值是（）（4分）A.-5/6B.1/6C.1/2D.-1/2【答案】A、B【解析】cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-1/6+√1-1/4√1-1/9=±√5/6，又cosC=-cosA+B=-1/2，故cosC=-1/2或1/6

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值是______，最小值是______（4分）【答案】2，-2【解析】fx=3x^2-6x，驻点x=0,2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，最大2，最小-

22.在直角坐标系中，点Px,y在曲线x^2/9+y^2/4=1上运动，则P点到直线l:3x+2y-6=0的距离的最大值是______（4分）【答案】5【解析】半长轴a=3，半短轴b=2，焦距c=√5，最大距离c+a=√5+3，点到直线距离公式d=|Ax+By+C|/√A^2+B^2=3√5/√13，取值范围[3√5/√13,√5+3]

3.已知实数x满足x+1/x≥3，则x^2+1/x^2的取值范围是______（4分）【答案】[6,+∞【解析】x+1/x^2=x^2+2+1/x^2≥9，x^2+1/x^2≥7，当x=1时取等，故x^2+1/x^2≥

64.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=120°，则cosB的值是______（4分）【答案】-1/2【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=7，c=√7，由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，sinB=b/csinC=√3/√7√3/2=3√21/14，cosB=±√1-sin^2B，又B120°，cosB=-1/

25.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_6=10，a_5=3，则该数列的公差d是______（4分）【答案】1【解析】a_4+a_6=2a_5=10，a_5=3，公差d=a_6-a_4/6-4=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是纯虚数（）（2分）【答案】（×）【解析】如z=1，z^2=1，不是纯虚数

2.若函数fx是偶函数，则fx的图象一定关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f-x=fx，图象关于y轴对称

3.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC一定是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】勾股定理逆定理

4.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列（）（2分）【答案】（√）【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，公差为

45.若直线l1与l2相交于点P，则l1的斜率一定不等于l2的斜率（）（2分）【答案】（×）【解析】l1垂直l2时，斜率乘积为-1，如l1:x=0，l2:y=0，都过原点，斜率不存在

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^2+px+q，若fx有两个零点，且这两个零点的平方和为10，求实数p、q的取值关系（5分）【答案】p^2-4q0，且p^2=10-2q【解析】设零点为x1,x2，x1+x2=-p，x1x2=q，由x1+x2^2=10得p^2=10-2q，判别式△=p^2-4q

02.在△ABC中，若角B=60°，边a=3，边b=2，求边c的取值范围（5分）【答案】√7c5【解析】余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosB=7-3c，c^2+3c-7=0，解得c=√7或c=-√7（舍），又b-acb+a，√7c

53.已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n（5分）【答案】a_n=2n（n≥2），a_1=2【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时a_1=S_1=2，故a_n=2n

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，

（1）求函数fx的最小值及取得最小值时的x值；

（2）若关于x的不等式fxk对所有实数x恒成立，求实数k的取值范围（10分）【答案】

（1）最小值3，x=-2≤x≤1；

（2）k3【解析】

（1）分段函数fx={-2x-1,x-2;3,-2≤x≤1;2x+1,x1}，最小值3，取得最小值时x∈[-2,1]

2.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，公比q≠1，且S_3，S_6-S_3，S_9-S_6成等差数列，求公比q的值（10分）【答案】q=1/2【解析】S_n=a_11-q^n/1-q，S_3=1-q^3，S_6-S_3=1-q^6-1+q^3=q^31-q^3，S_9-S_6=1-q^9-1+q^6=q^61-q^3，由2q^31-q^3=1-q^9，解得q=1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=120°

（1）求边c的长度；

（2）求sinA+sinB的值；

（3）若△ABC的面积S=√3，求角B的度数（25分）【答案】

（1）c=√7；

（2）sinA+sinB=3√21/14；

（3）B=30°【解析】

（1）余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=7，c=√7；

（2）正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，sinA=a/csinC=2/√7√3/2=√21/7，sinB=b/csinC=√3/√7√3/2=3√21/14，sinA+sinB=3√21/14；

（3）S=1/2absinC=√3，sinC=√3/2，由sinB=3√21/14√3/2，可得B=30°

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+m在区间[-1,1]上的最大值与最小值之和为0

（1）求实数m的值；

（2）若关于x的方程fx=0在区间[-2,2]上有两个不同的实数根，求实数m的取值范围（25分）【答案】

（1）m=1；

（2）-3m≤-2【解析】

（1）fx=3x^2-6x+2，驻点x=1±√3/3，f-1=-4+m，f1=0+m，f1+√3/3=2√3/9+m，f1-√3/3=-2√3/9+m，最大f1-√3/3，最小f-1，f1-√3/3+f-1=m-4/3=0，m=4/3，矛盾，重新分析驻点在[-1,1]外，最大f1=m，最小f-1=-4+m，m-4+m=0，m=2，矛盾，再分析，驻点x=1±√3/3在-1,1内，最大f1±√3/3，最小f-1，f1+√3/3+f-1=2√3/9+m-4+m=0，m=1标准答案附后---标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.C

4.D

5.B

6.B

7.A

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.B、C、D

2.B、D

3.A、C、D

4.A、D

5.A、B

三、填空题

1.2，-

22.

53.[6,+∞

4.-1/

25.1

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.p^2-4q0，且p^2=10-2q

2.√7c

53.a_n=2n（n≥2），a_1=2

六、分析题

1.

（1）最小值3，x∈[-2,1]；

（2）k

32.q=1/2

七、综合应用题

1.

（1）√7；

（2）3√21/14；

（3）30°

2.

（1）m=1；

（2）-3m≤-2---。