2025年IMO竞赛真题及答案展示

2013年IMO竞赛真题及答案展示

一、单选题

1.下列数中，最接近π的是（）（2分）A.

3.14159B.

3.1416C.

3.141D.

3.142【答案】A【解析】π的近似值是

3.

1415926...，选项A的值与π最接近

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{1,2,3}【答案】A【解析】集合A={1,2}，若B⊆A，则方程x^2-ax+1=0的根必须是1或2，解得a=1或

23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，且cosC0，则△ABC是（）（2分）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【答案】C【解析】a^2+b^2=c^2说明是直角三角形，但cosC0说明角C是钝角，所以是钝角三角形

4.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值出现在x=-2和x=1之间，最小值为

35.若复数z满足z^2=1，则z的取值是（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】复数z满足z^2=1，则z=1或z=-

16.某班级有60名学生，其中男生占40%，女生占60%，若随机抽取3名学生，则至少有1名女生的概率是（）（2分）A.

0.648B.

0.75C.

0.8D.

0.9【答案】A【解析】至少有1名女生的概率=1-所有是男生的概率=1-

0.4^3=

0.936，四舍五入为

0.

9367.在直角坐标系中，点Px,y到点A1,2的距离等于到点B-1,-2的距离，则点P的轨迹方程是（）（2分）A.x+y=0B.x-y=0C.x^2+y^2=1D.x^2+y^2=4【答案】B【解析】点P到点A和点B的距离相等，说明点P在AB的垂直平分线上，即x-y=

08.函数fx=sinx+cosx的最大值是（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】fx=sinx+cosx=√2sinx+π/4，最大值为√

29.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_n-1+3，则S_10的值是（）（2分）A.150B.165C.180D.195【答案】B【解析】数列{a_n}是等差数列，公差d=3，S_10=10a_1+1010-1×3/2=

16510.在四边形ABCD中，若∠A=∠B=∠C=∠D=90°，则四边形ABCD一定是（）（2分）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形【答案】A【解析】四边形内角和为360°，四个角都相等且为90°，则为矩形

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些数是无理数？（）A.√4B.√5C.1/3D.

0.

1010010001...E.π【答案】B、D、E【解析】无理数是指不能表示为两个整数之比的数，√

5、

0.

1010010001...、π是无理数

2.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA、cosB、cosC的值分别是（）A.3/5B.4/5C.12/13D.5/13E.1/2【答案】A、B、D【解析】由a:b:c=3:4:5，可知△ABC是直角三角形，直角边为3和4，斜边为5，cosA=4/5，cosB=3/5，cosC=

03.下列函数中，在区间0,1上是增函数的是（）A.y=x^2B.y=1/xC.y=lnxD.y=|x|E.y=sinx【答案】A、C、E【解析】在0,1上，y=x^2，y=lnx，y=sinx都是增函数

4.若函数fx=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的取值是（）A.3B.2C.1D.0E.-1【答案】A、B【解析】fx=3x^2-a，f1=0，解得a=

35.在空间直角坐标系中，点Px,y,z到平面x+y+z=1的距离d的表达式是（）A.d=|x+y+z-1|/√3B.d=|x-y-z+1|/√2C.d=|x+y-z-1|/√3D.d=|x-y+z-1|/√3E.d=|x+y+z-1|【答案】A、C、D【解析】点到平面的距离公式为d=|Ax+By+Cz+D|/√A^2+B^2+C^2，对于平面x+y+z=1，d=|x+y+z-1|/√3

三、填空题

1.在等差数列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=______【答案】a_n=3n-5（4分）【解析】由a_5=10，a_10=25，可得公差d=25-10/10-5=3，首项a_1=a_5-4d=10-12=-2，通项公式a_n=-2+3n-1=3n-

52.函数fx=e^x-1的导数fx=______【答案】e^x（4分）【解析】fx=d/dxe^x-1=e^x

3.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，边a=2，则边b=______，边c=______【答案】b=√3，c=2√3（4分）【解析】由正弦定理，b=asinB/sinA=2sin60°/sin30°=√3，c=asinC/sinA=2sin90°/sin30°=2√

34.若复数z=3+4i的模长为|z|，则|z|^2=______【答案】25（4分）【解析】|z|=√3^2+4^2=5，|z|^2=

255.在空间直角坐标系中，平面x-y+z=0的法向量为______【答案】1,-1,1（4分）【解析】平面方程Ax+By+Cz+D=0的法向量为A,B,C，所以法向量为1,-1,1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上连续（）【答案】（×）【解析】函数在某区间上单调递增不一定连续，例如分段函数

2.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形（）【答案】（√）【解析】满足勾股定理，则△ABC是直角三角形

3.若复数z满足z^2=0，则z=0（）【答案】（√）【解析】复数z满足z^2=0，则z=

04.在空间直角坐标系中，点Px,y,z到原点的距离为√x^2+y^2+z^2（）【答案】（√）【解析】根据点到原点的距离公式

5.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（√）【解析】极值点处导数为0

五、简答题（每题4分，共20分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值【答案】最大值为2，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2最大值为2，最小值为-

22.求不定积分∫x^2+1/x^2-1dx【答案】∫x^2+1/x^2-1dx=∫1+2/x^2-1dx=x+∫2/x^2-1dx=x+ln|x^2-1|+C【解析】将分子拆分，∫x^2+1/x^2-1dx=∫x^2-1+2/x^2-1dx=∫1+2/x^2-1dx=x+∫2/x^2-1dx=x+ln|x^2-1|+C

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_n-1+2n，求S_10的值【答案】S_10=110【解析】数列{a_n}是等差数列，公差d=2n-2n+1=2n-2n+1=2n-2n+1，S_10=10a_1+1010-1×2/2=

1104.求函数fx=sinx+cosx在区间[0,π/2]上的最大值和最小值【答案】最大值为√2，最小值为0【解析】fx=√2sinx+π/4，在[0,π/2]上，x+π/4∈[π/4,3π/4]，sinx+π/4取值范围为[√2/2,1]，所以fx最大值为√2，最小值为√2/2√2=

05.求过点P1,2,3且与平面x+y+z=1平行的直线方程【答案】直线方程为x=1+t，y=2+t，z=3+t【解析】与平面x+y+z=1平行的直线方向向量为1,1,1，直线方程为x=1+t，y=2+t，z=3+t

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形【证明】根据勾股定理，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形设∠C=90°，则a^2=b^2+c^2，所以△ABC是直角三角形

2.证明函数fx=x^3在R上单调递增【证明】fx=3x^2，对于任意x∈R，fx≥0，所以fx=x^3在R上单调递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=a_n-1+n，求a_10和S_10的值【解】数列{a_n}是等差数列，公差d=n-n-1=1，a_n=a_1+n-1d=1+n-1×1=n，a_10=10，S_n=nn+1/2，S_10=10×11/2=

552.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值，并证明你的结论【解】fx=3x^2-6x，令fx=0，得x=0或x=2f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2最大值为2，最小值为-2。