函数方程竞赛试题及权威答案

函数方程竞赛试题及权威答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx满足fx+1=fx+1，且f0=1，则f2023的值为（）（2分）A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】B【解析】由fx+1=fx+1，可得f1=f0+1=2，f2=f1+1=3，...，fn=fn-1+1因此f2023=f2022+1=2022+1=2023+1=

20242.设函数fx定义在R上，且满足fx+y=fx+fy，对任意x，y∈R成立，若f1=2，则f2023的值为（）（2分）A.4046B.2023C.4048D.2【答案】A【解析】由fx+y=fx+fy，令x=y=1，得f2=f1+f1=4，令x=2，y=1，得f3=f2+f1=6，...，令x=n，y=1，得fn+1=fn+f1因此f2023=f2022+f1=20222+2=

40463.函数fx满足f2x=fx对任意实数x都成立，且f0=1，则f2023的值为（）（2分）A.1B.2023C.0D.无法确定【答案】A【解析】由f2x=fx，令x=2023，得f4046=f2023，令x=2023，得f4046=f1013，...，经过多次递推，得f2023=f0=

14.设函数fx满足fx+f1-x=1，对任意x∈R成立，则f2023的值为（）（2分）A.1B.0C.2023D.2024【答案】B【解析】令x=2023，得f2023+f-2022=1，令x=-2022，得f-2022+f2023=1，两式相减，得f2023-f2023=0，即f2023=

05.函数fx满足fx+f2x+f4x=0，对任意x∈R成立，则f2023的值为（）（2分）A.0B.1C.-1D.无法确定【答案】A【解析】令x=2023，得f2023+f4046+f8092=0，令x=4046，得f4046+f8092+f16184=0，令x=8092，得f8092+f16184+f32368=0，三式相加，得f2023+f4046+f8092=0，即f2023=

06.设函数fx满足fx+f1/x=2，对任意x≠0成立，则f2023的值为（）（2分）A.2B.1C.2023D.2024【答案】B【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=2，令x=1/2023，得f1/2023+f2023=2，两式相加，得2f2023+2=4，即f2023=

17.函数fx满足fx+f1/x=1，对任意x≠0成立，则f2023的值为（）（2分）A.1B.0C.2023D.2024【答案】A【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=1，令x=1/2023，得f1/2023+f2023=1，两式相等，得f2023=

18.函数fx满足fx+f1/x=x，对任意x≠0成立，则f2023的值为（）（2分）A.2023B.1C.0D.2024【答案】B【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=2023，令x=1/2023，得f1/2023+f2023=1/2023，两式相减，得2f2023=2023-1/2023，即f2023=

19.函数fx满足fx+f1/x=1/x，对任意x≠0成立，则f2023的值为（）（2分）A.1/2023B.2023C.0D.2024【答案】A【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=1/2023，令x=1/2023，得f1/2023+f2023=2023，两式相加，得2f2023=1/2023+2023，即f2023=1/

202310.函数fx满足fx+f1/x=x+1/x，对任意x≠0成立，则f2023的值为（）（2分）A.2023B.1C.2024D.2025【答案】B【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=2023+1/2023，令x=1/2023，得f1/2023+f2023=1/2023+2023，两式相等，得f2023=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.设函数fx满足fx+f1/x=1，对任意x≠0成立，则下列说法正确的有（）（4分）A.f1=1B.f-1=-1C.f2023=1D.f1/2023=2023【答案】A、C【解析】令x=1，得f1+f1=1，即f1=1/2，与选项A矛盾，因此A错误令x=-1，得f-1+f-1=1，即f-1=1/2，与选项B矛盾，因此B错误令x=2023，得f2023+f1/2023=1，与选项D矛盾，因此D错误令x=2023，得f2023+f1/2023=1，即f2023=1-1/2023，与选项C矛盾，因此C正确

2.设函数fx满足fx+f1/x=2，对任意x≠0成立，则下列说法正确的有（）（4分）A.f1=2B.f-1=-2C.f2023=2D.f1/2023=2023【答案】A、C【解析】令x=1，得f1+f1=2，即f1=1，与选项A矛盾，因此A错误令x=-1，得f-1+f-1=2，即f-1=1，与选项B矛盾，因此B错误令x=2023，得f2023+f1/2023=2，与选项D矛盾，因此D错误令x=2023，得f2023+f1/2023=2，即f2023=1-1/2023，与选项C矛盾，因此C正确

3.设函数fx满足fx+f1/x=x+1/x，对任意x≠0成立，则下列说法正确的有（）（4分）A.f1=2B.f-1=-2C.f2023=2023D.f1/2023=1/2023【答案】A、D【解析】令x=1，得f1+f1=2，即f1=1，与选项A矛盾，因此A错误令x=-1，得f-1+f-1=-2，即f-1=-1，与选项B矛盾，因此B错误令x=2023，得f2023+f1/2023=2023+1/2023，与选项D矛盾，因此D错误令x=2023，得f2023+f1/2023=2023+1/2023，即f2023=1-1/2023，与选项C矛盾，因此C正确

4.设函数fx满足fx+f1/x=1/x，对任意x≠0成立，则下列说法正确的有（）（4分）A.f1=1B.f-1=-1C.f2023=1/2023D.f1/2023=2023【答案】C、D【解析】令x=1，得f1+f1=1，即f1=1/2，与选项A矛盾，因此A错误令x=-1，得f-1+f-1=-1，即f-1=-1/2，与选项B矛盾，因此B错误令x=2023，得f2023+f1/2023=1/2023，与选项D矛盾，因此D错误令x=2023，得f2023+f1/2023=1/2023，即f2023=1-1/2023，与选项C矛盾，因此C正确

5.设函数fx满足fx+f1/x=x，对任意x≠0成立，则下列说法正确的有（）（4分）A.f1=1B.f-1=-1C.f2023=2023D.f1/2023=1/2023【答案】A、D【解析】令x=1，得f1+f1=1，即f1=1/2，与选项A矛盾，因此A错误令x=-1，得f-1+f-1=-1，即f-1=-1/2，与选项B矛盾，因此B错误令x=2023，得f2023+f1/2023=2023，与选项D矛盾，因此D错误令x=2023，得f2023+f1/2023=2023，即f2023=1-1/2023，与选项C矛盾，因此C正确

三、填空题（每题4分，共16分）

1.设函数fx满足fx+f1/x=1，对任意x≠0成立，则f2023的值为______（4分）【答案】1/2023【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=1，即f2023=1-1/

20232.设函数fx满足fx+f1/x=2，对任意x≠0成立，则f2023的值为______（4分）【答案】1【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=2，即f2023=

13.设函数fx满足fx+f1/x=x，对任意x≠0成立，则f2023的值为______（4分）【答案】2023【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=2023，即f2023=1-1/

20234.设函数fx满足fx+f1/x=1/x，对任意x≠0成立，则f2023的值为______（4分）【答案】1/2023【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=1/2023，即f2023=1-1/2023

四、判断题（每题2分，共10分）

1.设函数fx满足fx+f1/x=1，对任意x≠0成立，则f2023=1/2023（）（2分）【答案】（√）【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=1，即f2023=1-1/

20232.设函数fx满足fx+f1/x=2，对任意x≠0成立，则f2023=1（）（2分）【答案】（√）【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=2，即f2023=

13.设函数fx满足fx+f1/x=x，对任意x≠0成立，则f2023=2023（）（2分）【答案】（√）【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=2023，即f2023=1-1/

20234.设函数fx满足fx+f1/x=1/x，对任意x≠0成立，则f2023=1/2023（）（2分）【答案】（√）【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=1/2023，即f2023=1-1/

20235.设函数fx满足fx+f1/x=x+1/x，对任意x≠0成立，则f2023=1（）（2分）【答案】（√）【解析】令x=2023，得f2023+f1/2023=2023+1/2023，即f2023=1

五、简答题（每题4分，共12分）

1.设函数fx满足fx+f1/x=1，对任意x≠0成立，求f1的值（4分）【答案】1/2【解析】令x=1，得f1+f1=1，即f1=1/

22.设函数fx满足fx+f1/x=2，对任意x≠0成立，求f1的值（4分）【答案】1【解析】令x=1，得f1+f1=2，即f1=

13.设函数fx满足fx+f1/x=x，对任意x≠0成立，求f1的值（4分）【答案】1/2【解析】令x=1，得f1+f1=1，即f1=1/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx满足fx+f1/x=1，对任意x≠0成立，证明fx是奇函数（10分）【答案】【证明】令x=-1，得f-1+f-1=1，即f-1=1/2令x=1，得f1+f1=1，即f1=1/2令x=-x，得f-x+f-1/x=1，即f-x=1-f-1/x令x=1/x，得f1/x+fx=1，即f1/x=1-fx因此f-x=-fx，即fx是奇函数

2.设函数fx满足fx+f1/x=x，对任意x≠0成立，证明fx是单调递增函数（10分）【答案】【证明】任取x1x2，则1/x21/x1由fx+f1/x=x，得fx1+f1/x1=x1，fx2+f1/x2=x2因此fx2-fx1=x2-x1-f1/x2+f1/x1因为x1x2，所以x2-x10，且1/x21/x1，所以f1/x2-f1/x10因此fx2-fx10，即fx是单调递增函数

七、综合应用题（每题20分，共40分）

1.设函数fx满足fx+f1/x=1，对任意x≠0成立，且f2023=1/2023，求f2024的值（20分）【答案】1/2024【解析】令x=2024，得f2024+f1/2024=1，即f2024=1-1/

20242.设函数fx满足fx+f1/x=x，对任意x≠0成立，且f2023=2023，求f2024的值（20分）【答案】2024【解析】令x=2024，得f2024+f1/2024=2024，即f2024=1-1/2024

八、完整标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.A

4.B

5.A

6.B

7.A

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.A、C

2.A、C

3.A、D

4.C、D

5.A、D

三、填空题

1.1/

20232.

13.

20234.1/2023

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.1/

22.

13.1/2

六、分析题

1.见证明

2.见证明

七、综合应用题

1.1/

20242.2024。