48届IMO真题及详细答案解析

48届IMO真题及详细答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且f0=1，则（）（2分）A.a0,b0B.a0,b0C.a0,b0D.a0,b0【答案】A【解析】fx在x=1处取得极小值，则f1=0且f10，即2a+b=0且4a0，解得a0,b

02.设集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2+x-6=0}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.∅【答案】C【解析】A={1,2},B={-3,2}，故A∩B={2}

3.若复数z满足z^2=1+i，则|z|等于（）（2分）A.√2B.1C.√5D.2【答案】A【解析】设z=a+bi，则a+bi^2=1+i，展开得a^2-b^2+2abi=1+i，比较实虚部得a^2-b^2=1,2ab=1，解得a=b=1/√2，故|z|=√

24.某四面体的四个顶点在同一球面上，若该四面体的体积为V，球的半径为R，则（）（2分）A.V=R^3B.V=4/3πR^3C.V≤4/3πR^3D.V=1/3R^3【答案】C【解析】由几何知识知，四面体的体积V≤球的体积4/3πR^

35.若实数x满足x^2+2x+3≥0，则（）（2分）A.x≤-1B.x≥-1C.x-1D.x-1【答案】B【解析】x^2+2x+3=x+1^2+2≥2，故x^2+2x+3≥0恒成立，即x∈R

6.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则（）（2分）A.cosC=0B.sinC=0C.tanC=0D.cotC=0【答案】A【解析】由勾股定理知，a^2+b^2=c^2，故cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=

07.设函数fx=sinx+cosx，则fx的周期为（）（2分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】fx+2π=sinx+2π+cosx+2π=sinx+cosx=fx，故周期为2π

8.若数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1，则a_5等于（）（2分）A.31B.32C.33D.34【答案】C【解析】a_2=3,a_3=7,a_4=15,a_5=

319.设直线l的参数方程为x=1+t,y=2-3t，则直线l的斜率为（）（2分）A.-3B.3C.1/3D.-1/3【答案】D【解析】由参数方程得y=-3x+5，故斜率为-1/

310.若圆x^2+y^2-2x+4y-3=0的圆心到直线2x+y+1=0的距离为（）（2分）A.1B.√2C.√3D.2【答案】C【解析】圆心1,-2，代入直线距离公式得|2×1+-2+1|/√2^2+1^2=√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题正确的是？（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若ab，则√a√bC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则lnalnb【答案】C、D【解析】A反例a=2,b=-3；B反例a=-2,b=-3；C成立；D成立

2.以下函数在定义域上单调递增的是？（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=2^xD.y=lnx【答案】A、C、D【解析】y=x^3的导数为3x^2≥0；y=1/x的导数为-1/x^20；y=2^x的导数为2^xln20；y=lnx的导数为1/x

03.以下向量组线性无关的是？（）（4分）A.{1,0,0,1}B.{1,1,2,2}C.{1,2,3,4}D.{1,0,1,1}【答案】A、C【解析】A组向量不共线；B组向量共线；C组向量不共线；D组向量共线

4.以下数列收敛的是？（）（4分）A.a_n=1/nB.a_n=-1^nC.a_n=2^nD.a_n=√n【答案】A【解析】a_n=1/n收敛于0；a_n=-1^n发散；a_n=2^n发散；a_n=√n发散

5.以下命题正确的是？（）（4分）A.若fx是奇函数，则fx^2是偶函数B.若fx是偶函数，则fx^2是奇函数C.若fx是周期函数，则fx+fx+1是周期函数D.若fx是单调函数，则fx+fx+1是单调函数【答案】A、C【解析】fx^2=-f-x^2=-fx^2，故A正确；fx^2=f-x^2=fx^2，故B错误；若T是fx的周期，则fx+T+fx+1+T=fx+fx+1，故C正确；反例fx=-x在R上单调，但fx+fx+1=-2x-1在R上单调递减，故D错误

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若复数z=1+i，则z^3=______（4分）【答案】-2i【解析】z^3=1+i^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2i

2.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=a_n+2n，则a_5=______（4分）【答案】21【解析】a_2=3,a_3=6,a_4=10,a_5=15+6=

213.已知函数fx=x^2-4x+3，则fx在区间[-1,3]上的最大值为______，最小值为______（8分）【答案】最大值=8，最小值=-1【解析】fx在x=2处取得极小值-1，f-1=8,f3=-3，故最大值为8，最小值为-

14.已知圆x^2+y^2-2x+4y-3=0的圆心为______，半径为______（8分）【答案】圆心1,-2，半径√8【解析】圆心1,-2，半径√[1-0^2+-2-0^2]=√

55.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边c=√2，则边a=______，边b=______（8分）【答案】a=2，b=√2√6/2【解析】由正弦定理得a=2sin60°=√3，b=√2sin45°=1/√

26.已知直线l过点1,2，且与直线x-y+1=0垂直，则直线l的方程为______（4分）【答案】x+y-3=0【解析】垂直直线的斜率为1，故方程为y-2=x-1，即x-y+1=

07.已知函数fx=e^x，则fx的导数为______，二阶导数为______（8分）【答案】导数=e^x，二阶导数=e^x【解析】fx=e^x，fx=e^x

8.已知向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a+b=______，向量2a-3b=______（8分）【答案】a+b=4,6，2a-3b=-7,-2【解析】a+b=1+3,2+4=4,6，2a-3b=2-9,4-12=-7,-2

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=2,b=-

32.若fx是奇函数，则fx+f-x=0（）（2分）【答案】（√）【解析】f-x=-fx，故fx+f-x=

03.若数列{a_n}收敛，则{a_n^2}收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】若a_n→a，则a_n^2→a^

24.若fx是周期函数，则fx的导数也是周期函数（）（2分）【答案】（√）【解析】若fx+T=fx，则fx+T=fx

5.若fx是单调递增函数，则fx+fx+1也是单调递增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=-x在R上单调递减，但fx+fx+1=-2x-1在R上单调递减

6.若向量a与向量b共线，则存在唯一实数λ使得a=λb（）（2分）【答案】（×）【解析】若a=0，则任何向量都与a共线，不存在唯一λ

7.若函数fx在x=0处取得极值，则f0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】由极值必要条件知f0=

08.若圆x^2+y^2-2x+4y-3=0的圆心到原点的距离为√5（）（2分）【答案】（√）【解析】圆心1,-2，距离√1^2+-2^2=√

59.若三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边c=√2，则边a=2（）（2分）【答案】（√）【解析】由正弦定理得a=2sin60°=√

310.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a与向量b垂直（）（2分）【答案】（×）【解析】a·b=1×3+2×4=11≠0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若a0，则a^2+1≥2a（5分）【解析】证法一a^2+1-2a=a-1^2≥0，故a^2+1≥2a证法二由均值不等式得a^2+1≥2√a^2·1=2a

2.解方程x^2-3x+2=0（5分）【解析】因式分解得x-1x-2=0，故x=1或x=

23.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-4,f0=2,f2=-2,f3=2，故最大值为2，最小值为-4

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=a_n+2n，求通项公式a_n（12分）【解析】a_2=3,a_3=6,a_4=10，观察得a_n=nn+1/2，证明

（1）n=1时成立；

（2）假设n=k时成立，即a_k=kk+1/2；

（3）a_{k+1}=a_k+2k=kk+1/2+2k=k+1k+2/2，故n=k+1时成立由数学归纳法知a_n=nn+1/

22.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间和极值（12分）【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2，当x∈-∞,0时，fx0，函数单调递增；当x∈0,2时，fx0，函数单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，函数单调递增故在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值-2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边c=√2，求边a、b的长度，并求三角形ABC的面积（25分）【解析】由正弦定理得a=2sin60°=√3，b=√2sin45°=1/√2由余弦定理得a^2=b^2+c^2-2bc·cosA，即√3^2=1/√2^2+\sqrt2^2-2×1/√2×√2×cos60°，即3=1/2+2-1=3/2，矛盾故应使用面积公式S=1/2bc·sinA=1/2×1/√2×√2×√3/2=√3/

42.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的拐点，并画出函数的大致图像（25分）【解析】fx=6x-6，令fx=0得x=1，当x∈-∞,1时，fx0，函数凹向下；当x∈1,+∞时，fx0，函数凹向上故x=1处为拐点1,0图像大致如下在-∞,1上凹向下，在1,+∞上凹向上，在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值-2---标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.A

4.C

5.B

6.A

7.B

8.C

9.D

10.C

二、多选题

1.C、D

2.A、C、D

3.A、C

4.A

5.A、C

三、填空题

1.-2i

2.

213.最大值=8，最小值=-

14.圆心1,-2，半径√

85.a=2，b=√2√6/

26.x+y-3=

07.导数=e^x，二阶导数=e^x

8.a+b=4,6，2a-3b=-7,-2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

6.（×）

7.（√）

8.（√）

9.（√）

10.（×）

五、简答题

1.见解析

2.x=1或x=

23.最大值为2，最小值为-4

六、分析题

1.a_n=nn+1/

22.单调区间-∞,0递增，0,2递减，2,+∞递增；极大值2，极小值-2

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。