华杯赛复赛真题与答案解析

华杯赛复赛真题与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若a、b、c为三个互不相等的自然数，且满足a+b+c=12，则a×b×c的最大值是（）（2分）A.11B.10C.9D.8【答案】B【解析】要使a×b×c最大，三个数应尽量接近，取a=3，b=4，c=5，则3×4×5=60，其他组合均小于

602.一个正方体，将其表面涂上红色，然后切成27个小正方体，其中三面涂红色的有（）个（2分）A.8B.12C.6D.4【答案】C【解析】三面涂红色的小正方体位于正方体的8个顶点，共6个

3.已知x+y=10，xy=21，则x²+y²的值是（）（2分）A.52B.62C.72D.82【答案】A【解析】x²+y²=x+y²-2xy=10²-2×21=

524.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的余弦值是（）（2分）A.√2/2B.√3/2C.1/2D.√3/3【答案】D【解析】∠C=180°-60°-45°=75°，cos75°=cos45°+30°=cos45°cos30°-sin45°sin30°=√6/4-√2/4=√3/

35.一个等差数列的前n项和为Sn，若S₁=5，S₃=15，则该数列的公差是（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】S₃-S₁=2a₂=15-5=10，a₂=5，又a₁=5，故公差d=a₂-a₁=

26.如图所示，在一个直径为10的圆内作一个最大的内接正方形，则该正方形的面积是（）（2分）A.50B.60C.70D.80【答案】B【解析】正方形对角线为圆的直径10，正方形面积=1/2×对角线²=1/2×10²=50，但需考虑内接，实际面积=

607.若x满足方程x²-3x+2=0，则x²+1/x²的值是（）（2分）A.3B.5C.7D.9【答案】C【解析】x=1或x=2，当x=1时，x²+1/x²=2；当x=2时，x²+1/x²=5，故取最大值

78.一个班级有m名学生，其中男生占3/5，后来转来n名女生，此时男生占全班人数的1/3，则n的值是（）（2分）A.m/10B.m/5C.2m/5D.3m/10【答案】B【解析】原男生m×3/5，转后男生占1/3，故m×3/5/m+n=1/3，解得n=m/

59.在直角坐标系中，点A1,2关于y=x对称的点是（）（2分）A.1,2B.2,1C.2,-1D.-1,2【答案】B【解析】关于y=x对称，横纵坐标互换，得2,

110.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积是（）（2分）A.15πB.20πC.30πD.45π【答案】A【解析】侧面积=1/2×底面周长×母线长=1/2×2π×3×5=15π

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些数是无理数？（）A.√16B.

0.1010010001…C.πD.-3/5E.

0.333…【答案】B、C【解析】无理数是无限不循环小数，B、C是无理数，A、D、E是有理数

2.关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有实数根，则（）A.b²-4ac≥0B.a0C.c=0D.b=0E.a≠0【答案】A、E【解析】判别式b²-4ac≥0，a≠0是二次项系数，与是否有实根直接相关

3.在四边形ABCD中，下列条件中能判定其为平行四边形的是（）A.两组对边分别平行B.一组对边平行且相等C.两组对边分别相等D.对角线互相平分E.四条边都相等【答案】A、B、D【解析】平行四边形判定定理包括两组对边平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分

4.在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则该三角形一定是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.锐角三角形E.钝角三角形【答案】B、D【解析】所有角相等的三角形是等边三角形，也是锐角三角形

5.关于函数y=kx+b（k≠0），下列说法正确的是（）A.当k0时，函数图象上升B.当k0时，函数图象下降C.当b=0时，函数过原点D.当b0时，函数图象向右平移E.当b0时，函数图象向左平移【答案】A、C【解析】k0时图象上升，b=0时过原点，b的符号与平移方向关系相反

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若x=2016，则x²-2016x+2016²的值是______（4分）【答案】2016²【解析】原式=x-2016²=2016²

2.一个圆柱的底面半径为2，高为3，则其侧面积是______（4分）【答案】12π【解析】侧面积=2πrh=2π×2×3=12π

3.在△ABC中，若∠A=50°，∠B=70°，则∠C的余弦值是______（4分）【答案】√3/2【解析】∠C=60°，cos60°=1/2，cos90°-30°=√3/

24.一个等比数列的前n项和为Sn，若S₁=2，S₃=14，则该数列的公比是______（4分）【答案】2【解析】S₃-S₁=a₂+a₃=14-2=12，a₂=4，a₃=8，公比q=

25.一个正五边形的一个内角是______度（4分）【答案】108【解析】n-2×180°/n=5-2×180°/5=108°

6.若x²-5x+6=0的两根为α、β，则α²+β²的值是______（4分）【答案】19【解析】α+β=5，αβ=6，α²+β²=α+β²-2αβ=25-12=

197.一个长方体的长、宽、高分别为

3、

2、1，则其表面积是______（4分）【答案】22【解析】23×2+3×1+2×1=

228.若x=2017，则x²-2017x+2017²的值是______（4分）【答案】2017²【解析】原式=x-2017²=2017²

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，ab但a²=1b²=

42.一个三角形的三条高相交于一点，该点称为垂心（）（2分）【答案】（√）【解析】三角形的三条高线交于垂心

3.若x=0是方程ax²+bx+c=0的根，则a=c=0（）（2分）【答案】（×）【解析】a=0时为一次方程，c=0时判别式可能不为

04.一个等腰梯形的对角线相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰梯形对角线互相平分且相等

5.若x、y为实数，且x²+y²=0，则x=y=0（）（2分）【答案】（√）【解析】实数平方非负，非负数和为0则各项为0

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，求其斜边长和面积（4分）【答案】斜边长10，面积24【解析】斜边长√6²+8²=10，面积1/2×6×8=

242.解方程x²-5x+6=0（4分）【答案】x=2或x=3【解析】因式分解x-2x-3=0，得x=2或x=

33.若一个等差数列的前10项和为100，第5项为7，求该数列的首项和公差（4分）【答案】首项2，公差1【解析】S₁₀=10a₁+45d=100，a₅=a₁+4d=7，联立解得a₁=2，d=

14.证明在一个直角三角形中，两锐角互余（4分）【答案】证明设直角三角形为△ABC，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，故两锐角互余

5.若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，求其侧面积和体积（4分）【答案】侧面积15π，体积15π/3=5π【解析】侧面积=1/2×2π×3×5=15π，体积=1/3×π×3²×5=15π

六、分析题（每题10分，共20分）

1.一个班级有50名学生，其中男生占60%，后来转来若干名女生，此时男生占全班人数的50%，求转来的女生人数（10分）【答案】10名【解析】原来男生30名，转后男生占50%，即30/50+n=50%，解得n=

102.已知一个等差数列的前n项和为Sn，若S₁=3，S₄=18，求该数列的前10项和（10分）【答案】60【解析】S₄-S₁=3a₂+3a₃=15，a₂+a₃=5，又a₁=3，设公差d，a₂=3+d，a₃=3+2d，得3+d+3+2d=5，解得d=1，故前10项和S₁₀=10×3+45×1=60

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在一个直角坐标系中，点A1,2，点B3,0，点C0,4，求△ABC的面积（25分）【答案】4【解析】面积=1/2×|1×0+3×4+0×2-2×3-0×0-4×1|=

42.已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a+b=10，a+c=12，b+c=14，求该长方体的体积（25分）【答案】60【解析】a+b+c=a+b+b+c+c+a/2=13，故a=7，b=3，c=5，体积abc=7×3×5=105---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.D

5.A

6.B

7.C

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.B、C

2.A、E

3.A、B、D

4.B、D

5.A、C

三、填空题

1.2016²

2.12π

3.√3/

24.

25.

1086.

197.

228.2017²

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.斜边10，面积

242.x=2或x=

33.首项2，公差

14.两锐角互余

5.侧面积15π，体积5π

六、分析题

1.10名

2.60

七、综合应用题

1.

42.105。