函数选择典型试题及答案

函数选择典型试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=2x+1B.y=-3x+2C.y=x²D.y=1/x【答案】A【解析】y=2x+1是一次函数，其斜率为正，故在其定义域内是增函数

2.函数y=|x-1|的图像是（）（2分）A.一条直线B.一个圆C.两条射线D.一个抛物线【答案】C【解析】函数y=|x-1|的图像是两条射线，分别过点1,0向左和向右延伸

3.函数fx=lnx+1的定义域是（）（2分）A.-∞,-1B.-1,+∞C.-∞,+∞D.[-1,+∞【答案】B【解析】lnx+1要求x+10，即x-1，故定义域为-1,+∞

4.函数y=sinx的周期是（）（2分）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】B【解析】sinx的基本周期是2π

5.函数y=cos²x的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】A【解析】cos²x=1/2[1+cos2x]，其周期为2x的周期的一半，即π

6.函数y=e^x在区间-∞,+∞上是（）（2分）A.增函数B.减函数C.常数函数D.非单调函数【答案】A【解析】指数函数e^x在其定义域内是严格增函数

7.函数y=1/x在区间0,+∞上是（）（2分）A.增函数B.减函数C.常数函数D.非单调函数【答案】B【解析】1/x在0,+∞上是严格减函数

8.函数y=x³的图像关于（）（2分）A.原点对称B.x轴对称C.y轴对称D.直线y=x对称【答案】A【解析】x³是奇函数，其图像关于原点对称

9.函数y=√x+1的定义域是（）（2分）A.-∞,+∞B.-∞,-1]C.[0,+∞D.[-1,+∞【答案】D【解析】√x+1要求x+1≥0，即x≥-1，故定义域为[-1,+∞

10.函数y=arctanx的值域是（）（2分）A.RB.-π/2,π/2C.[-π/2,π/2]D.0,π【答案】B【解析】arctanx的值域为-π/2,π/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内是奇函数？（）A.y=x³B.y=1/xC.y=√xD.y=sinxE.y=cosx【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fxx³、1/x和sinx都是奇函数，而√x和cosx不是

2.以下哪些函数在其定义域内是偶函数？（）A.y=x²B.y=1/x²C.y=cosxD.y=lnxE.y=|x|【答案】A、B、C、E【解析】偶函数满足f-x=fxx²、1/x²、cosx和|x|都是偶函数，lnx不是

3.以下哪些函数是周期函数？（）A.y=tanxB.y=secxC.y=cotxD.y=2sin3xE.y=lnx【答案】A、B、C、D【解析】tanx、secx、cotx和2sin3x都是周期函数，lnx不是

4.以下哪些函数在其定义域内是增函数？（）A.y=2x+1B.y=e^xC.y=lnxD.y=x³E.y=1/x【答案】A、B、C、D【解析】2x+

1、e^x、lnx和x³在其定义域内都是增函数，1/x不是

5.以下哪些函数的图像关于y轴对称？（）A.y=x²B.y=cosxC.y=1/x²D.y=sinxE.y=|x|【答案】A、B、C、E【解析】x²、cosx、1/x²和|x|的图像都关于y轴对称，sinx不是

三、填空题

1.函数y=3^x的反函数是______（4分）【答案】y=log₃x

2.函数y=2sinπx+1的周期是______（4分）【答案】

23.函数y=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞

4.函数y=1/x²-1的垂直渐近线是______和______（4分）【答案】x=1；x=-

15.函数y=ln2x-1的反函数是______（4分）【答案】y=1/2e^x+1

四、判断题

1.函数y=x²在区间-1,1上是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】y=x²在区间-1,0上是减函数，在0,1上是增函数

2.函数y=cosx是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】cos-x=cosx，故cosx是偶函数

3.函数y=tanx的周期是π（）（2分）【答案】（√）【解析】tanx的基本周期是π

4.函数y=√x是增函数（）（2分）【答案】（√）【解析】y=√x在[0,+∞上是严格增函数

5.函数y=1/x是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】1/-x=-1/x，故1/x是奇函数

五、简答题

1.简述奇函数和偶函数的定义及其几何意义（5分）【答案】奇函数满足f-x=-fx，其图像关于原点对称几何意义是，若x,y在图像上，则-x,-y也在图像上偶函数满足f-x=fx，其图像关于y轴对称几何意义是，若x,y在图像上，则-x,y也在图像上

2.简述函数单调性的定义及其判断方法（5分）【答案】函数单调性是指函数在某个区间上单调增加或单调减少的性质判断方法

（1）利用导数，若fx0，则fx在区间上单调增加；若fx0，则fx在区间上单调减少

（2）利用函数图像，观察图像在区间上的走势

3.简述函数周期的定义及其判断方法（5分）【答案】函数周期是指函数值每隔一定周期重复出现的性质判断方法

（1）利用定义，若存在T0，使得fx+T=fx对所有x成立，则T是函数的周期

（2）利用函数图像，观察图像每隔一定距离重复出现的模式

六、分析题

1.分析函数y=2x³-3x²+x+1的单调性和极值（10分）【答案】首先求导数y=6x²-6x+1令y=0，解得x=1/2列表分析x-∞,1/21/21/2,+∞y+0-y增极大值减故函数在-∞,1/2上单调增加，在1/2,+∞上单调减少，在x=1/2处取得极大值极大值为y1/2=21/2³-31/2²+1/2+1=9/

42.分析函数y=√x²+1的单调性和极值（10分）【答案】首先求导数y=x/√x²+1令y=0，解得x=0列表分析x-∞,000,+∞y-0+y减极小值增加故函数在-∞,0上单调减少，在0,+∞上单调增加，在x=0处取得极小值极小值为y0=√0²+1=1

七、综合应用题

1.已知函数fx=x³-3x²+2，求其单调区间、极值点及相应的极值（25分）【答案】首先求导数fx=3x²-6x令fx=0，解得x=0和x=2列表分析x-∞,000,222,+∞fx+0-0+fx增极大值减极小值增加故函数在-∞,0上单调增加，在0,2上单调减少，在2,+∞上单调增加极大值点为x=0，极大值为f0=0³-30²+2=2极小值点为x=2，极小值为f2=2³-32²+2=-

22.已知函数fx=2x³-9x²+12x-3，求其单调区间、极值点及相应的极值（25分）【答案】首先求导数fx=6x²-18x+12令fx=0，解得x=1和x=2列表分析x-∞,111,222,+∞fx+0-0+fx增极大值减极小值增加故函数在-∞,1上单调增加，在1,2上单调减少，在2,+∞上单调增加极大值点为x=1，极大值为f1=21³-91²+121-3=2极小值点为x=2，极小值为f2=22³-92²+122-3=1---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.B

5.A

6.A

7.B

8.A

9.D

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、C、E

3.A、B、C、D

4.A、B、C、D

5.A、B、C、E

三、填空题

1.y=log₃x

2.

23.[1,+∞

4.x=1；x=-

15.y=1/2e^x+1

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.奇函数满足f-x=-fx，其图像关于原点对称偶函数满足f-x=fx，其图像关于y轴对称

2.函数单调性是指函数在某个区间上单调增加或单调减少的性质判断方法利用导数或函数图像

3.函数周期是指函数值每隔一定周期重复出现的性质判断方法利用定义或函数图像

六、分析题

1.函数在-∞,1/2上单调增加，在1/2,+∞上单调减少，在x=1/2处取得极大值9/

42.函数在-∞,0上单调减少，在0,+∞上单调增加，在x=0处取得极小值1

七、综合应用题

1.函数在-∞,0上单调增加，在0,2上单调减少，在2,+∞上单调增加极大值点为x=0，极大值为2极小值点为x=2，极小值为-

22.函数在-∞,1上单调增加，在1,2上单调减少，在2,+∞上单调增加极大值点为x=1，极大值为2极小值点为x=2，极小值为1。