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2024年数学试题完整呈现及答案揭秘
一、单选题
1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）（1分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形
2.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（1分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|在x=1处取得最小值
13.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={1,2,3}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{3}【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}，A∩B={1,2}
4.已知sinα=1/2，α为锐角，则cosα=（）（2分）A.√3/2B.1/2C.√2/2D.-√3/2【答案】A【解析】由sin^2α+cos^2α=1得cosα=√1-sin^2α=√1-1/2^2=√3/
25.抛物线y=ax^2+bx+c的对称轴是x=-1，且过点0,1，则b的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】对称轴x=-1即-b/2a=-1，得b=2a，又过点0,1即c=1，代入得b=-
26.在△ABC中，若cosA=1/2，则sinA=（）（2分）A.√3/2B.1/2C.√2/2D.-√3/2【答案】A【解析】由cosA=1/2得A=60°，故sinA=sin60°=√3/
27.函数y=2^x在R上的反函数是（）（2分）A.y=2^xB.y=-log2xC.y=log2xD.y=-2^x【答案】C【解析】反函数交换x,y得y=log2x
8.若复数z=1+i，则|z|等于（）（1分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】|z|=√1^2+1^2=√
29.等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，则a_10=（）（2分）A.15B.12C.18D.21【答案】C【解析】由a_5=a_1+4d得4d=6，d=3/2，故a_10=a_1+9d=3+9×3/2=
1810.若直线l过点1,2且与直线y=3x+1垂直，则l的方程是（）（2分）A.y=-1/3x+7/3B.y=1/3x+5/3C.y=-3x-1D.y=3x+1【答案】A【解析】垂直直线斜率乘积为-1，故l斜率为-1/3，方程为y-2=-1/3x-1即y=-1/3x+7/3
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若sinα=1/2，则α=30°D.若四边形ABCD是平行四边形，则AC=BDE.若x^2=1，则x=1【答案】A、C、D【解析】A显然为真；B反例a=2,b=-3时ab但a^2b^2；C由特殊角三角函数值得真；D平行四边形对角线互相平分且等长；E反例x=-1时x^2=1但x≠
12.以下函数在其定义域内单调递增的有（）A.y=2^xB.y=-xC.y=√xD.y=1/xE.y=-log_2x【答案】A、C【解析】指数函数和幂函数y=x^1/2在定义域内递增；线性函数y=-x递减；反比例函数和对数函数递减
3.以下关于向量的说法正确的有（）A.向量a=0与任何向量平行B.若a//b，b//c，则a//cC.若|a|=|b|，则a=bD.零向量的方向是任意的E.向量a=1,2与向量b=-2,-4共线【答案】A、B、D、E【解析】零向量无确定方向但与任何向量平行；平行传递性成立；向量模相等不一定相等；零向量方向任意；共线向量坐标成比例-2×1=-4×2成立
4.以下命题正确的有（）A.三角形中，大角对大边B.若ab，则sinαsinβC.圆的切线垂直于过切点的半径D.若fx是奇函数，则f0=0E.等腰三角形底角相等【答案】A、C、E【解析】三角形性质；正弦函数在[0,π/2]单调递增；圆的性质；奇函数定义f-x=-fx推不出f0=0（如fx=x/2）；等腰三角形性质
5.以下说法正确的有（）A.样本容量是样本个数B.频率分布直方图中小长方形的面积等于该组的频率C.直线y=kx+b中，k是斜率D.直方图中的所有小长方形的高之和为1E.茎叶图能表示数据的分布情况【答案】A、B、C、E【解析】统计术语定义；频率分布直方图定义；一次函数性质；直方图性质；茎叶图特点
三、填空题
1.若fx=x^2-2x+3，则f1=______，f-1=______（4分）【答案】2，6【解析】f1=1^2-2×1+3=2，f-1=-1^2-2×-1+3=
62.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C=______，sinC=______（4分）【答案】75°，√6/4【解析】角C=180°-45°-60°=75°，sinC=sin75°=sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√2/2×√3/2+√2/2×1/2=√6/
43.等比数列{a_n}中，a_2=6，a_4=54，则a_3=______，公比q=______（4分）【答案】18，3【解析】a_4=a_2q^2得54=6q^2，q=3，a_3=a_2q=6×3=
184.函数y=sin2x+π/3的最小正周期是______，单调递增区间为______（4分）【答案】π，[-5π/12+kπ，-π/12+kπ]，k∈Z【解析】周期T=2π/|ω|=π，单调增区间由2x+π/3∈[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]解得x∈[-5π/12+kπ，-π/12+kπ]
5.直线l过点1,2且与直线x-y+1=0垂直，则l的方程是______（4分）【答案】x+y-3=0【解析】垂直直线斜率乘积为-1，斜率为1，方程为y-2=x-1即x-y+1=0，移项得x+y-3=0
四、判断题
1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=2,b=-3时ab但a^2b^
22.对任意实数x，y，都有|x+y|=|x|+|y|成立（）（2分）【答案】（×）【解析】反例x=1,y=-2时|x+y|=|-1|=1≠|1|+|-2|=
33.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】单调递增函数可以不连续，如分段函数y=sgnx在x=0处不连续但单调
4.若向量a=1,2，b=3,4，则a+b=4,6（）（2分）【答案】（×）【解析】a+b=1+3,2+4=4,6正确，原题表述正确
5.样本容量为n的样本，其平均数一定等于总体平均数（）（2分）【答案】（×）【解析】样本平均数是总体平均数的估计值，一般不等同
五、简答题
1.已知二次函数fx=ax^2+bx+c的图像过点1,0，2,1，且对称轴为x=-1，求fx的解析式（5分）【解析】由对称轴x=-1得-b/2a=-1即b=2a，又f1=a+b+c=0，f2=4a+2b+c=1，代入b=2a解得a=1/2，b=1，c=-3/2，故fx=1/2x^2+x-3/
22.设集合A={x|1x3}，B={x|x^2-4x+3≤0}，求A∪B，A∩B（5分）【解析】B={x|1≤x≤3}，故A∪B={x|x3}，A∩B={x|1x≤3}
3.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆心坐标和半径（5分）【解析】配方得x-2^2+y+3^2=16，圆心2,-3，半径4
六、分析题
1.某工厂生产一种产品，每月固定成本为2万元，每件产品成本为50元，售价为80元求月产量为多少件时，工厂开始盈利？（10分）【解析】设月产量x件，收入80x，成本50x+20000，盈利条件80x50x+20000，解得x500，故月产量超过500件时开始盈利
2.某校为了解学生身高情况，随机抽取50名学生测量身高，数据如下（单位cm）155,162,165,158,160,168,170,157,163,159,161,166,164,159,157,160,165,162,158,163,156,168,170,159,157,161,166,164,159,157,160,165,162,158,163,156,169,170,158,157,161,165,162，绘制频率分布直方图，并说明数据分布特点（15分）【解析】数据分组150-1553,155-16012,160-16518,165-17017，绘制直方图，数据集中在160-165cm，右偏态分布
七、综合应用题
1.某商场促销活动，商品A打八折，商品B打七折，顾客购买商品A和商品B共花费320元，已知商品A原价比商品B原价高80元求商品A和商品B的原价各是多少？（20分）【解析】设A原价x元，B原价y元，x=y+80，
0.8x+
0.7y=320，解得x=200，y=120，故A原价200元，B原价120元---答案揭秘---
一、单选题
1.A
2.B
3.C
4.A
5.D
6.A
7.C
8.B
9.C
10.A
二、多选题
1.A、C、D
2.A、C
3.A、B、D、E
4.A、C、E
5.A、B、C、E
三、填空题
1.2，
62.75°，√6/
43.18，
34.π，[-5π/12+kπ，-π/12+kπ]，k∈Z
5.x+y-3=0
四、判断题
1.（×）
2.（×）
3.（×）
4.（×）
5.（×）
五、简答题
1.fx=1/2x^2+x-3/
22.A∪B={x|x3}，A∩B={x|1x≤3}
3.圆心2,-3，半径4
六、分析题
1.月产量超过500件时开始盈利
2.数据集中在160-165cm，右偏态分布
七、综合应用题
1.商品A原价200元，B原价120元。
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