函数概念拔高试题及答案分享

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.-1【答案】B【解析】函数fx=|x-1|表示x与1的距离，在区间[0,2]上，当x=1时，距离为0，即最小值为

12.函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（2分）A.a0B.a0C.b0D.b0【答案】A【解析】二次函数fx=ax^2+bx+c的图像开口方向由系数a决定，a0时开口向上

3.函数fx=sinx+cosx的值域是（）（2分）A.[-1,1]B.[-√2,√2]C.[0,√2]D.[-√2,√2]【答案】B【解析】fx=sinx+cosx=√2sinx+π/4，其值域为[-√2,√2]

4.函数fx=e^x在定义域内是（）（2分）A.增函数B.减函数C.常数函数D.非单调函数【答案】A【解析】指数函数fx=e^x在整个实数域上是严格增函数

5.函数fx=log_ax在x1时是增函数，则a的取值范围是（）（2分）A.a1B.0a1C.a1或a0D.0a1【答案】A【解析】对数函数fx=log_ax在a1时是增函数

6.函数fx=x^3-3x在x=1处的切线方程是（）（2分）A.y=-1B.y=1C.y=x-1D.y=x+1【答案】C【解析】fx=3x^2-3，f1=0，f1=-2，切线方程为y=-

27.函数fx=arctanx的导数是（）（2分）A.1/1+x^2B.1/xC.-1/1+x^2D.x/1+x^2【答案】A【解析】反三角函数fx=arctanx的导数为1/1+x^

28.函数fx=x^2-4x+3的图像与x轴的交点个数是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】判别式Δ=16-12=40，方程有两个不等实根

9.函数fx=sinxcosx的最大值是（）（2分）A.1/2B.1C.√2/2D.√2【答案】B【解析】fx=sinxcosx=1/2sin2x，最大值为1/

210.函数fx=1/x在x→0时趋近于（）（2分）A.0B.∞C.1D.-1【答案】B【解析】反比例函数fx=1/x在x→0时趋近于无穷大

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（）（4分）A.fx=x^2B.fx=cosxC.fx=e^xD.fx=|x|【答案】A、B、D【解析】偶函数满足fx=f-x，选项A、B、D均满足

2.函数fx=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1时导数为0，则a、b的值分别为（）（4分）A.a=0B.a=2C.b=-1D.b=1【答案】B、C【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=0，f-1=0，解得a=2，b=-

13.函数fx=sinx-cosx的最小正周期是（）（4分）A.2πB.πC.4πD.π/2【答案】A【解析】fx=sinx-cosx=√2sinx-π/4，周期为2π

4.函数fx=|x|在区间[-1,1]上的积分值为（）（4分）A.0B.1C.2D.√2【答案】C【解析】∫_{-1}^1|x|dx=2∫_0^1xdx=

15.函数fx=e^x的泰勒展开式的前三项是（）（4分）A.1+x+x^2/2B.1+x+x^2C.1+xD.1+x+x^2/2e^2【答案】A【解析】泰勒展开式为1+x+x^2/2!+...，前三项为1+x+x^2/2

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=2^x在x=1处的导数是______（4分）【答案】2【解析】fx=2^xln2，f1=2ln

22.函数fx=sinxcosx的值域是______（4分）【答案】[-1/2,1/2]【解析】fx=1/2sin2x，值域为[-1/2,1/2]

3.函数fx=x^3-3x+2的极值点是______和______（4分）【答案】1,-1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±

14.函数fx=arctanx在x=0处的导数是______（4分）【答案】1【解析】fx=1/1+x^2，f0=

15.函数fx=e^x-x在x→∞时趋近于______（4分）【答案】∞【解析】e^x增长速度超过x，极限为∞

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^2在区间[-1,1]上是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】在[0,1]上是增函数，在[-1,0]上是减函数

2.函数fx=sinx+cosx的最大值是√2（）（2分）【答案】（×）【解析】最大值为√2，但题目要求的是值域，√2不是函数值

3.函数fx=log_ax在a1时是增函数（）（2分）【答案】（√）【解析】对数函数在底数a1时是增函数

4.函数fx=x^3在x=0处的导数为0（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2，f0=

05.函数fx=e^x是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】e^x不满足fx=f-x，是奇函数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上存在唯一一个零点（5分）【解析】f-2=-2，f2=2，fx在[-2,2]上连续，且f-2f20，由介值定理存在零点又fx=3x^2-3，fx=0时x=±1，fx在x=-1处取极大值2，在x=1处取极小值-2，故存在唯一零点

2.求函数fx=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标（5分）【解析】令fx=0，x^2-4x+3=0，解得x=1或x=3，交点为1,0和3,

03.求函数fx=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最大值和最小值（5分）【解析】fx=cosx-sinx，令fx=0，得x=π/4f0=1，fπ/4=√2，fπ/2=1，最大值为√2，最小值为1

六、分析题（每题12分，共24分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x的增减性和极值（12分）【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0，得x=1±√3/3fx0时x∈-∞,1-√3/3∪1+√3/3,∞，fx0时x∈1-√3/3,1+√3/3极大值f1-√3/3=4√3/9-2/3，极小值f1+√3/3=-4√3/9+2/

32.证明函数fx=e^x-x-1在x0时总是大于0（12分）【解析】fx=e^x-1，当x0时e^x1，fx0，fx在0,∞上单调增f0=0，故x0时fx0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx，若f1=0且f1=0，求a、b的值，并证明fx在x=1处取得极大值（25分）【解析】f1=1-a+b=0，fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，解得a=2，b=-1fx=3x^2-4x-1，fx0时x∈-∞,1-√7/3∪1+√7/3,∞，fx0时x∈1-√7/3,1+√7/3fx在x=1处取得极大值

2.求函数fx=sinxcosx在区间[0,π/2]上的面积积分，并解释其几何意义（25分）【解析】∫_0^π/2sinxcosxdx=∫_0^π/21/2sin2xdx=1/4[-cos2x]_0^π/2=1/4[1--1]=1/2几何意义是函数图像与x轴围成的面积。