函数性质核心试题及全面答案

函数性质核心试题及全面答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=3-xB.y=-2x+1C.y=x²D.y=1/x【答案】B【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为-2，故在定义域内单调递增

2.函数fx=x³在x=0处的导数是（）（1分）A.0B.1C.3D.无法确定【答案】A【解析】fx=3x²，f0=3×0²=

03.函数y=2cosx+π/3的最小正周期是（）（2分）A.2πB.πC.4πD.π/2【答案】A【解析】cos函数的周期为2π，平移不改变周期

4.函数y=lnx-1的定义域是（）（2分）A.0,+∞B.1,+∞C.-∞,1D.R【答案】B【解析】x-10，即x

15.函数y=√x²+1的值域是（）（2分）A.0,+∞B.RC.[1,+∞D.1,+∞【答案】C【解析】x²≥0，x²+1≥1，√x²+1≥

16.函数y=1/1-x在x→1时极限为（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】B【解析】limx→11/1-x=-

17.函数fx=|x-2|在x=2处的导数是（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】C【解析】|x-2|在x=2处不可导

8.函数y=e^-x的图形关于（）对称（1分）A.x轴B.y轴C原点D.x=1【答案】B【解析】y=e^-x是y=e^x的横向对称图形

9.函数y=2sin2x的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.π/4【答案】A【解析】sin函数的周期为2π，系数2缩短周期为π

10.函数y=arctanx的值域是（）（2分）A.RB.0,π/2C.-π/2,π/2D.π/4,π/4【答案】C【解析】arctan函数的值域为-π/2,π/

211.函数fx=x³-3x在x=1处的极值是（）（2分）A.极小值B.极大值C.既不是极值也不是零点D.无法确定【答案】A【解析】fx=3x²-3，f1=0，f1=60，故为极小值

12.函数y=1/x在x→0时极限为（）（2分）A.0B.无穷大C.不存在D.1【答案】C【解析】limx→01/x不存在

13.函数fx=sinx在x=π处的导数是（）（1分）A.1B.-1C.0D.pi【答案】C【解析】fx=cosx，fπ=-

114.函数y=2³ˣ的导数是（）（2分）A.2³ˣB.2³ˣ·ln2C.3·2³ˣD.2·2³ˣ【答案】B【解析】y=aˣ·lna，a=

215.函数y=ln1-x在x=0处的导数是（）（2分）A.-1B.1C.0D.不存在【答案】A【解析】y=-1/1-x，y0=-

116.函数y=x²在x=2处的切线斜率是（）（1分）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】y=2x，y|x=2=

417.函数y=√x在x=4处的导数是（）（2分）A.1/2B.1/4C.1/√4D.1/8【答案】A【解析】y=1/2√x-1，y|x=4=1/

218.函数y=cosx+π/2的图形关于（）对称（2分）A.x轴B.y轴C原点D.y=x【答案】B【解析】cosx+π/2=-sinx，与y轴对称

19.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式中x³的系数是（）（2分）A.1B.eC.1/eD.0【答案】D【解析】e^x的泰勒展开式中x³系数为1/6，但x³项不存在

20.函数y=tanx在x=π/4处的导数是（）（2分）A.1B.-1C.√2D.√2/2【答案】C【解析】y=sec²x，y|x=π/4=2【答案】

1.B

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.C

8.B

9.A

10.C

11.A

12.C

13.C

14.B

15.A

16.B

17.A

18.B

19.D

20.C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递减的有？（）A.y=-x²B.y=1/xC.y=2-xD.y=3lnx+1【答案】A、C【解析】y=-x²的导数-2x0，y=2-x的导数-10，故单调递减

2.以下哪些函数的导数为常数？（）A.y=5B.y=πxC.y=√2xD.y=7x³【答案】A、B【解析】y=0，y=π，导数为常数

3.函数y=|x|在x=0处的性质有？（）A.连续B.可导C.极值点D.拐点【答案】A、C【解析】|x|在x=0处连续，不可导，有极小值

4.以下哪些函数是奇函数？（）A.y=x³B.y=1/xC.y=cosxD.y=lnx²【答案】A、B【解析】f-x=-fx，y=x³和y=1/x为奇函数

5.函数y=1/x²+1的性质有？（）A.偶函数B.有界函数C.单调递减D.有极值【答案】A、B、D【解析】f-x=fx，-1x²+1+∞，有极值【答案】

1.A、C

2.A、B

3.A、C

4.A、B

5.A、B、D

三、填空题

1.函数fx=x³-3x+2在x=1处的导数是______（4分）【答案】0【解析】fx=3x²-3，f1=3-3=

02.函数y=2cos3x-π/4的最小正周期是______（4分）【答案】2π/3【解析】cos函数的周期为2π，系数3缩短周期为2π/

33.函数y=lnx+1的定义域是______（4分）【答案】-1,+∞【解析】x+10，即x-

14.函数y=√x²+1的值域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x²≥0，x²+1≥1，√x²+1≥

15.函数y=1/1-x在x→1时极限是______（4分）【答案】-1【解析】limx→11/1-x=-

16.函数fx=|x-1|在x=1处的导数是______（4分）【答案】0【解析】|x-1|在x=1处不可导

7.函数y=e^2x的导数是______（4分）【答案】2e^2x【解析】y=aˣ·lna，a=e²

8.函数y=arctan2x的导数是______（4分）【答案】2/1+4x²【解析】y=1/1+x²·

29.函数fx=x³-3x在x=1处的极值是______（4分）【答案】极小值0【解析】fx=3x²-3，f1=0，f1=60，故为极小值

10.函数y=1/x在x→0时极限是______（4分）【答案】不存在【解析】limx→01/x不存在【答案】

1.

02.2π/

33.-1,+∞

4.[1,+∞

5.-

16.

07.2e^2x

8.2/1+4x²

9.极小值

010.不存在

四、判断题

1.函数y=2x+1是单调递增函数（）（2分）【答案】（√）【解析】y=20，故单调递增

2.函数y=x²在x=0处的导数为0（）（2分）【答案】（√）【解析】y=2x，y|x=0=

03.函数y=1/x是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】f-x=-1/x≠1/x=fx，不是偶函数

4.函数y=lnx在x=1处的导数为1（）（2分）【答案】（√）【解析】y=1/x|x=1=

15.函数y=e^x是单调递增函数（）（2分）【答案】（√）【解析】y=e^x0，故单调递增【答案】

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.简述函数单调性的判定方法（5分）【答案】

（1）若fx≥0，则fx在相应区间单调递增；

（2）若fx≤0，则fx在相应区间单调递减；

（3）求导数，判断导数符号，确定单调区间

2.简述函数极值的判定方法（5分）【答案】

（1）驻点fx=0的点；

（2）第二导数fx0为极小值，fx0为极大值；

（3）列表法判断驻点两侧导数符号变化

3.简述函数奇偶性的判定方法（5分）【答案】

（1）奇函数f-x=-fx；

（2）偶函数f-x=fx；

（3）利用对称性奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称【答案】

1.

（1）若fx≥0，则fx在相应区间单调递增；

（2）若fx≤0，则fx在相应区间单调递减；

（3）求导数，判断导数符号，确定单调区间

2.

（1）驻点fx=0的点；

（2）第二导数fx0为极小值，fx0为极大值；

（3）列表法判断驻点两侧导数符号变化

3.

（1）奇函数f-x=-fx；

（2）偶函数f-x=fx；

（3）利用对称性奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称

六、分析题

1.分析函数fx=x³-3x²+2x的单调性、极值和凹凸性（10分）【答案】

（1）单调性fx=3x²-6x+2=3x-1²-3，令fx=0，得x=1±√3/3；

（2）极值fx=6x-6，f1-√3/3=61-√3/3-60，极大值；f1+√3/3=61+√3/3-60，极小值；

（3）凹凸性fx0，凹函数；fx0，凸函数

2.分析函数y=lnx²+1的性质（10分）【答案】

（1）定义域x²+10，全实数；

（2）奇偶性f-x=ln-x²+1=lnx²+1=fx，偶函数；

（3）单调性y=2x/x²+1，x0时递增，x0时递减；

（4）值域y≥0，[0,+∞【答案】

1.

（1）单调性fx=3x²-6x+2=3x-1²-3，令fx=0，得x=1±√3/3；

（2）极值fx=6x-6，f1-√3/3=61-√3/3-60，极大值；f1+√3/3=61+√3/3-60，极小值；

（3）凹凸性fx0，凹函数；fx0，凸函数

2.

（1）定义域x²+10，全实数；

（2）奇偶性f-x=ln-x²+1=lnx²+1=fx，偶函数；

（3）单调性y=2x/x²+1，x0时递增，x0时递减；

（4）值域y≥0，[0,+∞

七、综合应用题

1.已知函数fx=x³-3x²+2x，求其单调区间、极值和拐点（20分）【答案】

（1）单调区间fx=3x²-6x+2=3x-1²-3，令fx=0，得x=1±√3/3，fx0，x∈-∞,1-√3/3∪1+√3/3,+∞，单调递增；fx0，x∈1-√3/3,1+√3/3，单调递减

（2）极值fx=6x-6，f1-√3/3=61-√3/3-60，极大值；f1+√3/3=61+√3/3-60，极小值

（3）拐点fx=6，令fx=0，得x=0，fx在x=0处变号，拐点为0,0【答案】

（1）单调区间fx=3x²-6x+2=3x-1²-3，令fx=0，得x=1±√3/3，fx0，x∈-∞,1-√3/3∪1+√3/3,+∞，单调递增；fx0，x∈1-√3/3,1+√3/3，单调递减

（2）极值fx=6x-6，f1-√3/3=61-√3/3-60，极大值；f1+√3/3=61+√3/3-60，极小值

（3）拐点fx=6，令fx=0，得x=0，fx在x=0处变号，拐点为0,0。