函数概念创新试题及答案分析

函数概念创新试题及答案分析

一、单选题（每题1分，共10分）

1.函数fx=ax+b在定义域内是单调递增的，则（）（1分）A.a0且b0B.a0且b0C.a0且b0D.a0且b0【答案】C【解析】函数fx=ax+b的单调性由系数a决定，a0时函数单调递增，a0时函数单调递减

2.函数fx=|x|在定义域内是（）（1分）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】B【解析】|x|满足f-x=fx，是偶函数

3.函数fx=√x-1的定义域是（）（1分）A.-∞,+∞B.[1,+∞C.-1,1D.-∞,1【答案】B【解析】根号内的表达式必须非负，即x-1≥0，解得x≥

14.函数fx=1/x在定义域内是（）（1分）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】A【解析】f-x=1/-x=-1/x=-fx，是奇函数

5.函数fx=x²在定义域内是（）（1分）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】B【解析】f-x=-x²=x²=fx，是偶函数

6.函数fx=x³在定义域内是（）（1分）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】A【解析】f-x=-x³=-x³=-fx，是奇函数

7.函数fx=sinx在定义域内是（）（1分）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】A【解析】sin-x=-sinx，是奇函数

8.函数fx=cosx在定义域内是（）（1分）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】B【解析】cos-x=cosx，是偶函数

9.函数fx=e^x在定义域内是（）（1分）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】C【解析】e^-x≠e^x且e^-x≠-e^x，是非奇非偶函数

10.函数fx=logx在定义域内是（）（1分）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数【答案】C【解析】log-x无意义，logx≠log-x且-logx≠logx，是非奇非偶函数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，是奇函数的有（）（4分）A.fx=x²B.fx=x³C.fx=sinxD.fx=cosxE.fx=1/x【答案】B、C、E【解析】fx=x³是奇函数，fx=sinx是奇函数，fx=1/x是奇函数

2.下列函数中，是偶函数的有（）（4分）A.fx=x²B.fx=x³C.fx=sinxD.fx=cosxE.fx=1/x【答案】A、D【解析】fx=x²是偶函数，fx=cosx是偶函数

3.下列函数中，在定义域内是单调递增的有（）（4分）A.fx=x²B.fx=x³C.fx=1/xD.fx=2x+1E.fx=logx【答案】B、D、E【解析】fx=x³是单调递增，fx=2x+1是单调递增，fx=logx是单调递增

4.下列函数中，在定义域内是单调递减的有（）（4分）A.fx=x²B.fx=x³C.fx=1/xD.fx=-2x+1E.fx=logx【答案】A、C、D【解析】fx=x²在[0,+∞单调递增，在-∞,0单调递减；fx=1/x在0,+∞单调递减，在-∞,0单调递增；fx=-2x+1是单调递减

5.下列函数中，是周期函数的有（）（4分）A.fx=x²B.fx=sinxC.fx=cosxD.fx=1/xE.fx=logx【答案】B、C【解析】fx=sinx是周期函数，fx=cosx是周期函数

三、填空题（每题2分，共16分）

1.函数fx=ax+b是______函数，当a______时函数单调递增（2分）【答案】线性；0【解析】fx=ax+b是线性函数，系数a决定单调性，a0时单调递增

2.函数fx=|x|的对称轴是______（2分）【答案】y轴【解析】|x|关于y轴对称

3.函数fx=√x+2的定义域是______（2分）【答案】[-2,+∞【解析】根号内的表达式必须非负，即x+2≥0，解得x≥-

24.函数fx=1/x-1的垂直渐近线是______（2分）【答案】x=1【解析】分母为0时函数无定义，x-1=0即x=1是垂直渐近线

5.函数fx=sin2x的周期是______（2分）【答案】π【解析】sinx的周期是2π，系数2使周期变为2π/2=π

6.函数fx=cosx/2的周期是______（2分）【答案】4π【解析】cosx的周期是2π，系数1/2使周期变为2π/1/2=4π

7.函数fx=e^x的反函数是______（2分）【答案】lnx【解析】e^x的反函数是lnx

8.函数fx=log₂x是以______为底的对数函数（2分）【答案】2【解析】log₂x是以2为底的对数函数

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x²是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-x²=x²=fx，是偶函数

2.函数fx=x³是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-x³=-x³=-fx，是奇函数

3.函数fx=1/x是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=1/-x=-1/x=-fx，是奇函数

4.函数fx=sinx是周期函数（）（2分）【答案】（√）【解析】sinx的周期是2π，是周期函数

5.函数fx=cosx是奇函数（）（2分）【答案】（×）【解析】cos-x=cosx，是偶函数

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述函数单调递增的定义（4分）【答案】函数fx在区间I上单调递增，如果对于任意x₁,x₂∈I，当x₁x₂时，都有fx₁fx₂

2.简述函数奇偶性的定义（4分）【答案】函数fx是奇函数，如果对于任意x∈定义域，都有f-x=-fx；函数fx是偶函数，如果对于任意x∈定义域，都有f-x=fx

3.简述函数周期性的定义（4分）【答案】函数fx是周期函数，如果存在一个非零常数T，使得对于任意x∈定义域，都有fx+T=fx

4.简述函数定义域的定义（4分）【答案】函数fx的定义域是所有使得fx有意义的x值的集合

5.简述函数反函数的定义（4分）【答案】函数fx的反函数f⁻¹x是满足ff⁻¹x=x且f⁻¹fx=x的函数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x³-3x的奇偶性和单调性（10分）【答案】奇偶性f-x=-x³-3-x=-x³+3x=-x³-3x=-fx，是奇函数单调性求导fx=3x²-3=3x²-1=3x-1x+1，令fx=0，得x=±1，当x∈-∞,-1时，fx0，函数单调递增；当x∈-1,1时，fx0，函数单调递减；当x∈1,+∞时，fx0，函数单调递增

2.分析函数fx=e^x+1/x的定义域和渐近线（10分）【答案】定义域e^x对任意实数x都有定义，1/x在x≠0时有定义，所以fx的定义域是-∞,0∪0,+∞渐近线水平渐近线当x→±∞时，e^x→+∞，1/x→0，所以水平渐近线是y=+∞，无水平渐近线垂直渐近线x=0时，1/x→±∞，所以垂直渐近线是x=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=ax²+bx+c是偶函数，且f1=3，f-1=5，求a,b,c的值（25分）【答案】fx是偶函数，所以f-x=fx，即a-x²+b-x+c=ax²+bx+c，得bx=0，所以b=0f1=a1²+b1+c=a+c=3，f-1=a-1²+b-1+c=a+c=5，所以a+c=3，a+c=5，矛盾无法解答

2.已知函数fx=√x+1，求其反函数f⁻¹x并分析其定义域和值域（25分）【答案】求反函数令y=√x+1，则x=y²-1，所以f⁻¹x=x²-1定义域fx的定义域是x+1≥0，即x≥-1，所以f⁻¹x的定义域是fx的值域，即y≥0，所以f⁻¹x的定义域是[0,+∞值域fx的值域是y≥0，所以f⁻¹x的值域是fx的定义域，即[-1,+∞---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.B

4.A

5.B

6.A

7.A

8.B

9.C

10.C

二、多选题

1.B、C、E

2.A、D

3.B、D、E

4.A、C、D

5.B、C

三、填空题

1.线性；

02.y轴

3.[-2,+∞

4.x=

15.π

6.4π

7.lnx

8.2

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.函数fx在区间I上单调递增，如果对于任意x₁,x₂∈I，当x₁x₂时，都有fx₁fx₂

2.函数fx是奇函数，如果对于任意x∈定义域，都有f-x=-fx；函数fx是偶函数，如果对于任意x∈定义域，都有f-x=fx

3.函数fx是周期函数，如果存在一个非零常数T，使得对于任意x∈定义域，都有fx+T=fx

4.函数fx的定义域是所有使得fx有意义的x值的集合

5.函数fx的反函数f⁻¹x是满足ff⁻¹x=x且f⁻¹fx=x的函数

六、分析题

1.奇偶性f-x=-fx，是奇函数；单调性fx=3x-1x+1，在-∞,-1单调递增，-1,1单调递减，1,+∞单调递增

2.定义域-∞,0∪0,+∞；渐近线垂直渐近线x=0，无水平渐近线

七、综合应用题

1.无法解答

2.反函数f⁻¹x=x²-1；定义域[0,+∞；值域[-1,+∞。