全面剖析高中生数学试题及答案

全面剖析高中生数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.3B.2C.1D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-a，令f1=0，得3-a=0，故a=

32.抛物线y=2x^2-4x+3的焦点坐标为（）（2分）A.1,2B.1,

2.5C.2,1D.2,

1.5【答案】B【解析】y=2x-1^2+1，焦点坐标为1,1+1/4=1,

2.

253.若sinα+cosα=√2，则tanα的值为（）（2分）A.1B.-1C.1或-1D.0【答案】A【解析】两边平方得1+2sinαcosα=2，即sin2α=1，α=kπ/4+π/8，tanα=

14.设集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值集合为（）（2分）A.{1,1/2}B.{1}C.{1/2}D.{0,1/2}【答案】A【解析】A={1,2}，当a=0时B=∅⊆A；当a≠0时B={1/a}⊆A，故a=1或1/

25.直线x+2y-1=0与圆x-1^2+y+1^2=4的位置关系是（）（2分）A.相交B.相切C.相离D.重合【答案】A【解析】圆心1,-1到直线的距离d=|1-2+1|/√5=√5/52，相交

6.已知等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=18，则a_5的值为（）（2分）A.162B.54C.243D.486【答案】A【解析】q^2=18/2=9，q=±3，a_5=2q^4=

1627.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】分段函数fx={3,x≤-2{1-x,-2x1{1+x,x≥1最小值为

38.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为（）（2分）A.3/5B.4/5C.5/3D.1【答案】B【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosB，得5^2=3^2+4^2-2×3×4cosB，cosB=4/

59.已知向量a=1,k，b=-2,4，若a⊥b，则k的值为（）（2分）A.-8B.-4C.2D.8【答案】D【解析】a·b=-2+4k=0，得k=1/2，但选项有误，应为-

810.抛掷两个骰子，出现的点数之和大于9的概率为（）（2分）A.1/6B.1/12C.5/36D.7/36【答案】A【解析】满足条件的基本事件有4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6，共6种，概率为6/36=1/6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）（4分）A.y=x^2B.y=e^xC.y=log_2xD.y=sinx【答案】A、B、C【解析】y=x^

2、y=e^x、y=log_2x在0,+∞上单调递增，y=sinx非单调

2.已知点Px,y在圆x^2+y^2=1上运动，则点Q2x,2y的轨迹方程为（）（4分）A.x^2+y^2=1B.4x^2+4y^2=1C.x^2+y^2=4D.16x^2+16y^2=1【答案】B、C【解析】将x=2u,y=2v代入原方程得4u^2+4v^2=1，即4x^2+4y^2=1；也即x^2+y^2=

43.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若sinα=sinβ，则α=βC.若|a|=|b|，则a=bD.若a≠0，则|a|0【答案】D【解析】A错如-1-2但14；B错α=β+2kπ；C错|1|=|-1|但1≠-1；D对

4.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=30，则（）（4分）A.a_1=0B.a_15=60C.S_20=600D.d=4【答案】A、B、C【解析】由a_5+a_10=2a_7=40，得a_7=20，又a_5=a_7-2d=20-2d=10，d=5，故a_1=0，a_15=a_7+8d=60，S_20=20a_1+a_20/2=20a_1+a_1+19d/2=

6005.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则（）（4分）A.fx在x=1处取得极大值B.fx的图像与x轴相切三次C.fx的图像与y轴相切D.fx的图像关于原点对称【答案】A、B【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或2，f1=-60，故x=1处取极大值；f0=2≠0，图像与y轴不相切；f-x=-fx，图像关于原点对称；fx=0的三个根x=0,1,2，故与x轴相切三次

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若fx=√x+1，则fx的定义域为______，值域为______（4分）【答案】[-1,+∞；[0,+∞

2.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边c=1，则边a的长度为______（4分）【答案】√6/

23.不等式|x-1|+|x+2|3的解集为______（4分）【答案】-∞,-2∪1,+∞

4.已知fx=x^2+px+q，若f1=3且fx有重根，则p+q的值为______（4分）【答案】

45.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则前5项和S_5的值为______（4分）【答案】120

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则fx的图像必过原点（）（2分）【答案】（√）

2.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则圆心到直线的距离等于r（）（2分）【答案】（√）

3.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】{a_n^2}的公差为2a_2^2-2a_1^2=4a_2-a_1a_2+a_1，与a_1无关，故不是等差数列

4.若ab0，则√a√b（）（2分）【答案】（√）

5.若fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则a=2（）（2分）【答案】（×）【解析】f1=3-1-a=0，a=2，但需验证是否为极值点，f1=60，故x=1处取极小值

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的单调区间和极值点（5分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或2，fx=6x-6，当x0时fx0，fx递减；0x2时fx0，fx递减；x2时fx0，fx递增故减区间-∞,0∪0,2，增区间2,+∞；x=0处取极大值f0=2，x=2处取极小值f2=

02.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求该数列的通项公式a_n（5分）【答案】由S_5=5a_1+a_5/2=25，得a_1+a_5=10，由S_10=10a_1+a_10/2=70，得a_1+a_10=14，相减得a_5-a_10=-4=4d，故d=-1，a_1=10-a_5=6，故a_n=a_1+n-1d=6-n-1=7-n

3.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（5分）【答案】fx={3,x≤-2{1-x,-2x1{1+x,x≥1分段函数在x=-2处取得最小值f-2=1，在x=1处取得最小值f1=2，故最小值为1，取得最小值时的x=-2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，求实数a的值，并判断该极值是极大值还是极小值（10分）【答案】fx=3x^2-a，令f1=0，得3-a=0，a=3，fx=6x，f1=60，故x=1处取极小值

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求该数列的通项公式a_n，并计算前n项和S_n（10分）【答案】a_n+1-2a_n=1，即a_n+1-1/2=a_n/2+1/2，令b_n=a_n-1，则b_n+1=2b_n，b_n是首项为0，公比为2的等比数列，b_n=0×2^n-1=0，故a_n=b_n+1=1，S_n=n×1=n

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-px^2+qx-r，若f1=0，f-1=0，f0=-1，且fx在x=2处取得极大值

（1）求p、q、r的值；

（2）求fx的单调区间和极值点；

（3）判断fx是否有零点，若有，求出所有零点（25分）【答案】

（1）f1=1-p+q-r=0

①，f-1=-1-p-q-r=0

②，f0=-r=-1

③，fx=3x^2-2px+q，f2=12-4p+q=0

④，由

①②③④解得p=4，q=5，r=1

（2）fx=3x^2-8x+5=3x-5x-1，令fx=0得x=5/3或1，fx=6x-8，f1=-20，x=1处取极大值；f5/3=20，x=5/3处取极小值减区间-∞,1∪5/3,+∞，增区间1,5/3

（3）f0=-10，f5/3=5/27-80/9+5/3-10，f2=3-16+2-1=-120，f3=27-36+3-1=30，故有零点x=2，且由连续性知零点唯一

2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=3a_n+2^n，求该数列的通项公式a_n，并计算前n项和S_n（25分）【答案】a_n+1-3a_n=2^n，两边同除3^n-1得a_n/3^n-1=2/3^n-1，令b_n=a_n/3^n-1，则b_n=2/3^n-1+C，由a_1=1得b_1=1+C，b_1=1/3^0=1，故C=0，b_n=2/3^n-1，故a_n=2/3^n-1×3^n-1=2^n-1，S_n=1+2+2^2+...+2^n-1=2^n-1。